周遞芝

（貴州民族大學(xué) 教務(wù)處，貴陽550025）

引言

作為刻畫社會收入分配的有效工具，洛倫茲曲線模型已得到廣泛而深入的研究。一般情況下，可通過兩種途徑獲取收入分配數(shù)據(jù)的洛倫茲曲線，一種是通過已知數(shù)據(jù)擬合收入分配的概率密度函數(shù)，再導(dǎo)出洛倫茲曲線；另一種是由收入分配數(shù)據(jù)直接構(gòu)造洛倫茲曲線。由于收入分配的統(tǒng)計分布不易確定，導(dǎo)致很難擬合出合適的概率密度函數(shù)。因此，數(shù)理經(jīng)濟理論界學(xué)者更傾向使用第二種途徑，即直接構(gòu)造洛倫茲曲線。

設(shè)收入分配的概率密度函數(shù)為（fx），對應(yīng)的概率分布函數(shù)為F（x），則p=F（x）表示收入低于或等于x的人口比例。記收入低于或等x于的人口群體擁有收入占總收入的比例為L（p），則；記F（x）的反函數(shù)為F-（1p），μ為平均收入，則也被稱為收入分配的洛倫茲曲線。實際應(yīng)用中，可通過入戶調(diào)查獲得家庭收入與消費等數(shù)據(jù)其中pi與Li分別為低收入群體的累計比例和該群體的總收入比例。利用最小二乘擬合的方法，先確定L（p，τ）參數(shù)向量 τ的估計值，再用作為洛倫茲曲線對收入分配進行近似分析。L（p，τ）是定義在[0，1]區(qū)間上滿足L（0，τ）=0，L（1，τ）=1，L（'p，τ）≥0，L"（p，τ）≥0，（0.1）的函數(shù)，即在[0，1]上是一個凸的增函數(shù)。

一直以來，人們的普遍關(guān)注洛倫茲曲線模型.文獻[1]列出了大量的洛倫茲曲線模型[1]，并進行比較.文獻[2]構(gòu)造了形如 G（p）=pαL（p）n的洛倫茲曲線模型[2]。隨后，Ogwang等人在文獻[3]通過凸組合和加權(quán)積的方式構(gòu)造一系列洛倫茲曲線模型[3]。此后，眾多學(xué)者以冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等為基礎(chǔ)通過加權(quán)、組合、扭曲等方式構(gòu)造了一些洛倫茲曲線模型[4-11]。

一、洛倫茲曲線模型的構(gòu)建

文獻[10]和[11]對文獻[4]中形如 G（p）=pαL（p）n的幾個具體模型進行數(shù)值實驗后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)參數(shù)α?的估計值α?∈（0，1）時，pα相應(yīng)模型的擬合效果較好。顯然，當(dāng)時是一個凹函數(shù)。據(jù)此，通過恰當(dāng)?shù)膬绾瘮?shù)與對數(shù)函數(shù)形式的凹函數(shù)替換pα，它們構(gòu)造了一類具有良好擬合效果的凹凸組合的洛倫茲曲線模型。受此啟發(fā)，下面通過三角函數(shù)形式的凹函數(shù)替換pα，構(gòu)造一個基于三角函數(shù)與冪函數(shù)的凹凸組合的洛倫茲曲線模型。

證明：要證 J（p）為洛倫茲曲線模型，只需驗證 J（p）滿足（0.1）式。直接計算可得J（0）=0，J（1）=1。由知，當(dāng)時，J'（p）≥0。因為所以，當(dāng) 0≤p≤1 時

二、模型檢驗

為了檢驗定理1中模型的合理性，下面選取文獻[12]所采用的美國100個分位點的詳細收入分配分組數(shù)據(jù)進行模型檢驗[12]，分別定義均方誤差、平均絕對誤差、最大絕對誤差和基尼系數(shù)G為：

借助Lingo9.0，可以得到1977年美國收入分配分組數(shù)據(jù)的擬合檢驗情況（見表1）。式的凹函數(shù)構(gòu)造凹凸組合形式的洛倫茲曲線模型，亦具有較好的擬合精度。這不僅進一步說明凹凸組合形式的洛倫茲曲

表1 1977年美國收入分組數(shù)據(jù)均方誤差檢驗結(jié)果

檢驗結(jié)果表明，該模型的擬合精度較高，對細致數(shù)據(jù)具有很好的適應(yīng)性。

結(jié)語

繼文獻[10]與[11]分別用冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)形式的凹函數(shù)來構(gòu)造凹凸組合形式的洛倫茲曲線模型后，用三角函數(shù)形線模型擬合精度高、適應(yīng)強，而且豐富并完善了已有的洛倫茲曲線模型理論及其應(yīng)用。

[1]Schader M.，Schmid F.Fitting parametric Lorenzcurves to grouped income distribution-A critical note[J].Empirical Economics，1994，19：361-370.

[2]Sarabia J.，Castillo E.，Slottje D.J.An ordered family of Lorenz curves[J].Journal of Econometrics，1999，（91）：43-60.

[3]Ogwang T.，Gourang a Rao U L.Hybrid models of the Lorenz curve[J].Economics Letters，2000，（69）：39-44.

[4]張奎，王原君.Sarabia 洛倫茲曲線模型的推廣[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2010，23（3）：501-507.

[5]Wang Z.X.，Ng，Y.K.，Smyth R.A general method for creating Lorenzcurves[J].The Review of Income and Wealth，2011，（57）：561-582.

[6]Wang Z.X.，Smyth R.A hybrid method for creating Lorenz curves with an application to measuring world income inequality[J].Monash Universtiy Business and Economics，2013：1-48.

[7]顏節(jié)禮，王祖祥.洛倫茲曲線模型研究綜述和最新進展[J].統(tǒng)計與決策，2014，（1）：34-39.

[8]丁恒，李延來，熊升華，陳振頌.基于三角函數(shù)的洛倫茲曲線模型構(gòu)造研究[J].計算機應(yīng)用研究，2014，（11）：3273-3280.

[9]董中印，孫曉琳，孫曉芹.中等收入定位與人口度量模型研究[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識，2014，44（15）：99-105.

[10]儲昌木，邢麗，田應(yīng)福.基于凹凸組合的一類洛倫茲曲線模型[J].經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2015，（2）：93-96.

[11]邢麗，儲昌木，孫嬌嬌.基于對數(shù)組合的一類洛倫茲曲線模型[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識，2016，46（5）：204-209.

[12]Basmann，R.L.，Hayes，K.J.，Slottje，D.J，et al.A general functional form for approximating the Lorenzcurve[J].Journal of Econo-metrics，1990，43（1）：77-90.