晏遠(yuǎn)志，楊金堂，萬 歡，侯作義

(1.武漢科技大學(xué) a.冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；b.機(jī)械傳動與制造工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430081；2.老河口市綠華環(huán)?？萍加邢薰?，湖北 襄陽 441800)

0 引言

圓盤造球機(jī)是球團(tuán)礦生產(chǎn)的重要設(shè)備，其性能優(yōu)劣對球團(tuán)礦生產(chǎn)的效率影響很大。對于質(zhì)量龐大的造球機(jī)，輕量化能夠有效地減小其轉(zhuǎn)動慣量，降低能量損耗，降低成本，增加造球機(jī)的靈活性和穩(wěn)定性，從而提高球團(tuán)礦質(zhì)量和生產(chǎn)效率。通過對造球機(jī)整體來看，盤體質(zhì)量較大，直接會影響整機(jī)的工作性能，這表明有必要對造球機(jī)盤體結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化以提升其工作性能。目前國內(nèi)外對圓盤造球機(jī)的研究相對較少，鄭東梅[1]分析了圓盤造球機(jī)的基本結(jié)構(gòu)，并研究了某些運(yùn)動學(xué)規(guī)律，何敬川[2]對圓盤造球機(jī)盤體進(jìn)行了簡單靜力學(xué)分析，但是常規(guī)的運(yùn)動學(xué)和強(qiáng)度分析已不能滿足當(dāng)前造球機(jī)的發(fā)展需要，因此有必要對其進(jìn)行深入的研究，諸如對圓盤造球機(jī)盤體進(jìn)行輕量化設(shè)計。本文輕量化設(shè)計的基本思想是以有限元分析為基礎(chǔ)，通過建立數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)值計算求取最優(yōu)解的設(shè)計方法，對目標(biāo)零件進(jìn)行輕量化設(shè)計。本文以某公司的φ1800圓盤造球機(jī)盤體為研究對象，結(jié)合有限元分析和尺寸靈敏度分析方法[3-4]選定影響其性能的關(guān)鍵尺寸作為優(yōu)化參數(shù)，以最大等效應(yīng)力為約束條件，以盤體結(jié)構(gòu)質(zhì)量作為優(yōu)化目標(biāo)，使用響應(yīng)面法[5]對盤體進(jìn)行優(yōu)化，使其結(jié)構(gòu)更加合理；借助可靠性分析方法[6]對優(yōu)化前后的盤體質(zhì)量和最大等效應(yīng)力進(jìn)行可靠度計算，發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后其可靠性更高，這表明本次優(yōu)化是合理可靠的。

1 盤體強(qiáng)度和靜剛度分析

1.1 盤體靜力學(xué)分析

某公司圓盤造球機(jī)整機(jī)結(jié)構(gòu)如圖1所示，由于造球機(jī)盤體的質(zhì)量過大，將嚴(yán)重影響其工作性能，所以對其進(jìn)行輕量化設(shè)計是本文的主要任務(wù)。為了方便生成球團(tuán)，圓盤造球機(jī)的盤體一般具有一定的傾斜角度，即35°～55°。當(dāng)盤體的傾角最小時(即35°)盤體底面所受的壓力最大，此時可看作盤體工況最為惡劣的情況。本文通過有限元分析獲取盤體的靜剛度和強(qiáng)度，為后面的優(yōu)化設(shè)計提供可靠的依據(jù)。根據(jù)盤體的實(shí)際工作狀況和文獻(xiàn)[2]，得出造球機(jī)工作時礦粉分布狀態(tài)如圖2所示。

圖1 圓盤造球機(jī)整機(jī)結(jié)構(gòu)圖

圖2 圓盤造球機(jī)工作時礦粉分布狀態(tài)

計算盤體所受三種載荷分別為：礦石粉對盤體的底面產(chǎn)生的正壓力N1=2755Pa；盤體的外壁所受的正壓力N2=1714.8Pa；盤體成球區(qū)礦石粉所產(chǎn)生的載荷N3=1734Pa，盤體的邊界條件情況如圖3a所示；設(shè)置盤體的材料為Q235A鋼(密度為7850kg/m3，彈性模量為206GPa，泊松比0.3)，劃分好網(wǎng)格后，在盤體軸孔處施加固定約束，經(jīng)過ANSYSWorkbench有限元分析軟件，計算獲得的應(yīng)力云圖和各方向的位移變形云圖如圖3、圖4所示。

圖3 盤體的邊界條件、應(yīng)力云圖、總位移變形云圖

1.2 盤體強(qiáng)度和靜剛度校核

本文研究對象為圓盤造球機(jī)盤體，其結(jié)構(gòu)材料為 Q235A鋼，其屈服極限σs為235MPa。根據(jù)所施加的載荷情況和研究對象所用材料的選取情況，取安全系數(shù)n=2。再根據(jù)塑性材料許用應(yīng)力計算公式：

σ=σs/n

(1)

計算得[σ]= 117.5MPa，由于34.5<[σ]，所以強(qiáng)度校核表明盤體結(jié)構(gòu)滿足強(qiáng)度條件。由圖3中盤體在x、y、z三個方向上的靜力變形值以及其所受外作用力大小，即可求出盤體在x、y、z三個方向上的靜剛度值，計算結(jié)果如表1所示，由于盤體在Y方向上所受外載荷最大，這使得盤體在Y方向上的變形量最大，且剛度最差。因此，在對盤體結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化時，應(yīng)著重于提高其Y方向上的剛度值。

圖4 盤體在X、Y、Z三個方向上的位移變形量

X方向Y方向Z方向最大變形量(mm)0．0290110．652190．012889剛度值(N/mm)3．34×1044．167×1037．519×104

通過以上靜力學(xué)分析，得到盤體的應(yīng)力云圖和位移變形云圖有關(guān)結(jié)果，說明當(dāng)前建立的盤體模型在相應(yīng)載荷下的應(yīng)力和位移變化都較大程度地滿足了性能要求，說明盤體在設(shè)計時使用的材料有些浪費(fèi)，可以對盤體結(jié)構(gòu)進(jìn)行一定的優(yōu)化，改變結(jié)構(gòu)尺寸，在滿足性能要求的前提下，減輕盤體結(jié)構(gòu)重量。

2 盤體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計

2.1 設(shè)計變量的選取

由于盤體尺寸參數(shù)對盤體結(jié)構(gòu)質(zhì)量和最大等效應(yīng)力的貢獻(xiàn)不同，而且在結(jié)構(gòu)設(shè)計中，為減輕結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，往往會改變其強(qiáng)度和剛度。本文提出一種基于靈敏度[7]分析來指導(dǎo)盤體優(yōu)化設(shè)計的方法。靈敏度分析的數(shù)學(xué)意義為：對于函數(shù)，g=(x1,x2…xn)函數(shù)值g對變量xi變化的靈敏程度，即：

(2)

對于盤體結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度分析，函數(shù)g可表示盤體結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、最大等效應(yīng)力等性能指標(biāo)；變量xi為盤體的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)；靈敏度值S為結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對盤體性能指標(biāo)的影響程度，然后對比較敏感的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，避免了對盤體輕量化設(shè)計的盲目性，提高了優(yōu)化效率。盤體的各個尺寸參數(shù)在盤體中的具體位置如圖5所示。

圖5 盤體尺寸位置簡圖

各待優(yōu)化參數(shù)對應(yīng)的參數(shù)符號、初值、范圍如表2所示。

表2 選定尺寸的變化范圍

2.1.1 盤體最大等效應(yīng)力對其結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度分析

利用第1節(jié)中的有限元分析方法，以P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7為結(jié)構(gòu)參數(shù)，分析得到盤體的質(zhì)量與結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)系，如圖6所示。

圖6 盤體質(zhì)量與結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)系

對圖6中的盤體質(zhì)量與結(jié)構(gòu)參數(shù)靈敏度曲線做二次函數(shù)擬合，所得到的盤體質(zhì)量M，與各參數(shù)增量之間的函數(shù)關(guān)系為：

(3)

式中，ai，bi和ci，為擬合函數(shù)的系數(shù)；Δxi為各參數(shù)的增量。由式(2)對式(3)求導(dǎo)，計算得到盤體質(zhì)量對各結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度如下：

(4)

式中，Sσ為盤體質(zhì)量對各參數(shù)的靈敏度，用矩陣形式可表示為：

Sm=LΔx+K

(5)

式中，Sm、L和K分別為式(5)中Sσ，2ai，bi的向量表示形式，對應(yīng)的向量L，K分別為：

K=19.2540 8.7306 0.3136 2.0084 3.2416 0.7396 1.5390

將Δxi代入式(5)得盤體質(zhì)量M對各結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度矩陣為：

由上述靈敏度分析理論可知，盤體質(zhì)量對各結(jié)構(gòu)參數(shù)靈敏度的大小排序?yàn)椋罕P底板厚P1>盤外壁厚P2>條形肋板寬P5>條形肋板厚P4>圓肋板寬P7>圓肋板厚P6>軸孔厚P3。

2.1.2 盤體最大位移變形對其結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度分析

盤體最大等效應(yīng)力與各結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度曲線如圖7所示。

圖7 盤體最大等效應(yīng)力與結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)系

同理，可以計算出盤體最大等效應(yīng)力對各結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度矩陣為：

由此可知，盤體質(zhì)量對各結(jié)構(gòu)參數(shù)靈敏度的大小排序?yàn)椋罕P底板厚P1>條形肋板寬P5>條形肋板厚P4>圓肋板寬P7>圓肋板厚P6>盤外壁厚P2>軸孔厚P3。

綜合Sm和Sσ的靈敏度計算結(jié)果可以看出，軸孔厚P3和圓肋板厚P6參數(shù)的變化對盤體的質(zhì)量和最大等效應(yīng)力的影響很小，可以忽略不計，因此本文選取P1、P2、P4、P5、P7為本次優(yōu)化的設(shè)計變量。

2.2 響應(yīng)面法優(yōu)化

響應(yīng)面優(yōu)化方法是試驗(yàn)設(shè)計與數(shù)理統(tǒng)計相結(jié)合的方法，用于處理多個變量對一系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的影響問題，通過建立響應(yīng)與參變量間的函數(shù)關(guān)系最終確定最優(yōu)解。本文基于響應(yīng)面法的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法首先確定目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)；然后通過試驗(yàn)設(shè)計方法選定設(shè)計點(diǎn)，根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計點(diǎn)及其對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值和約束函數(shù)值進(jìn)行響應(yīng)面擬合，建立目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)值關(guān)于設(shè)計變量的響應(yīng)面模型，最后對模型進(jìn)行求解，最終達(dá)到結(jié)構(gòu)優(yōu)化的目的。

2.2.1 建立響應(yīng)面模型

本文在ANSYS Workbench中采用中心復(fù)合實(shí)驗(yàn)設(shè)計[8](CCD)生成100個初始試驗(yàn)樣本點(diǎn)，并隨機(jī)抽取了20個測試樣本點(diǎn)。對于結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，二階模型形式比較靈活，對真實(shí)響應(yīng)近似程度較好，為簡化計算，采用不含交叉項的二次多項式構(gòu)造響應(yīng)面模型[9]。其中參數(shù)個數(shù)n為5，其一般公式如下：

(6)

式中，a0，bi，ci(i=1，2…，n)為2n+1個未知的待定系數(shù)。本文根據(jù)數(shù)值仿真結(jié)果，選用隨機(jī)抽取的20個樣本點(diǎn)，構(gòu)造約束函數(shù)的二次多項式響應(yīng)面擬合模型。得到最大應(yīng)力S和質(zhì)量M的表達(dá)式如下：

2.2.2 優(yōu)化建模與求解

根據(jù)擬合的二次多項式，以盤體結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小為優(yōu)化目標(biāo)，以盤體最大等效應(yīng)力小于34.54MPa為約束條件，以x1，x2，x3，x4，x5為設(shè)計變量，建立如下優(yōu)化模型：

(7)

按照以上優(yōu)化模型，進(jìn)行優(yōu)化求解，將各變量取整后得到最優(yōu)解如下：

x1=13，x2=9，x3=28，x4=26，x5=22

2.3 盤體優(yōu)化結(jié)果的驗(yàn)證

為了對優(yōu)化后的盤體結(jié)構(gòu)進(jìn)行綜合評價，需對新設(shè)計的結(jié)構(gòu)性能與原始結(jié)構(gòu)進(jìn)行對比?？紤]優(yōu)化前后的盤體整機(jī)性能，將從結(jié)構(gòu)質(zhì)量、最大應(yīng)力、以及位移變形量進(jìn)行綜合對比。將優(yōu)化后的模型導(dǎo)入ANSYS Workbench中進(jìn)行靜力學(xué)計算，得到其最大等效應(yīng)力為30.78MPa，最大總變形為0.594mm，總質(zhì)量為421.17kg，盤體結(jié)構(gòu)優(yōu)化前后結(jié)果對比如表3所示。由表3可看出，盤體結(jié)構(gòu)經(jīng)過優(yōu)化后，在最大等效應(yīng)力減小了10.88%的同時，其質(zhì)量減小了16.35%，這既保證了盤體強(qiáng)度又達(dá)到了盤體輕量化的目的，取得了很好的優(yōu)化效果。

表3 盤體結(jié)構(gòu)優(yōu)化前后結(jié)果對比

優(yōu)化前后盤體靜剛度對比如表4所示。由表可知，優(yōu)化后的盤體結(jié)構(gòu)在其薄弱方向上(Y方向)的剛度值得到了11.81%的提高，同時Z方向的剛度值也得到了改善。雖然X方向上的剛度值有減小，但考慮到其幅度變化較小，因此總的來說盤體的靜剛度得到了提升。

表4 盤體優(yōu)化前后靜剛度對比

3 盤體的可靠性分析

3.1 可靠性指標(biāo)

可靠性指標(biāo)是評價系統(tǒng)或產(chǎn)品可靠性的量化指標(biāo)，常用評定可靠性的指標(biāo)有可靠度、累積失效概率、失效率、平均壽命和可靠壽命等[10]?？煽慷仁强煽啃缘牧炕笜?biāo)，若可靠度不滿足設(shè)計要求，則須進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計，故可靠度優(yōu)化設(shè)計是以可靠性分析為基礎(chǔ)的。結(jié)構(gòu)可靠性定義為滿足約束條件的概率，可靠度的計算公式為：

(8)

式中，fx(x)為隨機(jī)參數(shù)向量x=(x1,x2,…,xn)的聯(lián)合概率密度函數(shù)；φ(x)>0為約束函數(shù)，表示結(jié)構(gòu)的兩種狀態(tài)：

其中,φ(x)>0稱為極限狀態(tài)方程，表示結(jié)構(gòu)處于臨界狀態(tài)或極限狀態(tài)。

3.2 盤體可靠度計算

盤體的可靠度可以定義為應(yīng)力S小于許用應(yīng)力σ且同時質(zhì)量M小于允許質(zhì)量M′的概率。取σ=117.5MPa，M′=550kg，假設(shè)應(yīng)力、許用應(yīng)力、質(zhì)量和允許質(zhì)量均服從正態(tài)分布，即：

(9)

當(dāng)x>0且y>0時，盤體正常工作，其可靠度R可表示為：

(10)

式中，g(x，y)表示變量x和y的聯(lián)合分布密度函數(shù)，由于變量x和y均服從正態(tài)分布，則其聯(lián)合密度函數(shù)為：

(11)

其中，ρ稱為相關(guān)系數(shù)，其定義為：

(12)

利用ANSYS Workbench中的六西格瑪設(shè)計準(zhǔn)則，假設(shè)輸入的各結(jié)構(gòu)參數(shù)均為服從正態(tài)分布的的變量。運(yùn)用拉丁超立方體抽樣方法隨機(jī)抽取100個樣本，得到優(yōu)化前后盤體最大等效應(yīng)力和質(zhì)量的概率密度，結(jié)果如圖8所示?？芍P體最大等效應(yīng)力和質(zhì)量近似服從正態(tài)分布。優(yōu)化前最大等效應(yīng)力的均值估計值μS0=36.243MPa，標(biāo)準(zhǔn)差估計值σS0=7.508MPa，優(yōu)化前盤體質(zhì)量均值估計值μM0=503kg，標(biāo)準(zhǔn)差估計值σM0=45.1kg。

(a)優(yōu)化前最大等效應(yīng)力分布圖 (b)優(yōu)化前盤體質(zhì)量分布圖

(c)優(yōu)化后最大等效應(yīng)力分布圖 (d)優(yōu)化后盤體質(zhì)量分布圖圖8 盤體優(yōu)化前后六西格瑪分析結(jié)果

優(yōu)化后最大等效應(yīng)力的均值估計值μS=31.046 MPa，標(biāo)準(zhǔn)差估計值σS=3.255 MPa，優(yōu)化后盤體質(zhì)量均值估計值μM=402.94kg，標(biāo)準(zhǔn)差估計值σM=20.791kg。取盤體許用應(yīng)力σ和許用質(zhì)量M′的變異系數(shù)為0.2，即可認(rèn)為σ是服從均值μσ=117.5MPa，標(biāo)準(zhǔn)差為σσ=23.5 MPa的正態(tài)分布，許用質(zhì)量M′服從均值μM′=550kg，σM′=110kg的正態(tài)分布。相關(guān)系數(shù)ρ可由數(shù)值仿真結(jié)果由式(12)計算得出，其估計值ρ=-0.96。優(yōu)化前隨機(jī)變量(x0，y0)～N(81.25，47，24.672，118.882，-0.96)；優(yōu)化后隨機(jī)變量(x，y)～N(86.45，147.06，23.722，111.942，-0.96)。

通過式(10)可靠度計算公式，得出優(yōu)化前盤體的可靠度R0=0.9325，優(yōu)化后可靠度R=0.9876，可見，優(yōu)化后的盤體可靠度有所提高，說明此次盤體輕量化設(shè)計是合理、可靠的。

4 結(jié)論

本文在利用ANSYS Workbench對圓盤造球機(jī)進(jìn)行靜力學(xué)分析的基礎(chǔ)上,提出用基于靈敏度分析和響應(yīng)面方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析優(yōu)化,并對優(yōu)化前后進(jìn)行可靠性計算，得到的主要結(jié)論如下：

(1)根據(jù)圓盤造球機(jī)靜力學(xué)分析，得到其最大等效應(yīng)力為34.54MPa和最大位移變形為0.658 mm，薄弱方向的靜剛度為4.167×103，經(jīng)校核表明盤體結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)遠(yuǎn)滿足性能要求，可以進(jìn)行輕量化優(yōu)化設(shè)計。

(2)利用靈敏度分析的方法，計算盤體分析尺寸對其結(jié)構(gòu)的最大等效應(yīng)力和質(zhì)量的影響程度，確定優(yōu)化尺寸參數(shù)，避免了對盤體優(yōu)化的盲目性；運(yùn)用響應(yīng)面法構(gòu)造最大應(yīng)力S和質(zhì)量M的擬合模型，簡化了優(yōu)化計算的工作量，提高計算效率，優(yōu)化后表明：盤體最大等效應(yīng)力降低10.88%，薄弱方向部位靜剛度提升10.56%，質(zhì)量下降16.35%，達(dá)到了盤體輕量化和提升穩(wěn)定性的目的。

(3)建立了考慮應(yīng)力和質(zhì)量相關(guān)性的可靠性計算模型，運(yùn)用六西格瑪設(shè)計準(zhǔn)則，得到了優(yōu)化前后最大等效應(yīng)力和質(zhì)量的概率分布，得出了優(yōu)化前后盤體的可靠度，表明優(yōu)化后可靠度提高了7%，驗(yàn)證了本文優(yōu)化方法的可行性。

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