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        跳舞的硬幣

        2018-03-06 08:14:34范曹耘
        物理教學(xué)探討 2018年12期

        范曹耘

        摘 要:從實(shí)驗(yàn)出發(fā),利用理想氣體狀態(tài)方程解釋了由于氣體膨脹導(dǎo)致的瓶口硬幣跳起現(xiàn)象,并利用熱傳導(dǎo)的相關(guān)知識(shí)近似求解了氣體溫度改變的理論表達(dá)式,MATLAB擬合結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)取得了良好的吻合。

        關(guān)鍵詞:熱傳導(dǎo);氣體能量;理想氣體狀態(tài)方程

        中圖分類號(hào):G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1003-6148(2018)12-0047-3

        1 問題提出

        一個(gè)放置在低溫處的瓶子移到常溫處,并將一個(gè)硬幣放置在瓶子的瓶口處。膨脹的氣體將會(huì)把硬幣頂開。本文試圖通過理論計(jì)算,解釋實(shí)驗(yàn)中硬幣的跳起過程與溫度之間的關(guān)系。

        2 實(shí)驗(yàn)儀器

        1元硬幣:質(zhì)量為6.1 g,直徑為25 mm。

        容器:塑料瓶,容積為600 mL,瓶口內(nèi)徑為22 mm。

        溫度計(jì):量程為0~100℃,最小刻度為1 ℃。

        3 具體實(shí)驗(yàn)

        3.1 實(shí)驗(yàn)前準(zhǔn)備

        首先,將塑料瓶、硬幣放入冰箱。并測(cè)定冰箱的環(huán)境溫度以及室溫。經(jīng)過一定時(shí)間后,當(dāng)塑料瓶和硬幣的溫度與冰箱的環(huán)境溫度相同時(shí),一切就緒。

        3.2 實(shí)驗(yàn)步驟

        快速?gòu)谋渲腥〕鏊芰掀亢陀矌?,放置在水平桌面上。盡快將硬幣覆蓋在瓶口。注意,為了使硬幣和瓶口間密封,應(yīng)事先濕潤(rùn)硬幣和瓶口,此時(shí)當(dāng)硬幣蓋上時(shí)接觸面間由于水的存在產(chǎn)生了“液封”效應(yīng),這一步是實(shí)驗(yàn)成功的關(guān)鍵。

        3.3 數(shù)據(jù)處理

        實(shí)驗(yàn)采用冰箱的環(huán)境溫度為1.5 ℃,室溫為19.7 ℃,硬幣總共跳起39次。具體數(shù)據(jù)如表1所示。

        表1 跳起次數(shù)與時(shí)間統(tǒng)計(jì)表

        4 跳起次數(shù)和溫度的關(guān)系

        理論計(jì)算需要以下假設(shè):大氣壓為p0;初始?xì)怏w溫度為T0,室溫為TE;塑料瓶容積為V;普適氣體常數(shù)為R;初始瓶?jī)?nèi)氣體物質(zhì)的量為n0。并且假設(shè)氣體膨脹始終近似滿足準(zhǔn)靜態(tài)過程。

        由于塑料瓶容積始終不變,由理想氣體狀態(tài)方程可得,在任意情況下等式(1)始終成立:

        =c(1)

        其中,n,T,p分別表示在任意時(shí)刻瓶?jī)?nèi)氣體的物質(zhì)的量、溫度、壓強(qiáng)。

        在初始情況,自然有:

        =c(2)

        這里假設(shè)頂開硬幣時(shí)所需氣體壓強(qiáng)滿足:

        p1=p0(1+ε)(3)

        當(dāng)硬幣被頂開時(shí),瓶?jī)?nèi)氣體涌出瓶口,使瓶?jī)?nèi)氣壓與大氣壓再度平衡。因此,可計(jì)算得到在硬幣跳起前后,瓶?jī)?nèi)氣體的各個(gè)參量,如表2。(注:漏n前指第n次漏氣時(shí)刻前)

        表2 氣體參量數(shù)值理論計(jì)算表

        根據(jù)硬幣跳起的臨界條件:

        p1·S=p0·S+mg(4)

        可解得ε的理論表達(dá)式:

        ε= (5)

        將硬幣的質(zhì)量和半徑數(shù)值代入(5)式可得:

        ε= =1.6×10-3(6)

        由于當(dāng)x<<1時(shí),(1+x)n=1+n·x,而ε的確遠(yuǎn)小于1,所以由表中數(shù)據(jù)可知,當(dāng)硬幣第n次跳起時(shí),瓶?jī)?nèi)氣體溫度約為:

        Tn=T0(1+ε)n=T0(1+εn)(7)

        得到結(jié)論:近似的,瓶?jī)?nèi)氣溫每上升相同幅度,硬幣就跳起一次。

        將具體溫度數(shù)據(jù)帶入,注意應(yīng)當(dāng)將溫度單位轉(zhuǎn)化為開爾文進(jìn)行計(jì)算。求得硬幣跳起的理論次數(shù)為:

        S= =43(8)

        與實(shí)際得到的跳起次數(shù)39次比較接近。

        5 時(shí)間和溫度的關(guān)系

        為了進(jìn)一步計(jì)算瓶?jī)?nèi)氣體溫度與時(shí)間的關(guān)系,從而更好地理解硬幣跳起的時(shí)間規(guī)律,我們就需要對(duì)瓶子的熱量傳遞進(jìn)行分析。

        根據(jù)文獻(xiàn)[1],熱量的傳遞可以利用傅里葉定律以及牛頓冷卻定律求解。設(shè)傳熱表面的表面積為A。

        傅里葉定律:

        =-λA (9)

        其中,塑料瓶的導(dǎo)熱系數(shù)記為λ。

        牛頓冷卻定律:

        =-Ah(T2-T1)(10)

        其中,塑料瓶與空氣的傳熱系數(shù)記為h。

        理想氣體能量:

        E=n RT(11)

        引入?yún)?shù)瓶?jī)?nèi)壁溫度為Ti,瓶外壁溫度為T0。代入(9)(10)(11)式,分別得到單位時(shí)間內(nèi)流過瓶外壁的熱量 與流過瓶?jī)?nèi)壁的熱量 ,單位時(shí)間氣體能量增量 ,單位時(shí)間通過塑料瓶的熱量 :

        =Ah1(TE-T0) =Ah2(Ti-T) =n R =-λA (12)

        假設(shè)在熱傳遞過程中,塑料瓶本身所吸收的熱量可以忽略。利用能量守恒可以得到能量傳遞的關(guān)系:

        = = = (13)

        得到微分形式的解為:

        n = (14)

        由于塑料瓶?jī)?nèi)外壁的制作工藝不同,所以需要引入h1,h2,分別表示塑料瓶?jī)?nèi)外壁與空氣的傳熱系數(shù),L為塑料瓶的厚度。

        代入初始?xì)怏w溫度為T0,得到瓶?jī)?nèi)氣體溫度的時(shí)間函數(shù),可以看出,其形式為一個(gè)指數(shù)函數(shù):

        T=T -(T -T )·e (15)

        為了驗(yàn)證函數(shù)的正確性,選擇對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)運(yùn)用MATLAB的curve fitting功能進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合。

        選擇擬合函數(shù)為:

        T(t)=ae[-b(x+d)]+c(16)

        得到的擬合曲線如圖1所示。

        圖1 時(shí)間與溫度的擬合曲線

        得到的擬合參數(shù)為:

        a=-13.94;b=0.009805;c=16.3;d=-23.48。

        擬合曲線的相關(guān)指標(biāo)為:

        SSE:10.65;R-square:0.9889;Adjusted R-square:0.9879;RMSE:0.5517。

        從擬合曲線看,在300 s之前,曲線的擬合準(zhǔn)確性較好,與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合度高;300 s之后,擬合曲線逐漸低于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

        從擬合參數(shù)看,曲線預(yù)測(cè)的起始溫度為(a+c)=2.36℃;室溫為c=16.3 ℃。大致與實(shí)驗(yàn)測(cè)量條件的起始溫度1.5 ℃及室溫19.7 ℃接近。

        從擬合指標(biāo)看,確定系數(shù)為0.9879,擬合曲線對(duì)數(shù)據(jù)的解釋能力較強(qiáng);在39個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的情況下,和方差與均方根均在令人信服的范圍內(nèi)??傮w來(lái)說,擬合效果良好。

        6 誤差分析

        6.1 水的張力

        當(dāng)計(jì)算硬幣跳起的臨界氣壓時(shí),只考慮了硬幣的重力,而忽略了水的張力導(dǎo)致的阻礙硬幣跳起的影響。

        所以,ε的表達(dá)式應(yīng)修改為:

        ε'= (17)

        其中根據(jù)文獻(xiàn)[2],水的張力可近似表達(dá)為:

        FW=απ(DI+DO)=0.007 N(18)

        其中,DI,DO分別為圓環(huán)的外徑和內(nèi)徑,α為液體的表面張力系數(shù)。

        而原本使用的重力為mg=0.06 N。將修正后的ε'=1.17ε代入(8)式,得到修正的硬幣跳起數(shù)S'= =38.5,與實(shí)驗(yàn)值39相當(dāng)接近,側(cè)面說明了水的張力對(duì)硬幣跳起過程產(chǎn)生的重要影響。

        6.2 氣體溢出

        在硬幣跳起過程中,瓶?jī)?nèi)氣體不斷溢出。但是在計(jì)算氣體內(nèi)能時(shí),依然選擇了最初瓶?jī)?nèi)氣體的物質(zhì)的量進(jìn)行計(jì)算,這是存在誤差的。

        當(dāng)最終瓶?jī)?nèi)氣體穩(wěn)定時(shí),初末氣體的物質(zhì)的量滿足關(guān)系:

        n0T0=nT= =C(19)

        進(jìn)而得到初末氣體的物質(zhì)的量之比為:

        = = =1.07(20)

        所以,對(duì)氣體物質(zhì)的量的近似選取也存在一定誤差。前文提到,在300 s之后,擬合曲線逐漸低于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。從氣體溢出角度,隨著硬幣跳起次數(shù)的增加,瓶?jī)?nèi)氣體物質(zhì)的量減小,導(dǎo)致吸收熱量后升溫幅度加大,擬合曲線低于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。在300 s前,氣體溢出的量不足以反映在溫度變化上。

        7 結(jié) 論

        ①瓶?jī)?nèi)氣體膨脹使內(nèi)外壓強(qiáng)不同是硬幣跳起的原因;

        ②相鄰兩次硬幣跳起時(shí)瓶?jī)?nèi)氣體溫度之差為常數(shù),為ΔT=εT0;

        ③瓶?jī)?nèi)氣體溫度隨時(shí)間變化近似滿足函數(shù):

        T =T -(T -T )·e

        ④水的張力和瓶?jī)?nèi)氣體溢出是實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生誤差的主要原因。

        參考文獻(xiàn):

        [1]楊世銘,陶文銓. 傳熱學(xué)(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2006.

        [2]陳鳳鳳,顧文秀,鄭秋容,等. “拉環(huán)法測(cè)定液體表面張力”實(shí)驗(yàn)討論[J].廣東化工,2011(6):108.

        (欄目編輯 王柏廬)

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