竇作成， 李以農(nóng)， 杜明剛， 楊 陽(yáng)， 趙臘月

(1. 重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044； 2. 中國(guó)北方車輛研究所，北京 100072)

行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)因結(jié)構(gòu)緊湊、容易實(shí)現(xiàn)多個(gè)檔位的傳動(dòng)速比，在車輛傳動(dòng)系統(tǒng)中被廣泛采用。近年來(lái)行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)檔位數(shù)逐漸增加(6檔甚至更多)，在增強(qiáng)其傳動(dòng)平順性等優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)也使得系統(tǒng)結(jié)構(gòu)越來(lái)越復(fù)雜[1]，在設(shè)計(jì)中很容易出現(xiàn)參數(shù)選取不合理導(dǎo)致系統(tǒng)多個(gè)檔位在外界激勵(lì)下都會(huì)發(fā)生扭轉(zhuǎn)共振。為避免這種惡劣情況的發(fā)生，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)優(yōu)化修改[3-4]。由于行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)中不同參數(shù)對(duì)同一檔位固有頻率有不同的影響，而同一參數(shù)對(duì)不同檔位的固有頻率影響也存在差別。因此，僅依靠人工對(duì)參數(shù)進(jìn)行修改來(lái)獲得滿足行星傳動(dòng)變速系統(tǒng)所有檔位固有頻率都避開工作轉(zhuǎn)速的要求需要耗費(fèi)大量的人力和時(shí)間，而且很難得到一個(gè)最優(yōu)的調(diào)節(jié)效果。那么建立一種高效的針對(duì)多檔位行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化修改方法，以獲得系統(tǒng)所有檔位在工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)都不出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)共振的設(shè)計(jì)參數(shù)具有重要意義。

為避免傳動(dòng)系統(tǒng)出現(xiàn)共振的參數(shù)優(yōu)化修改首先需要進(jìn)行靈敏度分析，以使參數(shù)修改更具針對(duì)性。國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者都進(jìn)行了行星傳動(dòng)系統(tǒng)固有頻率對(duì)參數(shù)靈敏度的研究， Guo和Lin等[2-5]研究了行星齒輪嚙合剛度、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)行星排固有特性和振動(dòng)模態(tài)應(yīng)變能的影響。齊寅明等[6]分析了由三級(jí)簡(jiǎn)單行星排構(gòu)成的盾構(gòu)機(jī)減速器固有特性及對(duì)參數(shù)靈敏度。黃毅、劉輝等[7-8]針對(duì)車輛傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了靈敏度分析。在計(jì)算出傳動(dòng)系統(tǒng)固有頻率對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的靈敏度后，需要通過(guò)動(dòng)力學(xué)參數(shù)修改才能達(dá)到避免系統(tǒng)出現(xiàn)共振、減小系統(tǒng)振動(dòng)的目的。項(xiàng)昌樂等[9]采用多步靈敏度法對(duì)車輛傳動(dòng)系統(tǒng)某一檔參數(shù)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)修改，得到了某個(gè)參數(shù)調(diào)整后系統(tǒng)固有頻率的變化情況。張代勝等[10]通過(guò)建立扭轉(zhuǎn)剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)固有頻率的影響曲線來(lái)尋找較優(yōu)的參數(shù)，以達(dá)到減小傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)的目的。現(xiàn)有的文獻(xiàn)只對(duì)變速傳動(dòng)系統(tǒng)一個(gè)檔位或定傳動(dòng)比系統(tǒng)出現(xiàn)共振時(shí)進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化修改，還沒有針對(duì)多個(gè)檔位同時(shí)出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)共振的行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)參數(shù)優(yōu)化修改的研究。

本文建立了多檔位行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)集中參數(shù)模型，分析了系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率對(duì)齒輪間嚙合剛度、軸段扭轉(zhuǎn)剛度和各構(gòu)件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的相對(duì)靈敏度，并以此作為參數(shù)優(yōu)化約束條件。為獲得更好的參數(shù)優(yōu)化結(jié)果，采用基于遺傳算法的多步優(yōu)化方法，每步優(yōu)化中均采取相對(duì)初始參數(shù)變化率最小的動(dòng)態(tài)優(yōu)化目標(biāo)和動(dòng)態(tài)約束條件。對(duì)比分析了該優(yōu)化方法和單步獨(dú)立最優(yōu)得到的優(yōu)化結(jié)果，并研究了優(yōu)化步長(zhǎng)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。對(duì)行星傳動(dòng)系統(tǒng)固有頻率對(duì)參數(shù)靈敏度用于傳動(dòng)系統(tǒng)多個(gè)檔位和單個(gè)檔位參數(shù)優(yōu)化修改的特點(diǎn)進(jìn)行了分析。并分析了系統(tǒng)參數(shù)不確定性引起的共振檔位固有頻率穩(wěn)定性。

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)某多級(jí)行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，建立圖1所示扭轉(zhuǎn)振動(dòng)集中參數(shù)模型。該系統(tǒng)共有三個(gè)行星排，行星排1、行星排2為含有4個(gè)行星輪的簡(jiǎn)單行星排，行星排3為含有兩類各3個(gè)行星輪的復(fù)合行星排。各行星排中行星輪均沿圓周等距分布，相同類型的行星輪質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及輪齒嚙合剛度取相同值。Ci(i=1,2,3,L,H,R)為行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)中離合器，通過(guò)改變各離合器結(jié)合分離組合方式，該行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)8個(gè)檔位的傳動(dòng)。系統(tǒng)包含29個(gè)構(gòu)件，但是由于每個(gè)檔位都有兩個(gè)離合器結(jié)合，因此系統(tǒng)每個(gè)檔位含有27個(gè)旋轉(zhuǎn)方向自由度。Ji(i=1,2,3,H1,H2)為各慣性元件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：其中，J1為發(fā)動(dòng)機(jī)至變速傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力輸入端傳動(dòng)構(gòu)件等效到動(dòng)力輸入端的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；J2、J3為動(dòng)力輸出端至車輪各傳動(dòng)構(gòu)件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和車體平動(dòng)質(zhì)量的等效慣量轉(zhuǎn)換到動(dòng)力輸出端的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ki(i=1～8)為各慣性元件間連接件扭轉(zhuǎn)剛度。

圖1 多檔位行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型Fig.1 Torsional vibration model of multi-speed planetary transmission

圖2 簡(jiǎn)單行星排1、2集中參數(shù)模型Fig.2 Lumped parameter model of simple planetary set 1 and 2

圖3 復(fù)合行星排3集中參數(shù)模型Fig.3 Lumped parameter model of compound planetary set 3

行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)中行星排坐標(biāo)系設(shè)定為：太陽(yáng)輪、行星架和齒圈取絕對(duì)坐標(biāo)系，行星輪的坐標(biāo)系取為隨行星架同步旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系。分析中設(shè)定所有構(gòu)件沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向?yàn)檎较?，輪齒的相互壓縮方向?yàn)樽冃蔚恼较颍瑘D2、圖3給出了簡(jiǎn)單行星排1、2和復(fù)合行星排3各構(gòu)件的正向旋轉(zhuǎn)方向及相互嚙合關(guān)系。圖2中，kipjsi為簡(jiǎn)單行星排i中第j個(gè)行星輪與其太陽(yáng)輪si間的嚙合剛度，kipjri為簡(jiǎn)單行星排i中第j個(gè)行星輪與其齒圈ri間的輪齒嚙合剛度，(i=1,2；j=1,2,3,4)；圖3中，k3pjsi為復(fù)合行星排3第j個(gè)內(nèi)圈行星輪與其太陽(yáng)輪s3間的嚙合剛度，k3pjri為復(fù)合行星輪3第j個(gè)內(nèi)圈行星輪與其齒圈r3間的嚙合剛度，k4pjri為復(fù)合行星排3第j個(gè)外圈行星輪與其齒圈r4間的嚙合剛度，k3pj4pj為復(fù)合行星排3第j個(gè)內(nèi)圈行星輪與第j個(gè)外圈行星輪間的嚙合剛度，(j=1,2,3)。

運(yùn)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程，方程中含有27個(gè)旋轉(zhuǎn)方向自由度，由于各檔位離合器的結(jié)合方式不同使得不同檔位下的運(yùn)動(dòng)構(gòu)件不同，每一檔位的運(yùn)動(dòng)微分方程需要單獨(dú)列寫。為了文章精簡(jiǎn)此處僅給出通用方程式。

L=T-U

(1)

(2)

式中：T為行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)能；U為行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)彈性勢(shì)能；L為拉格朗日泛函。

由拉格朗日方程得到系統(tǒng)矩陣形式的無(wú)阻尼扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程：

(3)

根據(jù)系統(tǒng)各構(gòu)件自由振動(dòng)響應(yīng)函數(shù)q=θiejwit，由式(3)得到計(jì)算系統(tǒng)固有頻率和振型的特征方程

(4)

式中：ωi為系統(tǒng)第i階固有頻率，Θi為系統(tǒng)第i階固有頻率對(duì)應(yīng)振型，J為系統(tǒng)慣性矩陣，K為系統(tǒng)剛度矩陣。

根據(jù)式(4)可以計(jì)算得到行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)各檔位的固有頻率。表1為行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)，其中齒輪平均嚙合剛度值通過(guò)文獻(xiàn)[11]計(jì)算得出；當(dāng)離合器將兩個(gè)構(gòu)件結(jié)合時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行相加處理。表2為行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)8個(gè)檔位固有頻率，由式(22)可知系統(tǒng)的工作轉(zhuǎn)速范圍為26.67～81.67 Hz，因此只需對(duì)系統(tǒng)前5階固有頻率進(jìn)行分析研究即可。

表1 行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)

表2 行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)各檔位前5階固有頻率

2 固有頻率對(duì)參數(shù)相對(duì)靈敏度

在計(jì)算傳動(dòng)系統(tǒng)固有特性對(duì)參數(shù)靈敏度時(shí)通常是采用式(4)直接對(duì)參數(shù)求偏導(dǎo)，以獲得參數(shù)改變一絕對(duì)數(shù)值后固有特性改變量[12-13]，稱為絕對(duì)靈敏度。這種方式得到的靈敏度值不能直接進(jìn)行不同參數(shù)間靈敏度大小的比較，當(dāng)參數(shù)間存在數(shù)量級(jí)差別時(shí)，利用靈敏度進(jìn)行動(dòng)力學(xué)修改時(shí)需要進(jìn)行無(wú)量綱化處理以減小計(jì)算誤差[14]。為此，本文用式(4)對(duì)參數(shù)的變化率求偏導(dǎo)來(lái)避免前面兩個(gè)問(wèn)題，稱為相對(duì)靈敏度。為了簡(jiǎn)便，后面提到的靈敏度都是指相對(duì)靈敏度。

由式(4)對(duì)參數(shù)變化率xm求導(dǎo)，得

(5)

(6)

根據(jù)特征方程中無(wú)重根部分矩陣正交條件：

(7)

由式(6)、式(7)可得系統(tǒng)固有頻率對(duì)構(gòu)件參數(shù)變化率靈敏度計(jì)算公式

(8)

系統(tǒng)參數(shù)變化率為xm=Δx/x，x為系統(tǒng)參數(shù)值，那么式(8)最終可化為

(9)

由式(9)可以得到固有頻率對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化率的靈敏度

(10)

固有頻率對(duì)剛度變化率的靈敏度

(11)

3 基于遺傳算法的多檔位參數(shù)優(yōu)化修改模型

通過(guò)固有頻率對(duì)參數(shù)的靈敏度計(jì)算可以知道各參數(shù)對(duì)每一階固有頻率影響的大小，但是當(dāng)多個(gè)參數(shù)都對(duì)固有頻率有影響時(shí)就很難獲得一個(gè)最優(yōu)的調(diào)整結(jié)果，因此需要采取優(yōu)化算法來(lái)幫助獲得一個(gè)最優(yōu)解。遺傳算法根據(jù)適者生存、優(yōu)勝劣汰等自然進(jìn)化規(guī)則搜索和計(jì)算問(wèn)題的解，相比于線性規(guī)劃等傳統(tǒng)優(yōu)化算法，遺傳算法不容易陷入局部最優(yōu)，可以更好地獲得最優(yōu)解。

當(dāng)知道固有頻率的調(diào)整量，以及通過(guò)式(10)、式(11)獲得固有頻率對(duì)各參數(shù)的靈敏度后可以確定遺傳優(yōu)化算法的等式約束條件[15]：

[S]{Δp}={ΔN}

(12)

式中：ΔN為系統(tǒng)需要調(diào)整的n個(gè)固有頻率調(diào)整向量， {ΔN}=[ΔN1,ΔN2,ΔN3,…,ΔNn]T；Δp為q個(gè)需要調(diào)整的參數(shù)調(diào)整率向量， {Δp}=[Δp1,Δp2,Δp3,…,Δpq]T； [S]為需要調(diào)整的n個(gè)固有頻率對(duì)需要調(diào)整的q個(gè)參數(shù)的靈敏度， 為n×q階Jacobi矩陣

(13)

一般實(shí)際應(yīng)用中，需要調(diào)整的固有頻率數(shù)少于需要調(diào)整的參數(shù)數(shù)目，即n

minf(Δp)={Δp}T{Δp}

(14)

(15)

式中：Ulow、Uhigh分別為參數(shù)調(diào)整的下界和上界。

調(diào)整后的參數(shù)為：

(16)

式(14)～(16)的參數(shù)優(yōu)化調(diào)整方法只能運(yùn)用于小幅度的調(diào)整，當(dāng)需要調(diào)整的固有頻率和參數(shù)較大時(shí)需要采取多步調(diào)整。如果直接采用式(14)作為優(yōu)化函數(shù)，Δp為相對(duì)前一步調(diào)整得到的參數(shù)改變率，最后調(diào)整完成后得到的相對(duì)最初參數(shù)調(diào)整率平方和不一定最小。為了使相對(duì)初始參數(shù)調(diào)整率平方和最小，第i步參數(shù)調(diào)整的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)變?yōu)槭?17)所示

(17)

式中：Pi-1為第i-1步調(diào)整后得到的參數(shù)向量；P0為系統(tǒng)初始參數(shù)向量；Δpi為第i步優(yōu)化調(diào)整得到的參數(shù)相對(duì)第i-1步調(diào)整后得到的參數(shù)改變率向量。

那么約束方程中第i步調(diào)整時(shí)參數(shù)的最大改變率應(yīng)該變?yōu)槭?18)所示

(18)

將式(18)進(jìn)行移項(xiàng)化簡(jiǎn)處理后有

(19)

綜合式(14)～(19)得到優(yōu)化算法的每一步優(yōu)化調(diào)整的最優(yōu)函數(shù)和約束條件為

(20)

優(yōu)化調(diào)整后得到系統(tǒng)的最終參數(shù)為

(21)

4 優(yōu)化仿真分析

4.1 系統(tǒng)固有頻率對(duì)參數(shù)靈敏度計(jì)算

該行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)由V型8缸柴油發(fā)動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)，工作轉(zhuǎn)速為800 ～2 450 r/min，其輸出扭矩的主諧次激勵(lì)為2諧次(第4諧次)。通過(guò)發(fā)動(dòng)機(jī)固有頻率和轉(zhuǎn)速間轉(zhuǎn)化式(22)可以得出系統(tǒng)固有頻率位于26.67～81.67 Hz范圍內(nèi)時(shí)將會(huì)有扭轉(zhuǎn)共振發(fā)生。

(22)

式中：N為系統(tǒng)固有頻率(Hz)；v為諧次；n為發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速(r/min)。

再根據(jù)表2中計(jì)算得到的系統(tǒng)各檔位固有頻率，可以知道發(fā)動(dòng)機(jī)主諧次激勵(lì)與各檔位固有頻率關(guān)系如圖4所示，第1、4、7檔的第4階固有頻率(橫線)與發(fā)動(dòng)機(jī)工作轉(zhuǎn)速激勵(lì)(斜線)存在交點(diǎn)(如圖4(a)所示)，在系統(tǒng)工作中會(huì)產(chǎn)生共振，而其它檔位不會(huì)產(chǎn)生共振(如圖4(b)所示)。為了使系統(tǒng)所用檔位在發(fā)動(dòng)機(jī)工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)都不會(huì)發(fā)生共振，需要調(diào)整參數(shù)使第1、4、7檔第4階固有頻率增大使其固有頻率分布如圖5所示，同時(shí)其余各檔的固有頻率分布保持圖4(b)所示的關(guān)系。

針對(duì)存在共振的第1、4、7檔第4階固有頻率，根據(jù)式(10)，(11)計(jì)算得到行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)的靈敏度(圖6)和對(duì)剛度參數(shù)的靈敏度(圖7)。從圖6可以看出，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量5(JH2)對(duì)第1、4、7檔固有頻率都有很大的影響，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1(J1)只對(duì)第4檔固有頻率有較大影響，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量11(Jr2)對(duì)第4、7檔固有頻率有較大影響而對(duì)第1檔固有頻率幾乎沒有影響，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)16(Js3)對(duì)三個(gè)檔位固有頻率都有較大影響且大小相近。從圖7可以看出，系統(tǒng)固有頻率對(duì)不同剛度參數(shù)的靈敏度值差別較對(duì)不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)的靈敏度更小，但不同檔位間的固有頻率對(duì)剛度參數(shù)的靈敏度差別較大。第4檔固有頻率對(duì)剛度參數(shù)1(k1)的靈敏度明顯大于其它兩個(gè)檔位，第4、7檔固有頻率對(duì)除剛度參數(shù)1(k1)外的靈敏度值區(qū)別較小，而第1檔與其它兩檔有較大的區(qū)別。系統(tǒng)同一構(gòu)件的剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是存在相互影響的，但是在實(shí)際設(shè)計(jì)中可以通過(guò)改變構(gòu)件的結(jié)構(gòu)分別獲得滿足要求的剛度值和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量值，因此在研究中認(rèn)為這兩個(gè)參數(shù)是相互獨(dú)立的。

圖4 系統(tǒng)各檔位固有頻率-發(fā)動(dòng)機(jī)激勵(lì)關(guān)系Fig.4 The relation of natural frequencies of system and engine excitation

圖5 系統(tǒng)期望固有頻率-發(fā)動(dòng)機(jī)激勵(lì)關(guān)系Fig.5 The relation of natural frequencies of system and engine excitation of expectation

圖6 系統(tǒng)固有頻率對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量靈敏度Fig.6 The sensitivity of natural frequencies to rotational inertias

圖7 系統(tǒng)固有頻率對(duì)剛度靈敏度Fig.7 The sensitivity of natural frequencies to stiffnesses

4.2 參數(shù)優(yōu)化修改

由式(22)得到的發(fā)動(dòng)機(jī)主諧次扭轉(zhuǎn)振動(dòng)激勵(lì)在工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)的最高頻率為81.67 Hz，那么可設(shè)定調(diào)整的目標(biāo)固有頻率大于等于82 Hz。系統(tǒng)三個(gè)需要調(diào)整檔位取相同的調(diào)整量，再根據(jù)表2中三個(gè)檔位的第4階固有頻率設(shè)定固有頻率目標(biāo)調(diào)整量ΔN=28 Hz。由于固有頻率調(diào)整量較大，需采用多步參數(shù)優(yōu)化以獲得更為精確的調(diào)整目標(biāo)，每步調(diào)整量為nHz。表3為設(shè)定參數(shù)最大可調(diào)整范圍為±100%，固有頻率取不同調(diào)整步長(zhǎng)時(shí)，分別以式(14)為優(yōu)化函數(shù)的單步最優(yōu)和以式(17)為優(yōu)化函數(shù)的相對(duì)初始參數(shù)最優(yōu)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，得到的不同優(yōu)化結(jié)果。參數(shù)優(yōu)化修改的結(jié)果好壞通過(guò)式(23)所示參數(shù)調(diào)整率平方和p′與式(24)所示三個(gè)檔位固有頻率調(diào)整誤差的平方和N′來(lái)體現(xiàn)，p′和N′的值越小說(shuō)明優(yōu)化的結(jié)果越好。

(23)

(24)

表3 取不同調(diào)整步長(zhǎng)得到的參數(shù)改變量和頻率調(diào)整誤差

圖8 系統(tǒng)優(yōu)化前后轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化率Fig.8 The change ratio of the rotational inertia after optimization

圖9 系統(tǒng)優(yōu)化前后剛度變化率Fig.9 The change ratio of the stiffness after optimization

從表3可以看出，不管是采用單步最優(yōu)還是采用相對(duì)初始參數(shù)最優(yōu)，固有頻率誤差都隨步長(zhǎng)減小而逐漸減小。但是當(dāng)步長(zhǎng)取0.1時(shí)兩種優(yōu)化方式得到的固有頻率誤差都比步長(zhǎng)取0.2時(shí)更大，這是由于步長(zhǎng)取得過(guò)小后計(jì)算的累積誤差開始大于精度提高后獲得的靈敏度誤差減小量。采取單步最優(yōu)時(shí)步長(zhǎng)對(duì)參數(shù)改變量影響較小，p′大約都為2.9左右。而采取相對(duì)初始參數(shù)最優(yōu)時(shí)，參數(shù)改變量隨步長(zhǎng)減小而逐漸減小，同時(shí)在任意步長(zhǎng)下采取相對(duì)初始參數(shù)最優(yōu)得到的參數(shù)改變量都遠(yuǎn)小于采取單步最優(yōu)獲得的參數(shù)改變量，同時(shí)固有頻率調(diào)整誤差也更小，說(shuō)明采用相對(duì)初始參數(shù)最優(yōu)可以獲得相比采用單步最優(yōu)更好的參數(shù)優(yōu)化修改結(jié)果。

根據(jù)表3中的結(jié)果，以固有頻率調(diào)整步長(zhǎng)取0.2 Hz時(shí)得到的參數(shù)優(yōu)化修改結(jié)果作為最終優(yōu)化修改參數(shù)。圖8、9分別為行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化修改后轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)和剛度參數(shù)變化率。

從圖8中可以看出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1(J1)、5(JH2)、11(Jr2)的變化率比較大，其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量11(Jr2)減小了近70%，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1(J1)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量5(JH2)分別減小了約50%和60%。從圖9中可以看出，剛度7(k7)、12(k2pjs2)減小了20%，剛度11(k2pjr2)減小了17%，剛度1(k1)、10(k1pjs1)增大了約25%，剛度9(k1pjr1)增大了20%?？傮w來(lái)說(shuō)剛度參數(shù)相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)來(lái)說(shuō)調(diào)整幅度更小，同時(shí)剛度參數(shù)調(diào)整更加均勻。對(duì)比圖8和圖9，除剛度9(k1pjr1)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量7(Jr1)的變化涉及到同一構(gòu)件r1外，其它各參數(shù)都只受到不同的構(gòu)件影響，即參數(shù)的調(diào)整不會(huì)出現(xiàn)相互矛盾的情況?？梢灾苯油ㄟ^(guò)改變構(gòu)件厚度或增輪緣厚度和輻板厚度的方式來(lái)改變構(gòu)件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和齒輪嚙合剛度，通過(guò)改變軸段半徑的方式來(lái)軸段剛度，這樣可以不用改變傳動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和傳動(dòng)比，以實(shí)現(xiàn)較小的改變即可達(dá)到參數(shù)修改的目的。剛度9(k1pjr1)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量7(Jr1)調(diào)整量都不大，減小行星齒輪和齒圈的輪緣厚度的同時(shí)增大其輻板厚度，或?qū)X圈用質(zhì)量更輕強(qiáng)度更高的材料代替可獲得同時(shí)滿足調(diào)整要求的參數(shù)值。

從圖6、7中系統(tǒng)扭振固有頻率對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剛度的靈敏度計(jì)算結(jié)果以及相關(guān)文獻(xiàn)[4,6]的研究都可以得出：行星傳動(dòng)系統(tǒng)扭振固有頻率對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的靈敏度都≤0，對(duì)剛度的靈敏度都≥0，即要使系統(tǒng)固有頻率增大需要減小構(gòu)件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量或者增大構(gòu)件剛度。當(dāng)對(duì)某一確定系統(tǒng)或行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)某一個(gè)檔位進(jìn)行動(dòng)力學(xué)修改時(shí)可以根據(jù)這一原則進(jìn)行參數(shù)調(diào)節(jié)。但從系統(tǒng)優(yōu)化前后參數(shù)變化率(圖8、9)可以看出，當(dāng)設(shè)定所有檔位的調(diào)整目標(biāo)都是增大其固有頻率時(shí)，卻出現(xiàn)某些構(gòu)件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增大以及剛度減小的情況。因?yàn)閮H根據(jù)靈敏度正負(fù)值進(jìn)行參數(shù)調(diào)節(jié)時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)其中某一檔固有頻率滿足目標(biāo)調(diào)整量而另外某檔固有頻率調(diào)節(jié)量過(guò)大，為了使所有檔位同時(shí)滿足目標(biāo)調(diào)整量就需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行反向調(diào)節(jié)。因此對(duì)多檔位行星傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行基于固有頻率對(duì)參數(shù)靈敏計(jì)算的動(dòng)力學(xué)參數(shù)修改時(shí)，僅依靠計(jì)算得到的固有頻率對(duì)各類參數(shù)靈敏度值(或者固有頻率隨參數(shù)改變的變化規(guī)律)就很難得到滿足要求的參數(shù)值。

表4 行星變速器優(yōu)化后各檔位前5階固有頻率

表4為行星變速器優(yōu)化后各檔位前5階固有頻率，由表4可以看出，對(duì)參數(shù)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)優(yōu)化修改后的行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)各檔位固有頻率都不再位于發(fā)動(dòng)機(jī)工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，即所有檔位固有頻率都小于26.67 Hz或大于81.67 Hz。對(duì)比表2中參數(shù)優(yōu)化修改前行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)各檔位固有頻率，系統(tǒng)8個(gè)檔位的前3階固有頻率變化都不大，這保證了系統(tǒng)不會(huì)在發(fā)動(dòng)機(jī)低轉(zhuǎn)速激勵(lì)下出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)共振。除第1、4、7檔的第4階固有頻率有較大幅度的增大外，第5、8檔有20 Hz左右的增大，但這種增大是設(shè)計(jì)中所期望的，其它檔位僅有微小的變化。

圖10 固有頻率相對(duì)不確定量(5%)Fig.10 Relativity uncertainty of natural frequencies(5%)

因系統(tǒng)構(gòu)件制造、裝配誤差等會(huì)引起參數(shù)不確定導(dǎo)致固有頻率變化。從表4可以看出，系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化后第1、4、7檔第4階固有頻率離系統(tǒng)最高工作轉(zhuǎn)速81.67 Hz較近，因此需要對(duì)這三個(gè)檔位第4階固有頻率因參數(shù)波動(dòng)引起的固有頻率穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行研究。為避免因固有頻率波動(dòng)致使系統(tǒng)再次出現(xiàn)共振的最大允許波動(dòng)量為1.5%。根據(jù)文獻(xiàn)[16]中求解區(qū)間特征值問(wèn)題的非迭代方法求得系統(tǒng)一個(gè)參數(shù)波動(dòng)范圍為5%，而其它參數(shù)沒有波動(dòng)時(shí)固有頻率的相對(duì)不確定量，如圖10所示。圖10(a)、(b)分別為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剛度參數(shù)波動(dòng)引起的系統(tǒng)第1、4、7檔第4階固有頻率相對(duì)不確定量，圖中Rlow和Rup分別表示相對(duì)不確定量的下界和上界。從圖10中可以看出，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量波動(dòng)引起的固有頻率相對(duì)不確定量較小，最大值由J5(JH2)引起，僅為1.2%，不會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)共振；剛度參數(shù)引起的固有頻率相對(duì)不確定量較大，由k14(k3pjs3)引起的相對(duì)不確定量已達(dá)5%，會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)共振。當(dāng)k14(k3pjs3)波動(dòng)量低于1.5%時(shí)可使系統(tǒng)固有頻率相對(duì)不確定量低于1.5%，以確保不會(huì)發(fā)生扭轉(zhuǎn)共振，圖11為剛度波動(dòng)1.5%時(shí)引起的固有頻率相對(duì)不確定量。

圖11 固有頻率相對(duì)不確定量(1.5%)Fig.11 Relativity uncertainty of natural frequencies(1.5%)

圖12、13分別為行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化前、后發(fā)動(dòng)機(jī)主諧次激勵(lì)下系統(tǒng)第1、4、7檔位各構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)響應(yīng)幅值隨發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速的變化圖。從圖12中可以看出，參數(shù)優(yōu)化前第1、4、7檔有明顯的共振峰值，其中第4檔振動(dòng)最大值超過(guò)了1.5°，第4、7檔最大幅值也超過(guò)0.5°。比對(duì)圖13中參數(shù)優(yōu)化后的響應(yīng)結(jié)果，三個(gè)檔位在發(fā)動(dòng)機(jī)工作轉(zhuǎn)速內(nèi)都沒有出現(xiàn)共振峰值，第1檔最大扭振幅值小于0.2°，第7檔最大扭振幅值為0.25°。扭振幅值最大值出現(xiàn)在第4檔的最高轉(zhuǎn)速處，但在實(shí)際使用中第4檔為中間檔位，驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速一般不會(huì)到達(dá)最高，實(shí)際工作中參數(shù)優(yōu)化后第4檔的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)最大幅值僅為0.2°左右。達(dá)到了避免行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)各檔位在發(fā)動(dòng)機(jī)工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)不發(fā)生扭轉(zhuǎn)共振，減小系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)響應(yīng)的目的。

圖12 參數(shù)優(yōu)化前系統(tǒng)各構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)響應(yīng)幅值Fig.12 Torsional response amplitude of elements of the system before optimization

圖13 參數(shù)優(yōu)化后系統(tǒng)各構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)響應(yīng)幅值Fig.13 Torsional response amplitude of elements of the system after optimization

5 結(jié) 論

本文針對(duì)行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)多個(gè)檔位同時(shí)存在扭轉(zhuǎn)共振的問(wèn)題，通過(guò)共振固有頻率對(duì)參數(shù)的相對(duì)靈敏度計(jì)算，結(jié)合基于遺傳算法的多步優(yōu)化方法對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化修改，最終使得行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)所有檔位在工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)都不出現(xiàn)共振，其主要結(jié)論如下：

(1) 采用多步參數(shù)優(yōu)化修改方法時(shí)，每步都以相對(duì)初始參數(shù)變化率的平方和最小為優(yōu)化目標(biāo)可以獲得相比以單步參數(shù)變化率的平方和最小為優(yōu)化目標(biāo)更好的優(yōu)化結(jié)果，而選取過(guò)小的固有頻率調(diào)整步長(zhǎng)反而會(huì)使得最終的優(yōu)化結(jié)果變差。

(2) 行星變速傳動(dòng)系統(tǒng)不同檔位固有頻率對(duì)同一參數(shù)靈敏度不同，不同檔位固有頻率對(duì)剛度參數(shù)的靈敏度較對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的靈敏度差別更大。

(3) 單個(gè)檔位固有頻率對(duì)構(gòu)件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量靈敏度為負(fù)，對(duì)軸段扭轉(zhuǎn)剛度和齒輪嚙合剛度靈敏度為正，但對(duì)多個(gè)檔位進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化修改時(shí)，僅通過(guò)某個(gè)參數(shù)靈敏度值來(lái)修改參數(shù)的調(diào)節(jié)方式不再有效。

(4) 根據(jù)參數(shù)優(yōu)化目標(biāo)對(duì)多檔位行星變速系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化修改，優(yōu)化后系統(tǒng)所有檔位在工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)都不會(huì)發(fā)生扭轉(zhuǎn)共振，系統(tǒng)構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)響應(yīng)幅值明顯減小。

[ 1 ] INALPOLAT M, KAHRAMAN A. Dynamic modelling of planetary gears of automatic transmissions [J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part K: Journal of Multi-body Dynamics, 2008, 222(3): 229-242.

[ 2 ] GUO Y, PARKER R G. Sensitivity of general compound planetary gear natural frequencies and vibration modes to model parameters [J]. Journal of Vibration and Acoustics, 2010, 132(1): 011006.

[ 3 ] 劉輝, 項(xiàng)昌樂, 鄭慕僑. 車輛動(dòng)力傳動(dòng)系固有特性靈敏度分析及動(dòng)力學(xué)修改[J]. 汽車工程, 2003, 25(6): 591-594.

LIU Hui, XIANG Changle, ZHENG Muqiao. Sensitivity analysis and dynamic modification of natural characteristic in vehicle powertrain [J]. Automotive Engineering, 2003, 25(6): 591-594.

[ 4 ] XIANG C L, HUANG Y, LIU H. Response sensitivity and the assessment of nonlinear vibration using a nonlinear lateral-torsional coupling model of vehicle transmission system [J]. Journal of Vibration & Acoustics, 2015, 137(3): 031013-11.

[ 5 ] LIN J, PARKER R G. Sensitivity of planetary gear natural frequencies and vibration modes to model parameters [J]. Journal of Sound and Vibration, 1999, 228(1): 109-128.

[ 6 ] 齊寅明, 龔憲生, 張干清, 等. 盾構(gòu)刀盤驅(qū)動(dòng)三級(jí)行星齒輪系統(tǒng)固有特性及靈敏度分析[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2013, 32(15): 14-19.

QI Yinming, GONG Xiansheng, ZHANG Ganqing, et al. Natural characteristics and sensitivity analysis of a 3-stageplanetary gears train used in shield machine cutter driver[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(15): 14-19.

[ 7 ] 黃毅, 劉輝, 項(xiàng)昌樂, 等. 車輛傳動(dòng)系統(tǒng)非線性平移扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)響應(yīng)靈敏度研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2014, 33(23): 92-99.

HUANG Yi, LIU Hui, XIANG Changle, et al. Response sensitivity of nonlinear translation-torsional vibration coupled model of a vehicle transmission system [J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(23): 92-99.

[ 8 ] 劉輝, 蔡仲昌, 曹華夏, 等. 車輛動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)靈敏度研究[J]. 兵工學(xué)報(bào), 2011, 32(8): 939-944.

LIU Hui, CAI Zhongchang, CAO Huaxia, et al. Sensitivity analysis of forced torsional vibration on vehicle powertrain [J]. Acta Armamentarii, 2011, 32(8): 939-944.

[ 9 ] 項(xiàng)昌樂, 廉曉輝, 周連景. 針對(duì)實(shí)際傳動(dòng)系統(tǒng)的靈敏度分析與動(dòng)力學(xué)修改[J]. 中國(guó)機(jī)械工程, 2006, 17(3): 325-328.

XIANG Changle, LIAN Xiaohui, ZHOU Lianjing. Sensitivity analysis and dynamic modification based on the physics model of vehicular powertrain [J]. China Mechanical Engineering, 2006, 17(3): 325-328.

[10] 張代勝, 王浩. 基于靈敏度分析的汽車動(dòng)力傳動(dòng)系扭振特性優(yōu)化 [J]. 中國(guó)機(jī)械工程, 2013, 24(5): 685-689.

ZHANG Daisheng, WANG Hao. Optimization of vehicle drivetrain torsional vibration characteristics based on sensitivity analysis [J]. China Mechanical Engineering, 2013, 24(5): 685-689.

[11] 漸開線圓柱齒輪承載能力計(jì)算方法：GB/T 3480—1997 [S]. 北京：國(guó)家技術(shù)監(jiān)督局, 1997.

[12] QU Z Q. Hybrid expansion method for frequency responses and their sensitivities, Part I: undamped systems [J]. Journal of Sound and Vibration, 2000, 231(1): 175-193.

[13] QU Z Q, SELVAM R. Hybrid expansion method for frequency responses and their sensitivities, Part II: viscously damped systems [J]. Journal of Sound and Vibration, 2000, 238(3): 369-388.

[14] 王東華, 劉占生, 竇唯. 基于混合遺傳算法的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2009, 28(5): 87-91.

WANG Donghua, LIU Zhansheng, DOU Wei. Rotor dynamics optimization based on a hybrid genetic algorithm[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(5): 87-91.

[15] 鐘一諤，何衍宗，王正，等. 轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，1987: 95-97.

[16] CHEN S, QIU Z, SONG D. A new method for computing the upper and lower bounds on frequecies of structures with interval parameters[J]. Mechanics Research Communications, 1995, 21(6): 583-592.