楊 帆，周麗紅

(武漢科技大學(xué)城市學(xué)院，武漢 430083)

0 引言

四桿機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，實(shí)際輸出軌跡與期望運(yùn)動(dòng)軌跡存在偏差[1]。這種偏差若不重視，可能會(huì)導(dǎo)致四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能下降，從而造成重大的經(jīng)濟(jì)損失[2]。例如：夾持機(jī)器人的四桿機(jī)構(gòu)受到運(yùn)動(dòng)軌跡精度的影響，導(dǎo)致物料定位不準(zhǔn)確，產(chǎn)品質(zhì)量不合格；飛機(jī)起落架的四桿機(jī)構(gòu)受到運(yùn)動(dòng)軌跡精度的影響，導(dǎo)致飛機(jī)起落振動(dòng)較大，對(duì)人的身體造成一定的傷害。因此，研究四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)軌跡誤差，提高四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)軌跡精度具有重要的意義。

目前，對(duì)四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)軌跡理論的研究方法有多種。例如：文獻(xiàn)[3]研究了四桿機(jī)構(gòu)混合驅(qū)動(dòng)動(dòng)態(tài)軌跡的綜合方法。分析了混合驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)，將傳統(tǒng)設(shè)計(jì)理念和機(jī)器人設(shè)計(jì)理論有效結(jié)合，拓寬了四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)軌跡的研究范圍。引用了阿蘇爾桿組對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，提高了軌跡發(fā)生器的精度。文獻(xiàn)[4]研究了四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)軌跡所產(chǎn)生的誤差，并且對(duì)結(jié)果進(jìn)行了仿真。建立了四桿機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖模型，通過(guò)歐幾里得距離誤差函數(shù)推導(dǎo)出修正距離誤差函數(shù)。對(duì)四桿機(jī)構(gòu)幾何運(yùn)動(dòng)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，并且將優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行誤差仿真，修正距離誤差函數(shù)可以提高四桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)軌跡精度。文獻(xiàn)[5]研究了平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)軌跡的遺傳算法。結(jié)合IC芯片粘片機(jī)焊頭建立四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化變量的簡(jiǎn)圖模型，構(gòu)造了優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，采用遺傳算法和MATLAB程序?qū)λ臈U機(jī)構(gòu)參數(shù)變量進(jìn)行優(yōu)化，從而得出最優(yōu)值，實(shí)現(xiàn)了預(yù)定運(yùn)動(dòng)軌跡的輸出要求。以往研究的四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)軌跡誤差在某種程度上有所減少。但是，隨著許多高精度加工企業(yè)的誕生，已經(jīng)不能滿(mǎn)足企業(yè)發(fā)展的需求。對(duì)此，本文引用了改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法研究平面四桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)軌跡誤差，建立平面四桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖，通過(guò)矢量方程式推導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)軌跡點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系式。根據(jù)優(yōu)化的參數(shù)變量構(gòu)造出優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，并且添加約束條件，采用改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法對(duì)四桿機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)變量進(jìn)行優(yōu)化，將優(yōu)化結(jié)果輸入到MATLAB軟件中進(jìn)行運(yùn)動(dòng)軌跡誤差仿真，并且，與優(yōu)化前誤差仿真的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比和分析，從而為四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)軌跡的誤差研究提供了參考依據(jù)。

1 四桿機(jī)構(gòu)幾何模型

四桿機(jī)構(gòu)在平面坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖及幾何參數(shù)如圖1所示。

圖1 四桿機(jī)構(gòu)平面坐標(biāo)系

在圖1中，固定機(jī)架點(diǎn)O2的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別用x0和y0表示，固定機(jī)架與橫坐標(biāo)之間的角度用φ1表示，輸入角用φ2表示，連接點(diǎn)用G表示，固定機(jī)架的長(zhǎng)度用s1表示，輸入桿的長(zhǎng)度用s2表示，連接桿的長(zhǎng)度用s3表示，輸出桿的長(zhǎng)度用s4表示，連接點(diǎn)G的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)長(zhǎng)度分別用sGX和sGY表示，連接桿s3與橫坐標(biāo)之間的角度用φ3表示。在平面坐標(biāo)系中，由幾何矢量關(guān)系式[6]可知：

s2+s3-s4-s1=0

(1)

用每個(gè)位置向量的復(fù)數(shù)符號(hào)代替，可以寫(xiě)出如下方程關(guān)系式[6]：

s2eiφ2+s3eiφ3-s4eiφ4-s1eiφ1=0

(2)

分離方程式(2)的實(shí)部和虛部，并且令φ2=0，則實(shí)部和虛部變?yōu)椋?/p>

(3)

根據(jù)輸入角φ2可以求解φ3、φ4，四桿機(jī)構(gòu)的等式方程式如下：

(4)

求解方程式(4)得：

(5)

式中，A=cosφ2-K1-K2cosφ2+K3，B=E=-2sinφ2，C=K1- (K2+1)cosφ2+K3，D=cosφ2-K1+K4cosφ2+K5，F(xiàn)=K1+K5+(K4-1)cosφ2。

因此，連接點(diǎn)G在O-XY坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)關(guān)系式為：

(6)

式中，GXs=s2cosφ2+sGXcosφ3-sGYsinφ3，GYs=s2sinφ2+sGXsinφ3-sGYcosφ3。

2 目標(biāo)函數(shù)

2.1 設(shè)計(jì)變量

四桿機(jī)構(gòu)的輸入桿在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，需要優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量參數(shù)分別為s1、s2、s3、s4、sGX、sGY、x0、y0、φ1和φ2。優(yōu)化設(shè)計(jì)變量參數(shù)構(gòu)成的矢量如下所示：

(7)

式中，φ2n是φ2的n等份位置角度。

2.2 目標(biāo)函數(shù)及約束條件

(8)

在沒(méi)有規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，φ2i作為四桿機(jī)構(gòu)輸入角度優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量，Gi是針對(duì)輸入角φ2i一組值所設(shè)計(jì)的位置集合，如下所示：

(9)

因此，目標(biāo)函數(shù)的第一部分表示為：

(10)

式中，N是合成點(diǎn)的數(shù)量。

目標(biāo)函數(shù)的第二部分是從施加在四桿機(jī)構(gòu)上約束條件導(dǎo)出的。因此，需要設(shè)置這些約束， 包括以下幾個(gè)部分：

(1)根據(jù)四桿機(jī)構(gòu)格拉曉夫準(zhǔn)則的條件[8]，必須有連桿能夠做整周旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，連桿的長(zhǎng)度滿(mǎn)足：

2mins1,s2,s3,s4+maxs1,s2,s3,s4

(11)

(2)輸入角度φ2i的序列必須進(jìn)行排列，從最小到最大或者從最大到最小，φ2i角度范圍為[0,2π]。

(3)設(shè)計(jì)參數(shù)變量范圍必須為正值。

當(dāng)優(yōu)化值分配給設(shè)計(jì)變量X，并且將其它約束條件作為懲罰函數(shù)插入目標(biāo)函數(shù)時(shí)，最終優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)如下所示：

(12)

式中，h1(X)=0表示滿(mǎn)足四桿機(jī)構(gòu)格拉曉夫準(zhǔn)則，h1(X)=1表示不滿(mǎn)足四桿機(jī)構(gòu)格拉曉夫準(zhǔn)則，h2(X)=0表示輸入角φ2滿(mǎn)足排列序列，h1(X)=1表示輸入角φ2不滿(mǎn)足排列序列，M1和M2表示懲罰目標(biāo)函數(shù)的常數(shù)。

3 改進(jìn)粒子群優(yōu)化

粒子群優(yōu)化算法[9]縮寫(xiě)為PSO，是一種進(jìn)化計(jì)算技術(shù)，主要是通過(guò)模擬鳥(niǎo)類(lèi)在N維空間中尋找最優(yōu)值。當(dāng)粒子種群被定義后，則其中每個(gè)粒子在N維問(wèn)題空間中的位置對(duì)應(yīng)于優(yōu)化問(wèn)題的特定解。根據(jù)研究實(shí)際問(wèn)題的需要，移動(dòng)每個(gè)粒子的位置以獲得權(quán)重。

在O-XY平面內(nèi)，位置和速度計(jì)算采用以下等式[10]：

(13)

(14)

權(quán)重系數(shù)經(jīng)過(guò)修改后的收斂速度更快，其方程式如下所示：

(15)

式中，ωmax是初始權(quán)重，ωmin是最終權(quán)重，iter是當(dāng)前迭代數(shù)，itermax是最大迭代數(shù)。

本文采用的改進(jìn)粒子群算法具有約束因子方法，在約束因子方法中，通過(guò)修改約束因子χ，使得速度vi+1=χ(vi)。修改的約束因子增加了PSO的性能。 約束因子χ取值范圍在[0,1]之間。 計(jì)算約束因子的公式如下所示：

(16)

式中，κ取值范圍在[0,1]之間，θ>4。通過(guò)適當(dāng)?shù)剡x擇約束因子χ，速度可以保持在恒定間隔中而不超過(guò)設(shè)定速度。 約束因子值可以是固定的或隨機(jī)變化的。為了提高該方法的有效性，可以選擇與χ成反比的ω的值。改進(jìn)速度方程如下：

(17)

用于四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)軌跡誤差的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法的流程圖如圖2所示。

圖2 改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法流程圖

4 優(yōu)化結(jié)果與仿真分析

表1 四桿機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

圖3 10個(gè)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡點(diǎn)

圖4 橫向誤差仿真曲線(xiàn)

圖5 縱向誤差仿真曲線(xiàn)

根據(jù)圖4仿真曲線(xiàn)可知，優(yōu)化前，四桿機(jī)構(gòu)橫向?qū)嶋H運(yùn)動(dòng)軌跡與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡的最大誤差值為1.2×10-3m；優(yōu)化后，四桿機(jī)構(gòu)橫向?qū)嶋H運(yùn)動(dòng)軌跡與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡的最大誤差值為0.8×10-3m；橫向誤差下降了33.3%。根據(jù)圖5仿真曲線(xiàn)可知，優(yōu)化前，四桿機(jī)構(gòu)縱向?qū)嶋H運(yùn)動(dòng)軌跡與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡的最大誤差值為1.7×10-3m；優(yōu)化后，四桿機(jī)構(gòu)縱向?qū)嶋H運(yùn)動(dòng)軌跡與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡的最大誤差值為1.0×10-3m；縱向誤差下降了41.2%。因此，本文采用改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)軌跡，橫向和縱向運(yùn)動(dòng)軌跡產(chǎn)生的誤差較小，提高了四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)軌跡誤差，創(chuàng)建了平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖和二維坐標(biāo)系，推導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)軌跡點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)關(guān)系式。給出了優(yōu)化設(shè)計(jì)的參數(shù)變量，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)并對(duì)目標(biāo)函數(shù)添加約束條件。引用改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法對(duì)四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的幾何參數(shù)變量進(jìn)行優(yōu)化，得出優(yōu)化后的幾何參數(shù)。將優(yōu)化后的參數(shù)輸入到MATLAB軟件中進(jìn)行仿真，確定出橫向和縱向誤差的仿真曲線(xiàn)。仿真結(jié)果表明，采用改進(jìn)粒子群優(yōu)化的四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)軌跡橫向和縱向誤差大幅度下降，從而提高四桿機(jī)構(gòu)在實(shí)際生產(chǎn)中的定位精度。

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