杜巖錦，郭宗和，杜晴晴，徐 昭

（山東理工大學 機械工程學院，山東 淄博 255049）

1 引言

在傳統(tǒng)的并聯(lián)機構優(yōu)化設計過程當中，設計者們大多數(shù)都是進行確定性優(yōu)化設計，忽略了不確定性因素[1-2]的影響。然而不確定性因素確實存在于并聯(lián)機構的設計、加工、裝配等過程中，如構件的加工精度誤差、運動副間隙誤差、機構裝配誤差以及外界環(huán)境所引起的熱脹冷縮、受力變形等。在并聯(lián)機構多目標優(yōu)化設計[3]過程中，由于不確定性因素在設計初期就已經出現(xiàn)，他們會隨著設計變量、設計參數(shù)、約束條件等在多個目標函數(shù)之間傳播，使得不確定性因素在最終的設計結果中累積并且會造成優(yōu)化結果的可靠性下降。在文獻[4-5]的基礎上，將考慮隨機不確定性的多目標設計優(yōu)化理論應用于3-PRRS并聯(lián)機構的優(yōu)化設計中。在構建該并聯(lián)機構考慮不確定性的多學科設計優(yōu)化模型[6]的基礎上，采用基于文獻[7]的6Sigma質量設計（DFSS）優(yōu)化算法進行優(yōu)化設計。為提高并聯(lián)機構優(yōu)化設計結果的可靠性提供一種新的思路與方法。

2 3-PRRS并聯(lián)機構模型

3-PRRS并聯(lián)機構由靜平臺M1M2M3、動平臺a1a2a3以及連接兩個平臺的3條均勻分布且結構相同的支鏈組成，每條支鏈均由一個移動副P、轉動副R1、轉動副R2和一個球副S組成，如圖1所示。

圖1 3-PRRS并聯(lián)機構結構簡圖Fig.1 3-PRRS Parallel Mechanism Schematic Diagram

其中，與移動副相連的轉動副R1的軸線始終與靜平臺平行，與連桿li相連的轉動副R2的軸線與轉動副R1軸線相互垂直。P副和轉動副R1為驅動副。點為移動桿與靜平臺的交點，點為連桿li（i=1、2、3）與動平臺連接的球副S的中心，動平臺的直徑為d，靜平臺（虛線部分，即轉動副R2的中心點Gi在靜平臺上的投影，投影點為Mi）直徑為D。分別在動、靜平臺的中心P、O點建立空間直角坐標系 P-xyz、O-XYZ，z、Z 軸垂直于動、靜平臺，x、X 軸分別指向a1、A1點，y、Y軸符合右手定則，u1u2u3分別為相對應的支鏈上與轉動副R2的轉動軸線共線的向量。

3 性能評價指標

3.1 工作空間指標

現(xiàn)階段的并聯(lián)機構優(yōu)化設計的重點之一就是如何解決工作空間小的問題。通過文獻[3]對限制約束條件分析，利用極坐標搜索法得到3-PRRS并聯(lián)構工作空間體積公式：

在這里目標函數(shù)選取：V→max。

3.2 全域靈巧度指標

并聯(lián)機構靈巧度的指標可分為雅可比矩陣條件數(shù)指標和可操作度指標[8]。

3.2.1 雅可比矩陣條件數(shù)

由于雅可比矩陣與并聯(lián)機構的位形有關，是時刻變化的，因此，用全域條件數(shù)指標ηJ來評價各向同性的好壞。具體公式如下：

式中：W—并聯(lián)機構工作空間。

3.2.2 可操作度指標

3.2.3 全域靈巧度指標

上述兩種指標都會影響機構的靈巧度，所以將兩種指標進行整合，建立綜合評價指標η。

式中：k1、k2—權重系數(shù)，根據設計目標來進行選取。在這里分別取為k1=0.6，k2=0.4。在這里目標函數(shù)選取：η→min。

3.3 線加速度和角加速度性能指標

加速度性能指標與一階雅克比矩陣J和二階Hessian矩陣H有關。六自由度并聯(lián)機構動平臺參考點P的運動既有移動又有轉動時，線加速度和角加速度的量綱是不同的，無法確定動平臺參考點加速度的向量范數(shù)。故設：

動平臺參考點加速度可以寫成：

由式（8）和式（9）得角加速度和線加速度的條件數(shù)分別為：

其中，a、b為相對偏差，在這都取2%。在并聯(lián)機構的工作空間內，角加速度和線加速度的條件數(shù)是局部性質，故用角加速度全域條件數(shù)ηw和線加速度全域條件數(shù)ηv表示線加速度和角加速度性能指標，顯然，ηw和ηv指標越小，動力學性能越好。角加速度和線加速度全域條件數(shù)指標具體公式為：

4 多目標確定性設計優(yōu)化

4.1 多目標設計優(yōu)化模型的建立

目標函數(shù)：

4.2 基于Isight的多目標優(yōu)化設計

在并聯(lián)機構多目標的優(yōu)化設計中，基于Isight優(yōu)化設計軟件采用試驗設計與Optimization組件NSGA-II優(yōu)化算法相結合的組合優(yōu)化策略[9-10]。在Isight中建立的3-PRRS并聯(lián)機構的多目標優(yōu)化設計流程圖，如圖3所示。具體操作為：在DOE組件中選擇最優(yōu)拉丁超立方設計法，樣本點數(shù)是30，然后在Optimization組件中選擇NSGA-Ⅱ優(yōu)化算法，設置種群大小是4，遺傳代數(shù)設置成20。集成的Matlab組件輸入設計變量（Input Mappings）：D、d、l，輸出變量（Output Mappings）：工作空間（v）、全域靈巧度指標（lingqiaodu）、角加速度全域條件數(shù)及線加速度全域條件數(shù)（jiaojia及ianjia）。根據優(yōu)化目標寫入優(yōu)化程序（Commands）。

圖2 優(yōu)化設計流程Fig.2 Optimization Design Process

4.3 多目標優(yōu)化設計結果分析

通過試驗設計（DOE）可以得出各個設計變量與目標函數(shù)的影響程度關系圖。圖3為所有設計變量分別對工作空間、全域靈巧度、角加速度和線加速度性能指標的貢獻率圖。以圖3（a）為例進行分析，靜動平臺直徑D、d對工作空間貢獻率分別高達約30%（藍色表示正效應）、27%（紅色表示負效應），而連桿長度的貢獻率僅達到約5%，貢獻率為并聯(lián)機構各個構件的加工精度提供了參考。通過Isight可以查看NSGA-II算法優(yōu)化過程中的History表格，可看到每次優(yōu)化的數(shù)據，如圖4所示。由History表格得到的可行性設計點歷史圖，目的是可以看到目標函數(shù)的變化規(guī)律，如圖5所示。

圖3 設計參數(shù)對目標函數(shù)的貢獻率圖Fig.3 The Contribution ofDesign Parameters on Objective Functions

圖 4優(yōu)化過程的History表格Fig.4 History Form on Optimization

圖5 設計參數(shù)的可行設計點圖Fig.5 The Feasible Design Points of Design Parameters

在實際應用中，最優(yōu)設計點應根據實際情況綜合考慮多目標的優(yōu)劣程度進行權衡選擇。例如，將3-PRRS并聯(lián)機構應用于高精度加工設備中，首先必須保證全域角速度和線速度性能指標越小越好，選擇第30（64和67是相同的選擇其一即可）、41、59、70、72組數(shù)據，其次要求全域靈巧度性能要好，選擇41、59和70組，然后考慮工作空間要求盡可能的大。通過權衡考量，最終選擇59組數(shù)據作為優(yōu)化結果，得到最優(yōu)設計點：d=110.81mm，D=192.74mm，l=140.33mm。

5 考慮不確定性的多目標可靠性優(yōu)化設計

5.1 3-PRRS并聯(lián)機構的不確定性因素

5.1.1 隨機設計變量

結構尺寸的加工精度屬于隨機不確定性，符合正態(tài)分布，故可假設：1～N（140.33，0.01），D～N（192.74，0.01），d～N（110.81，0.01）。

5.1.2 隨機噪音

根據3-PRRS并聯(lián)機構的結構特點，可以將隨機噪音分為如下幾種：（1）裝配誤差：移動副的中軸線與支撐桿中軸線應該重合，但因裝配誤差的存在使得他們之間存在間隙，而間隙的大小是不確定的，并且是隨機的，符合正態(tài)分布，在公式中的表示為：移動副軸線與靜平臺 X 軸的夾角 φi～N（φi，0.01）。（2）動平臺上球副的安裝位置誤差：在確定性條件下：三個球副是均布在動平臺上的，但是，考慮到安裝的不確定性，三個球副的角度間距不一致，即影響了動平臺上 a1、a2、a3三點的位置，公式表示也是：φi～N（φi，0.01）。（3）定位誤差：由于各項性能指標都是以并聯(lián)機構的反解作為基礎，若動平臺參考點P的位姿定位存在微小的不確定性，就會傳播給目標函數(shù)，故定位誤差符合：XP～N（XP，0.01）、YP～N（YP，0.01）、ZP～N（ZP，0.01）。（4）約束條件誤差：并聯(lián)機構的移動副移動范圍是有一定限制的，但因系統(tǒng)本身是一個加工裝配機構，使得上下限存在不確定性，Lmax～N（Lmax，0.01）、Lmin～N（Lmax，0.01）。

5.2 6 Sigma可靠性分析

如圖6所示，建立6sigma可靠性評價流程。具體操作為Matlab 組件中輸入設計變量（Input Mappings）：D、d、l、φ1、XP、YP、ZP、Lmax、Lmin，優(yōu)化程序（Commands）因噪音變量由確定值改為以變量的形式存在而有所改變，輸出變量（Output Mappings）不變，雙擊sixsigma1組件，在AnalysisType下拉菜單中選擇6Sigma分析類型為可靠性分析方法，即Reliability Technique，在Technique中選擇二階可靠性方法（SORM），在Random Variables屬性頁中，設置所有符合正態(tài)分布的隨機設計變量D、d、l以及隨機噪音變量 φ1、XP、YP、ZP、Lmax、Lmin，設置均值，設置變量的變異系數(shù)（Coeff of Variance）為0.01。6sigma可靠性分析報告，如表1所示。全域靈巧度指標和工作空間sigma leve（可靠度水平）與可靠度相對較高。線加速度指標的可靠度水平只達到3.4sigma。角加速度指標可靠度水平只達到1.62sigma，可靠度為89.477%，可靠度較低，所以有必要進行6sigma優(yōu)化。6Sigma優(yōu)化流程如圖7所示。具體操作：在Matlab組件中，輸入設計變量、優(yōu)化序、輸出變量，在Six Sigma組件中Run Mode下選擇six sigma optimization，在Analysis Type下拉菜單中選擇6 Sigma分析類型為，在Technique下拉菜單中選擇二階可靠性方法（SORM），然后仍然在Six Sigma組件中由General將切換到Optimization一欄，仍采用NSGA-II優(yōu)化算法，便于結果對比。在Constraints屬性頁中，定義隨機設計變量和上述噪音變量的Sigma Level的下限為6sigma水平，切換到Objective屬性頁，選擇Six Sigma Result節(jié)點下的Mean，勾選四個目標函數(shù)。優(yōu)化結果，如表2所示。經過6sigma優(yōu)化后，在優(yōu)化目標均滿足6sigma可靠度的要求的前提下得到了可靠性優(yōu)化最優(yōu)解，兩種優(yōu)化方案的結果與可靠性進行了對比，對比結果驗證了6sigma優(yōu)化的結果的可靠度高于確定性優(yōu)化方案的可靠度，如表3所示。

圖6 6sigma可靠性分析Fig.6 6Sigma Reliability Analysis

表1 6Sigma分析報告Tab.1 6Sigma Analysis Report

圖 7 6Sigma優(yōu)化流程Fig.7 6Sigma Optimize Process

表2 6Sigma優(yōu)化結果分析Tab.2 6Sigma Analysis Results

表3 優(yōu)化結果對比Tab.3 Optimization Results Contrast

6 結論

（1）基于Isight多學科設計優(yōu)化軟件，利用試驗設計（DOE）分析并聯(lián)機構，可以非常方便的得出各個設計變量與各個目標函數(shù)的影響程度關系圖即因子對響應的影響程度，為并聯(lián)機構各個構件的加工精度提供了依據。對DOE得出的近似模型進行多目標優(yōu)化，得到Pareto解集，決策者可以根據實際情況綜合考慮多目標的優(yōu)劣程度進行權衡選擇。（2）分析3-PRRS并聯(lián)機構在設計制造中所涉及到的隨機不確定性，利用6sigma可靠性分析來驗證聯(lián)機構多目標優(yōu)化設計結果的可靠性。對考慮隨機不確定性的多目標優(yōu)化設計模型進行6sigma優(yōu)化，通過對比驗證了考慮不確定性的多目標優(yōu)化設計方法可使得優(yōu)化結果的可靠性更高。

［1］Leila Notash.Uncertainty configurations of parallel manipulators［J］.Mechanism and Machine Theory，1998，33（1-2）：123-138.

［2］Kosuke Iimura，Eiichiro Kataoka，Miyu Ozaki.The uncertainty of parallel model coordinate measuring machine［J］.MAPAN，2011，26（1）：47-53.

［3］Kelaiaia R，Company O，Zaatri A.Multiobjective optimization of a liner Delta parallel robot［J］.Mechanism and Machine Theory，2012（50）：159-178.

［4］杜晴晴，郭宗和，牛桂平.新型3-PRRS農業(yè)并聯(lián)機器人運動學及工作空間分析［J］.山東理工大學學報：自然科學版，2015（5）：37-42.（Du Qing-qing，Guo Zong-he，Niu Gui-ping.Kinemetics ansysis and Workspace of a New 3-PRRS agriculouiture parallel mechanism［J］.Journal of Shandong University of Technology：Natural Science Edition，2015（5）：37-42.）

［5］杜晴晴，郭宗和，郭前建.3-PRRS六自由度并聯(lián)機構奇異位形研究［J］.機床與液壓，2015（15）：1-6.（Du Qing-qing，Guo Zong-he，Guo Qian-jian.Study of 3-PRRS six DOF parallelmechanismsingularconfiguration［J］.MachineTool&Hydraulics，2015（15）：1-6.）

［6］韓明紅，鄧家禔.多學科設計優(yōu)化中的不確定性建模［J］.北京航空航天大學學報，2007，（1）：115-118.（Han Ming-hong，Deng Jia-ti.Uncertainty modeling in multi-disciplinary design optimization［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2007（1）：115-118.）

［7］賴宇陽.Isight參數(shù)優(yōu)化理論與實例詳解［M］.北京：北京航空航天大學出版社，2012.（Lai Yu-yang.Isight Parameters Optimization Theory and Example planation［M］.Beijing：Beihang University Press，2012.）

［8］Gosselin C M，Angeles J.A Global Performance Index for the Kinematic Optimization of Robotic Manipulators［J］.ASME Journal of Mechanical Design，1991（3）：220-225.

［9］崔國華，周海棟，王南.基于Isight的3-UPS-S并聯(lián)機器人機構多目標優(yōu)化［J］.農業(yè)機械學報，2013（9）：261-266.（Cui Guo-hua，Zhou Hai-dong，Wang Nan.Multi-objective optimization of 3-UPS-S parallel mechanism based on isight［J］.Transactions of the Chinese Society of Agricultural Machinery，2013（9）：261-266.）.

［10］王南，劉慶陽，周莎莎.基于Isight平臺NSGA-Ⅱ方法的3-PRS并聯(lián)機構多目標優(yōu)化［J］.機械設計與制造，2015（12）：198-201.（Wang Nan，Liu Qing-yang，Zhou Sha-sha.Multi-objective optimization of 3-PRS parallel mechanism based on NSGA-Ⅱmethod of isight platform［J］.Machinery Design&Manufacture，2015（12）：198-201.）