隋云云，馬樹才，付云鵬(.濰坊學院 數學與信息科學學院，山東 濰坊 606； .遼寧大學 經濟學院，遼寧 沈陽 0036)

一、引 言

Markwitz提出的均值-方差模型將投資理論帶入了一個量化時代[1]。將證券的收益率看做隨機變量，用隨機變量在過去某時期的均值作為該證券未來的期望收益率，再將其在該時期的方差作為該證券風險的度量。由于在進行投資時人們只會考慮那些收益率大于期望收益率的證券，于是Markwitz又提出了半方差風險函數[2]188-201。但是，Markwitz的投資組合優(yōu)化模型在實際中并未得到廣泛應用，主要原因在于計算困難：一方面，是在計算風險函數時需要協(xié)方差矩陣，計算量大；另一方面，是當證券數量較多時需要求解一個大規(guī)模的二次規(guī)劃問題。為此，許多學者采用了一些近似方案以避免這個困難[3]。

概率論雖然是金融學中分析不確定性的主要工具，但其并不能夠完全描述金融市場的一些不同于隨機因素的其他不確定性因素。因此，可以借助于其他工具來描述這些不確定性因素,例如Zadeh所提出的模糊集理論以及可能性理論等不失為一種新的思路[4]。近年來，如Ramaswamy、Tanaka和Guo、高振斌等已經基于模糊集相關理論和可能性理論對投資組合優(yōu)化問題進行了研究[5-7]。在這些投資組合模型中，通常假設證券收益率的分布是已知的，然而這在現(xiàn)實中對投資者而言是不可能的，因此部分學者又利用區(qū)間數來解決這一問題，如路應金等將區(qū)間數線性規(guī)劃運用到證券投資組合分析中，在求解區(qū)間數線性規(guī)劃問題時通過引入一個反映投資者風險偏好的系數，將區(qū)間數線性規(guī)劃轉化為參數線性規(guī)劃[8]；趙玉梅等建立了多目標區(qū)間線性規(guī)劃問題，通過引入兩個參數(反應收益-風險偏好的參數和優(yōu)化水平的參數)將多目標區(qū)間線性規(guī)劃問題化為參數規(guī)劃問題來求解[9]；徐曉寧等針對市場上允許賣空的情況，以經典Markwitz模型為基礎，建立了關于投資組合的區(qū)間二次規(guī)劃模型，并利用區(qū)間數的相關理論將該模型轉化為確定性的投資組合二次規(guī)劃模型并進行求解[10]。上述模型大多是在Markwitz投資模型基礎上利用區(qū)間數反應證券收益率以及風險損失率的不確定性，并沒有考慮到投資者的效用，而武可棟等盡管也是以投資者的效用最大為目標，但也未考慮到證券收益率的區(qū)間彈性問題[11]。本文將兼顧兩個方面：一是從投資者角度進行考察，以投資者的效用函數作為目標函數、以投資者效用最大化為目的；二是考慮到證券收益率以及風險的彈性，將使用區(qū)間數來刻畫之。基于上述兩點，本文將建立一個基于效用最大化的區(qū)間值投資組合模型：首先，根據歷史數據將證券的收益率看做是區(qū)間數；其次，利用歷史數據采用模糊統(tǒng)計方法得到證券的區(qū)間收益率，將Mansini和Speranza所提出的半絕對偏差函數作為對風險的度量；最后，基于投資者的效用最大化構建投資組合模型，并應用于組合投資決策。

二、區(qū)間值投資組合模型

(一)傳統(tǒng)均值-方差模型

Markwitz的投資組合模型是針對假設投資者為風險規(guī)避型的理性投資者構建的，即在給定的同樣收益率條件下的股票，將投資者偏好風險最小的股票作為投資選擇，因此投資者想要獲得高收益的同時必須承擔較高的風險。

Markwitz投資組合優(yōu)化模型如下：

{maxf(x)=∑ni=1E(ri)xi

s.t.∑ni=1∑nj=1σijxixj≤ω

∑ni=1xi=1

li≤xi≤μi；i=1,2,…,n

(1)

{minf(x)=∑ni=1∑nj=1σijxixj

s.t.∑ni=1E(ri)xi≥r0

∑ni=1xi=1

li≤xi≤μi；i=1,2,…,n

(2)

模型(1)說明基于一定風險水平時期望收益率達到最大，而模型(2)是基于一定收益時風險達最小。在這兩個模型中，xi表示投資者將總資金投入到證券i的比例，E(ri)表示證券i的期望收益，R=(E(r1),E(r2),…,E(rn))T為投資組合的期望收益率；∑ni=1∑nj=1σijxixj是投資組合的方差，用來度量投資組合的風險，其中σij為證券i與證券j之間的協(xié)方差，ω表示投資者能夠承受的風險上限，r0表示投資者所期望的收益下限，li、μi分別表示證券i投資比例的下限和上限。

(二)投資者效用函數

本文采用半絕對偏差函數作為風險的度量，故先介紹半絕對偏差風險函數。半絕對偏差風險函數由Mansini和Speranza于1999年提出，令：

rit=pitc-pit0pit0

(3)

ri=1T∑Tt=1rit

(4)

其中pit0、pitc分別表示證券i在t時期的開盤價和收盤價，則該投資組合在t時期的半絕對偏差為：

wt(x)=|min{0,∑ni=1(rit-ri)xi}|

=max{0,∑ni=1(ri-rit)xi}

t=1,2,…,n

投資者在進行投資時會受到一些不確定因素的影響，而且不同的投資者對風險的偏好程度也會有所不同。研究表明，投資者的偏好不僅受到證券收益和風險的影響，而且還受到諸如投資環(huán)境、年齡、性別等因素的影響，故投資者的風險偏好并不穩(wěn)定，而環(huán)境等因素會影響其偏好，因此本節(jié)研究投資者的風險偏好。近年來，也有不少學者基于效用函數研究投資組合選擇模型，如Christer等人[12]，但是一般情況下效用函數很難確定。因此，為了簡化計算，使用效用函數U(W)=E(W)-AVar(W)，其中Var(W)代表風險，E(W)代表收益，基于該效用函數可建立如下模型：

(P1){maxU(X)=βE(R～)-(1-β)1T∑Tt=1wt(x)

s.t.XTe=1

(5)

其中1T∑Tt=1wt(x)為衡量投資組合的風險；β為風險偏好系數，β越大則投資收益對投資者越重要，β越小則投資風險對投資者越重要，在本模型中有兩個特例，即β=0和β=1，當β=1時，該投資者只關注投資收益完全不考慮風險，此時投資者為風險偏好者；當β=0時，該投資者為風險規(guī)避者，只關注風險而不關心收益。

對于模型(P1)中目標函數U(X)可做如下化簡：

U(X)=βE(R～)-(1-β)1T∑Tt=1wt(x)

=β∑ni=1rixi-(1-β)1T∑Tt=1|min{0,∑ni=1(rit-ri)xi}|

=β∑ni=1rixi-(1-β)1T∑Tt=1max{0,∑ni=1(ri-rit)xi}

=β∑ni=1rixi-(1-β)1T

∑Tt=1∑ni=1(ri-rit)xi+|∑ni=1(ri-rit)xi|2

=β∑ni=1rixi-(1-β)12T∑Tt=1∑ni=1(ri-rit)xi-

(1-β)12T∑Tt=1|∑ni=1(ri-rit)xi|

=β∑ni=1rixi-(1-β)12T∑ni=1(∑Tt=1(ri-rit))xi-

(1-β)12T∑Tt=1|∑ni=1(ri-rit)xi|

=∑ni=1(βri-(1-β)2Tξi)xi-(1-β)2

∑Tt=1|∑ni=1(ri-rit)xi|T

其中ξi=∑Tt=1(ri-rit),i=1,2,…,n，故規(guī)劃問題(P1)可轉化為：

(P2){max ∑ni=1(βri-(1-β)2Tξi)xi-(1-β)2∑Tt=1utT

s.t.ut+∑ni=1(ri-rit)xi≥0,t=1,2,…,T

ut-∑ni=1(ri-rit)xi≥0,t=1,2,…,T

XTe=1

(6)

(P2)為一般線性規(guī)劃問題，利用Matlab、Lingo等可求得其解X*=X(β)。

例如，表1列出了5種證券代碼以及2009-2013年的年收益率。

其中收益率由式(3)式(4)計算得到。將表1的數據帶入(6)式，則得到如下參數規(guī)劃問題：

此問題可通過Matlab、Lingo等求得最優(yōu)解。

表2給出了對于不同的參數β值時，各個證券的投資比例及該投資組合所對應的收益率。

表2 不同β對應的投資比例及收益率

(三)模型建立

對于區(qū)間值線性規(guī)劃的解法，國內外學者進行了大量的研究，并提出了一些解決方法，如Yoon提出了誤差分析方法[13]；Bryson和Mobolurin提出了線性規(guī)劃方法[14]；Rommelfanger等研究了目標函數系數為區(qū)間數的線性規(guī)劃求解方法[15]。對于目標函數和約束條件的系數均為區(qū)間數的線性規(guī)劃的解法，也有學者進行了大量的研究，劉新旺等針對目標函數和約束條件均為區(qū)間數的線性規(guī)劃問題提出了一種基于模糊約束滿意度的求解方法，把區(qū)間數線性規(guī)劃問題轉化為確定型的一般參數規(guī)劃問題來求解[16]。

路應金等提出，目標函數和約束條件的系數都是區(qū)間數的證券組合投資分析線性規(guī)劃方法，通過引入衡量投資者風險喜好的風險偏好系數α，將區(qū)間數規(guī)劃轉化為參數線性規(guī)劃問題，使證券組合投資決策具有一定的靈活性。

本文用到如下區(qū)間線性規(guī)劃形式：

(7)

(8)

達慶利和劉新旺考慮到投資者的判斷及投資環(huán)境等因素，引入參數α將上述的雙目標規(guī)劃問題轉化為如下參數規(guī)劃問題[17]：

(9)

對于理性投資者而言，都希望在得到最大收益的同時承擔最小的風險，然而眾所周知風險總是與收益并存，高收益總是伴隨著高風險，或者說高收益是對高風險的補償，因此對投資者而言，需要根據自身所能夠承受的風險及所期望的收益找到二者的一個平衡點。

由于收益及風險不確定，而進行投資所關心的就是風險與收益，因此有必要利用偏好系數β將二者結合起來考慮。通過偏好系數β，可以將上述的雙目標規(guī)劃轉化為單目標規(guī)劃，同時由于考慮到偏好系數β而投資者可以根據自身的收益及風險目標對投資比例調整，以增加投資的彈性。

本文采用半絕對偏差函數作為風險的測度，因此可建立在投資者效用基礎上的投資組合模型如下：

(10)

效用函數U(x)化簡如下：

(11)

其中

若考慮投資限制，則有如下模型：

(12)

上述模型為一次線性規(guī)劃問題，可通過Matlab、Lingo等軟件求解。

三、模型應用

下面以中國股票市場中的實際數據，說明所構建區(qū)間值組合投資模型的實際應用。

(一)數據的選取

在中國股票市場中選取5種股票，即自2012年6月15日到2013年5月23日共100周的周開盤價和周收盤價數據(原始數據來源于通達信)。

(二)所需要的變量值

(三)投資組合期望收益率的區(qū)間確定

第一步，基于股票100周的周收益率，將其分成10個子區(qū)間[ai,bi]，然后計算落在每個區(qū)間內周收益率的個數ni(i=1,2,…,10)。

第二步，ni除以100記為該區(qū)間的隸屬度ξi(i=1,2,…,10)。

所得到5種股票的區(qū)間收益率見表3。

表3 5種股票代碼及收益率區(qū)間表

(四)模型的建立及求解

有了上述的準備工作，就可將上述數據帶入模型，將投資組合模型轉化為求下列參數規(guī)劃問題：

股票名稱b=0b=0．4b=0．6b=0．85b=1中體產業(yè)0．00．00．00．00．0招商銀行0．40．40．40．20．0中國石油0．40．40．40．40．4格力電器0．150．150．00．00．2中國平安0．050．050．20．40．4目標函數值-0．0129-0．0084-0．0061-0．0032-0．0012

由表4可看出，不論市場期望b如何變化，該投資組合最少選擇3支股票進行投資，但是有的股票不論市場的期望值b如何變化總是不會進入投資組合當中，例如中體產業(yè)，原因在于所選股票的期望收益率不穩(wěn)定，期望收益率的區(qū)間變化范圍較大；而有的股票，不論b取何值其投資比例總會達到投資上限，例如表4中的中國石油，其投資比例總是達到投資上限0.4，原因在于中國石油的期望收益比較平穩(wěn)，其期望收益率的變化范圍在這5種股票中是最小的，其次是招商銀行。

股票名稱b=0b=0．4b=0．6b=0．85b=1中體產業(yè)0．00．00．40．40．4招商銀行0．40．150．00．00．0中國石油0．40．40．1500．0格力電器0．150．40．40．40．4中國平安0．050．050．050．20．2目標函數值-0．0100-0．0044-0．00080．00500．0086

由表5可以看出，對傾向于風險偏好者而言，當經濟環(huán)境向好(b值增大)時，期望收益率波動較大的中體產業(yè)進入到投資組合當中，而期望收益率較平穩(wěn)的中國石油和招商銀行卻被排除在投資組合之外。由此可見，當經濟環(huán)境較好時傾向于風險偏好者會增加對期望收益率的權重，進而也降低了對風險的權重。

對比表4和表5可以發(fā)現(xiàn)：一方面，當b值(即投資環(huán)境或投資者的判斷)為0時，在經濟環(huán)境完全走壞的情況下，不論是傾向于風險規(guī)避還是傾向于風險偏好的投資者，均會將期望收益率波動較大的股票(中體產業(yè))排除在投資組合之外，轉而投資于期望收益率波動較小的股票(中國石油)；當b值為0.4時，在經濟環(huán)境趨向于走壞的情況下，傾向于風險規(guī)避和風險偏好的投資者在對待期望收益率波動最大和最小的股票態(tài)度是一樣的，仍然將期望收益率波動最大的股票置于投資組合之外，而將期望收益率波動最小股票的投資比例達到上限，但對待期望收益率波動較大和較小股票的態(tài)度是不同的：風險規(guī)避者將期望收益率波動較小股票的投資比例達到上限，而傾向于風險偏好投資者卻將期望收益率波動較大股票的投資比例達到了上限；當b值為0.85時，此時經濟環(huán)境向好，傾向于風險規(guī)避和風險偏好的投資者對于投資組合的態(tài)度是不同的：風險規(guī)避者此時仍然不會投資期望收益率波動最大的股票，但會調整期望收益率波動較小的幾個股票之間的投資比例，而風險偏好者會加大對期望收益率波動最大股票的投資比例，相應地降低了對期望收益率波動較小股票的投資比例；當經濟環(huán)境完全好轉(即b值為1)時，傾向于風險偏好的投資者將期望收益率波動最大股票的投資比例調整到上限，而將期望收益率較平穩(wěn)的兩個投資比例調整到0，但傾向于風險規(guī)避的投資者的投資策略則完全不同，隨著經濟環(huán)境的好轉，該類投資者也逐步提高在期望收益率波動較大股票上的投資比例，但期望收益率波動最大的股票仍被排除在投資組合之外。

另一方面，不論是風險規(guī)避者還是風險偏好者，其目標函數值均隨著b的增加而增大，而b表示的是投資者的判斷及投資環(huán)境等經濟環(huán)境因素。在所建立的模型中，b越大表明經濟環(huán)境越好和期望收益率越接近預期的收益率上限，同時風險越接近于所能夠承受的風險下限，從而目標函數值就會越大。同時還可以發(fā)現(xiàn)，對應于同一個b值，傾向于風險偏好投資者的目標函數值總是大于傾向于風險規(guī)避投資者的目標函數值(見圖1)。

圖1 效用值隨b變化情況圖

四、結 論

本文考慮到投資者的效用，用區(qū)間數來測度投資組合的收益以及用半絕對偏差來衡量投資組合風險，構建出了一種新的基于效用的區(qū)間值投資組合模型，該模型對組合投資決策不失為一新的投資決策選擇工具，并可得到區(qū)間值規(guī)劃問題的最優(yōu)解；本文又引入了一個能夠反映市場經濟環(huán)境因素的系數，這樣就可將區(qū)間值規(guī)劃問題轉化為一般的線性規(guī)劃問題，從而可求得該模型的解；通過結合中國證券市場一個組合投資實例，檢驗了該模型的實用性，由檢驗結果可以看出，投資者完全可以根據自己的投資偏好選擇不同的投資比例，同時也可根據市場經濟環(huán)境的不同而調整自己的投資比例。

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