蔣宇航，黃筱調(diào),，方成剛,，張 虎，王 偉

(南京工業(yè)大學 a.機械與動力工程學院；b.江蘇省工業(yè)裝備數(shù)字制造及控制技術(shù)重點實驗室，南京 210009)

0 引言

人字齒輪往往直徑較大，齒面形狀較復雜，加工時間較長，因此如果采用離線測量，安裝拆卸過程會花費大量的時間和人力，并且會有較大的裝夾誤差影響，在機床上加裝在線測量模塊成為了目前較為合適的選擇。整體式人字齒輪由于齒輪中間沒有退刀槽，齒輪的左旋齒和右旋齒一體化加工形成，因此結(jié)構(gòu)較為緊湊，對中性好，傳動精度更高。但結(jié)構(gòu)復雜，加工成本高，所以對精度的要求更加高。傳統(tǒng)的在線測量方式很少有關(guān)于人字齒輪在線測量的研究，零退刀槽人字齒輪由于結(jié)構(gòu)特殊，加工時會在齒輪上下輪齒的交接處形成一個無法進行測量的盲區(qū)，盲區(qū)主要影響人字齒輪齒向誤差的測量。在線測量系統(tǒng)齒向測點算法通過分析人字齒輪數(shù)學模型與加工過程，通過添加控制參數(shù)避開人字齒輪結(jié)構(gòu)的測量盲區(qū)。

謝華昆[1]等介紹了齒輪在線測量技術(shù)發(fā)展和應用的詳細情況。王堯[2]根據(jù)齒輪嚙合原理研究了齒輪參數(shù)算法在建模中的應用。張兆龍等[3]對極坐標法測量齒輪進行了研究，并建立了極坐標法的測量算法。章青等[4]研究了多坐標數(shù)控機床的誤差分析和補償方法，驗證了該方法在機床測量中的可行性。王志永等[5]對大輪齒形誤差的在機測量方法進行了研究，探討了大輪齒形誤差的在機測量方法并建立了測量流程。吳彬彬[6]等建立了基于極坐標法誤差評價的數(shù)學模型，提出了標定誤差的辨識和補償方法并建立了補償算法。L A Boguslavskii[7]通過對機床的結(jié)構(gòu)優(yōu)化和補償建立了機床加工和測量齒輪時的精度控制算法。Ng Hung等[8]通過研究測量算法開發(fā)出相應的控制程序，實現(xiàn)了測量過程智能化運動控制和數(shù)據(jù)處理。但以上文獻都沒有進行人字齒輪的在線測量的研究，因此本文擬在通過研究人字齒輪特殊結(jié)構(gòu)，編寫人字齒輪齒向測點算法以提高在線測量系統(tǒng)的齒向測量精度，能夠?qū)⑷俗铸X與普通漸開線齒輪有機結(jié)合，提高整個在線測量系統(tǒng)的測量效率。

1 人字齒輪在線測量原理

人字齒輪在加工完成后不需進行拆卸即可進行在線測量，測量過程與人字齒輪的加工過程有一定的相關(guān)性。圖1為人字齒輪與機床位置示意圖，主軸為機床加工和測量過程的主要運動部件，測頭取代了刀具的位置安裝在主軸上，人字齒輪安裝在轉(zhuǎn)臺上。當主軸按照測量程序驅(qū)動測頭進行運動時，測頭會靠近要測量的齒輪齒面，測頭觸碰到齒面時，測頭會將觸發(fā)信號發(fā)送到機床控制系統(tǒng)中，機床接收到測頭的觸發(fā)信號，記錄下觸發(fā)時的測點坐標。測量完成后，根據(jù)機床所記錄下的測點的坐標進行數(shù)據(jù)處理，得到最終測量結(jié)果。在線測量系統(tǒng)最重要的部分是測點的選擇，選取合適的測點才能得到正確的數(shù)據(jù)達到在線測量的目的。

圖1 人字齒輪與機床位置示意圖

2 人字齒輪齒向測點算法

2.1 人字齒輪數(shù)學模型

人字齒輪通?？梢钥醋魇锹菪窍嗤蛳喾吹膬蓚€漸開線斜齒輪組合而成，所以人字齒輪在垂直于軸線的端截面中為漸開線，因此人字齒輪的端截形和普通漸開線斜齒輪的端截形相同。人字齒輪數(shù)學模型示意圖見圖2。

圖2 人字齒輪數(shù)學模型示意圖

根據(jù)齒輪嚙合原理可知，齒槽螺旋面的方程式為：

式中，rb為基圓半徑，σ0為基圓齒槽半角。θ為螺旋運動繞軸zg1轉(zhuǎn)過的角度，p為螺旋參數(shù)。

2.2 人字齒輪螺旋線方程

由于齒向測量主要根據(jù)人字齒輪的螺旋線進行齒向測點的計算，因此在人字齒輪建模過程中，為方便取基圓圓心為原點，基圓與X軸的交點作為漸開線的起點。

則基圓圓柱面上過漸開線起點的螺旋線方程為：

式中，B為齒輪齒寬，rb為齒輪基圓半徑，t為自變量，取值范圍為[0,1]，β為單齒漸開線與基圓相交的兩點所對應的中心角。齒輪螺旋線示意圖見圖3。

圖3 齒輪螺旋線示意圖

2.3 基于螺旋線方程計算人字齒輪左右齒面齒向測點

在零退刀槽人字齒輪加工過程中，齒輪中間部分由于沒有退刀槽，對加工的工藝要求較高，并且需要更換刀具加工出倒角。

圖4 人字齒輪中間 盲區(qū)示意圖

由圖4可看出，整體式人字齒輪的中間部分，需要額外加工出一個倒角，以滿足傳動需求，減少接合面的磨損。在人字齒輪的在線測量過程中，倒角的存在給了整個測量過程一個重要的難點，齒向測量需要在齒面從上而下依次采點進行測量，因此，為了使得人字齒輪的齒向測量盡量減少其結(jié)構(gòu)的影響，需要在路徑規(guī)劃中加入?yún)?shù)。機床驅(qū)動測頭，每個測點都需要仔細考慮是否合適，合適的測點不僅能夠減少機床運動引起的誤差，還能節(jié)省大量的測量時間，提高測量效率。為了編寫合適的齒向測點算法，避免測頭誤觸以及測到不適宜采點的區(qū)域等情況的發(fā)生，計算齒向測點坐標之前，首先要區(qū)分人字齒輪上下輪齒以及左右齒面的區(qū)別。測頭按照所計算的測點進行測量時，左右齒面的測點在Z軸方向上按照測點數(shù)量進行線性變化，而在X軸與Y軸方向上需要進行精確計算求得兩個方向上的具體坐標。根據(jù)人字齒輪的數(shù)學模型，由于左右齒面所需要的C軸旋轉(zhuǎn)方向不同，因此首先計算左齒面。

如圖5所示，由于測頭測量齒向時需要考慮測點圓和分度圓的關(guān)系，因此需要在算法中加入?yún)?shù)a1，選取適當?shù)臏y點圓進行測量，根據(jù)圖3與齒輪螺旋線方程可得左齒面測量點的坐標為：

式中，d為基圓直徑，d0為測點圓直徑，a1為采點位置相對于分度圓外移量，d2為分度圓直徑。

圖5 齒輪與測頭位置關(guān)系示意圖

由于齒輪的左右齒面的螺旋線方程與測量參數(shù)基本一致，因此右齒面的測量點坐標與左齒面測量點坐標相同。

2.4 基于人字齒輪結(jié)構(gòu)特性添加控制參數(shù)

圖6 人字齒輪上下 輪齒測量示意圖

考慮到人字齒輪上下部分的結(jié)構(gòu)特殊性，為了提高測點算法的準確性，準確的判斷人字齒輪的上下部分的不同，防止出現(xiàn)運行軌跡錯誤等狀況，需要額外在算法中添加參數(shù)值a(見圖6)，其賦值為+1和-1，分別代表了人字齒輪上下部分的不同，當a=0時，意味著測量模式由人字齒輪轉(zhuǎn)變?yōu)闈u開線斜齒圓柱齒輪。由于在計算齒輪參數(shù)時，就已經(jīng)將a參數(shù)添加進算法中，因此算法可以適應各種參數(shù)人字齒的測量計算，省去了面對不同參數(shù)人字齒輪和普通齒輪時需要調(diào)整算法的步驟，提高了測量效率。

當完成了人字齒輪的左右齒向測量點計算時，需要著重考慮人字齒輪特殊結(jié)構(gòu)的上下輪齒的測量點計算，由于無退刀槽人字齒需要額外添加許多參數(shù)，給算法的編寫帶來了很大的困難，因此主要討論Z軸坐標值在上下輪齒部分的區(qū)別。

根據(jù)人字齒輪的數(shù)學模型可以計算出上半部分的齒向測點坐標值，即當參數(shù)a為+1時：

式中，z1、z2為起始點Z軸坐標和終止點Z軸坐標，a2采點位置距上端面下移量，a3為采點位置距下端面上移量，b為人字齒輪總齒寬，b1為退刀槽寬度，考慮到減少對于普通齒輪的測量步驟，因此額外添加這一參數(shù)使算法更加完善有效，n1為測量的齒槽編號，n為每個測量齒槽取的測點數(shù)量，最終值z3即為齒向測量點上半部分取點坐標值。

當完成了人字齒輪上半部分的測點計算后，在計算齒輪下半部分的Z軸坐標值時，由于方向的不同于參數(shù)的不同，即當參數(shù)a為-1時，因此得出結(jié)果：

人字齒輪的算法中還兼容了普通參數(shù)齒輪的在線測量計算，即當參數(shù)a為0時，即可進行普通齒輪的在線測量，大大提高了在線測量系統(tǒng)的測量效率，由于添加了判斷齒輪為人字齒輪還是普通齒輪的功能，以及判斷人字齒輪的上下部分的功能，減少了出錯的幾率。

3 實驗驗證

圖7 人字齒輪齒向測量實驗

得到人字齒輪齒向測點算法后，在機床中添加了齒向測點算法的程序進行實驗驗證。如圖7所示，在測量試驗中齒向測量算法能正確的進行測量，證明了本文內(nèi)容的可行性，并將同一個人字齒輪在三坐標測量機中測得的齒向誤差數(shù)據(jù)與在機床在線測量系統(tǒng)中測得的齒向誤差數(shù)據(jù)進行了對比。圖8中，縱坐標為齒寬，單位為mm，橫坐標為齒向誤差，單位為μm。圖8a為三坐標測量機測量的上齒面齒向誤差示意圖，左、右齒面齒向總偏差Fβ最大值分別為26.1μm和17.0μm；左、右齒面齒向形狀偏差fβf最大值分別為13.9μm和3.7μm；圖8b三坐標測量機測量的下齒面齒向誤差示意圖，左、右齒面齒向總偏差Fβ最大值分別為27.4μm和12.9μm；左、右齒面齒向形狀偏差fβf最大值分別為4.6μm和4.9μm。圖8c為機床在線測量的上齒面齒向誤差示意圖，左、右齒面齒向總偏差Fβ最大值分別為17.8μm和18.9μm；左、右齒面齒向形狀偏差fβf最大值分別為16.1μm和12.2μm；圖8d為在線測量系統(tǒng)測得的下齒面齒向誤差示意圖，左、右齒面齒向總偏差Fβ最大值分別為37.7μm和14.6μm；左、右齒面齒向形狀偏差fβf最大值分別為28.2μm和9.5μm。通過對比，人字齒輪在在線測量系統(tǒng)中的測量結(jié)果與三坐標測量機中的測量結(jié)果有較小誤差，考慮到安裝定位等誤差的存在，在線測量系統(tǒng)的測量結(jié)果可以認為是有效的，因此，對比實驗證明了本文的齒向測點算法的有效性。

圖8 人字齒輪齒向誤差測量結(jié)果對比

4 結(jié)論

根據(jù)人字齒輪數(shù)學模型和在線測量過程示意圖而提出的人字齒輪齒向測點算法能夠很好的適應各種人字齒輪的在線測量需求，添加參數(shù)使得零退刀槽人字齒的中間盲區(qū)在算法中得到了有效的規(guī)避，并完成了多次實際的人字齒在線測量，提高了測量效率減少了出錯的幾率。通過三坐標測量機測得的人字齒輪齒向誤差數(shù)據(jù)和在線測量系統(tǒng)測得的人字齒輪齒向誤差數(shù)據(jù)可以表明，本文提出的人字齒輪在線測量齒向測點算法很好的完成了在線測量的任務，并且成功避開了人字齒輪中間部分測量盲區(qū)，因此該齒向測點算法能夠較好的提升在線測量的效率。

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