韓清振 ， 何 仁

(江蘇大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院車輛工程系，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

實際工程中存在著大量的旋轉(zhuǎn)機(jī)械，在研究其軸系的扭轉(zhuǎn)振動行為時，以往學(xué)者們大多通過適當(dāng)簡化將扭振模型簡化為線性系統(tǒng)，并應(yīng)用相關(guān)理論研究扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的動力學(xué)行為，這在一定程度上解決了實際工程中的許多問題。但是工業(yè)技術(shù)的日益發(fā)展，對傳動系統(tǒng)提出了更高的要求，需要深入挖掘傳動系統(tǒng)可能展現(xiàn)出來的動力學(xué)行為，這就需要對傳動系扭振系統(tǒng)的動力學(xué)行為做一般性的探究，此時可將傳動系扭振系統(tǒng)歸結(jié)為相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)，采用非線性動力學(xué)等現(xiàn)代分析方法深入分析其在各類條件下可能展現(xiàn)出的動力學(xué)行為。

隨著非線性科學(xué)以及計算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，已經(jīng)有許多學(xué)者應(yīng)用非線性相關(guān)理論分析扭振系統(tǒng)中的動力學(xué)行為。如Verichev[1]研究了不平衡軸系的非線性扭轉(zhuǎn)振動，通過平均方法將扭轉(zhuǎn)振動模型轉(zhuǎn)化為類Lorenz系統(tǒng)，分析了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性以及不平衡軸系扭振系統(tǒng)的動力學(xué)行為。Bulut[2]研究了具有十字軸萬向節(jié)的傳動系的扭振系統(tǒng)的動力學(xué)行為，文中將傳動軸作為分布參量系統(tǒng)，應(yīng)用有限元方法建立了相應(yīng)的模型，應(yīng)用單值矩陣法研究了參數(shù)激勵下傳動系的扭振特性。Xia等[3]通過實驗以及理論分析等方式研究了鎳鈦形狀記憶合金材料絲線的扭振模型的熱機(jī)械響應(yīng)跳躍現(xiàn)象。通過旋轉(zhuǎn)角度和溫度測量得到了鎳鈦形狀記憶合金絲線在尾部正弦激勵下的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)演變過程。張輝等[4]建立了包含傳動系齒側(cè)間隙和輪胎的摩擦特性等非線性因素的傳動系的非線性扭振模型，通過研究解釋了燃料電池轎車的縱向沖擊抖振問題。時培明等[5]建立了具有非線性摩擦阻尼的含間隙軋機(jī)多自由度傳動系統(tǒng)非線性扭振數(shù)學(xué)模型，研究了軋機(jī)在周期擾動力矩激勵下的分岔等動力學(xué)行為。Chen等[6]考慮電動車傳動系機(jī)電耦合效應(yīng)，建立了機(jī)電耦合非線性扭振模型，分析了電磁參數(shù)對扭振系統(tǒng)的動力學(xué)行為影響。侯東曉等[7]根據(jù)分析傳動系扭振問題常用的兩自由度扭振模型，研究了傳動系受擾動時的動力學(xué)行為，得到了扭振系統(tǒng)的轉(zhuǎn)遷集及分岔行為。尚慧琳等[8]研究了具有三次非線性剛度的相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的動力學(xué)行為以及時滯反饋控制問題等等。

簇發(fā)(bursting)行為是當(dāng)動力系統(tǒng)中存在兩個或多個尺度時展現(xiàn)出的一類快慢動力學(xué)行為。目前針對動力系統(tǒng)的簇發(fā)行為分析多見于神經(jīng)系統(tǒng)中，Lzhikevich[9]針對神經(jīng)動力系統(tǒng)中可能出現(xiàn)的余維一類型的簇發(fā)振蕩行為做了總結(jié)并研究了其分類命名方法，且其中的一些簇發(fā)現(xiàn)象已經(jīng)在神經(jīng)動力系統(tǒng)中得到驗證，文中的命名方法同樣被其他領(lǐng)域的學(xué)者所沿用[10-12]。但是目前針對機(jī)械系統(tǒng)中的簇發(fā)行為分析研究甚少[13]，有待進(jìn)一步探究。

本文考慮具有二次及三次非線性扭轉(zhuǎn)剛度的相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)，將周期激勵項作為相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的控制參數(shù)，應(yīng)用Routh-Hurwitz判據(jù)判斷相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。應(yīng)用分岔理論研究平衡點(diǎn)的分岔行為，并通過仿真分析平衡點(diǎn)在參數(shù)平面上的分岔現(xiàn)象，研究平衡點(diǎn)個數(shù)以及性質(zhì)隨參數(shù)變化的演化規(guī)律。通過仿真分析相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的全局動力學(xué)行為，應(yīng)用相平面、時間歷程圖、Poincaré截面圖以及平衡點(diǎn)曲線等深入研究在不同外激勵角頻率及系統(tǒng)參數(shù)下相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的動力學(xué)行為。

1 動力學(xué)模型

(1)

(2)

考慮實際工程中的相對轉(zhuǎn)角變化，式(1)和式(2)相減得

圖1 相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的簡圖 Fig.1 Diagram of nonlinear relative rotation system

(3)

則式(3)可以轉(zhuǎn)換為如下無量綱模型：

(4)

式中：F(t)為強(qiáng)迫激勵項，式(4)是含有非線性扭轉(zhuǎn)剛度的相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的動力學(xué)普遍方程，是工程中描述傳動系動力傳輸性態(tài)時常用的方程。為了便于分析，假設(shè)經(jīng)過化簡后，F(xiàn)(t)僅包含擾動部分，即令F(t)=Asin(ωt)。

假設(shè)式(4)中參數(shù)都為正，并將式(4)寫作狀態(tài)方程的形式如下

(5)

2 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性及其分岔行為分析

為了分析平衡點(diǎn)隨參數(shù)變化的穩(wěn)定性以及分岔特性，令u=F(t)=Asin(ωt)，將u作為控制參數(shù)，則式(5)寫為

(6)

當(dāng)u=0時，整個系統(tǒng)將會退化為自治系統(tǒng)，此時E0(0,0)始終為系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，其穩(wěn)定性由相應(yīng)的特征方程

λ2+μλ+k1=0

(7)

決定，通過特征方程(7)可知當(dāng)且僅當(dāng)μk1>0時，平衡點(diǎn)E0(0,0)為穩(wěn)定平衡點(diǎn)。參數(shù)μ，k1都為正，故平衡點(diǎn)E0始終為穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

(8)

決定，通過特征方程(8)可知，

對于二維的動力系統(tǒng)，其平衡點(diǎn)失穩(wěn)時可能存在Fold分岔及Hopf分岔等分岔行為，平衡點(diǎn)E1,2產(chǎn)生Fold分岔的分岔集分別可以表示為：

根據(jù)特征方程(8)可知，當(dāng)平衡點(diǎn)E1,2發(fā)生Hopf分岔時，必然有μ=0，但文中考慮μ>0，故自治系統(tǒng)不會發(fā)生Hopf分岔。

(a) 平衡點(diǎn)Fold分岔集

(b) 平衡點(diǎn)隨參數(shù)k2變化的平衡點(diǎn)曲線圖2 平衡點(diǎn)Fold分岔集和隨參數(shù)k2變化的平衡點(diǎn)曲線Fig.2 Fold bifurcation set of equilibrium and Bifurcation curve of equilibrium versus k2

為了更加形象的說明自治系統(tǒng)的分岔行為，將參數(shù)取為k1=1,μ=0.1。可得平衡點(diǎn)在參數(shù)平面(k2,k3)上的分岔集，如圖2(a)所示。圖中LP表示Fold分岔曲線，該曲線將參數(shù)平面分為兩個區(qū)域，區(qū)域A內(nèi)存在1個穩(wěn)定平衡點(diǎn)E1，當(dāng)區(qū)域A內(nèi)的平衡點(diǎn)穿越Fold分岔曲線進(jìn)入?yún)^(qū)域B內(nèi)時，平衡點(diǎn)E1的穩(wěn)定性不發(fā)生改變，且產(chǎn)生兩個新的平衡點(diǎn)E0和E2，其中E0為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，E2為穩(wěn)定平衡點(diǎn)。令參數(shù)k3=0.1，可以得到平衡點(diǎn)隨參數(shù)k2的變化規(guī)律，如圖2(b)所示，圖中實線代表穩(wěn)定平衡點(diǎn)，虛線代表不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，LP表示Fold分岔點(diǎn)，分岔參數(shù)為k2=0.632 5。當(dāng)參數(shù)k2=0.1時，自治系統(tǒng)存在一個穩(wěn)定的平衡點(diǎn)E1(0,0)。當(dāng)參數(shù)k2=0.8時，自治系統(tǒng)存在三個平衡點(diǎn)，其中E1(0,0)和E2(-6.449 487 43,0)為穩(wěn)定平衡點(diǎn)，E0(-1.550 510 257,0)為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

當(dāng)u≠0時，將u作為一個參數(shù)分析系統(tǒng)的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性及分岔特性。假設(shè)Eq(x0,0)為式(6)的平衡點(diǎn)。則根據(jù)式(6)有如下關(guān)系式

此時平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性由對應(yīng)的特征方程決定

當(dāng)平衡點(diǎn)發(fā)生Hopf分岔時，參數(shù)需滿足

但是本文考慮μ>0，故式(6)不會發(fā)生Hopf分岔。

令參數(shù)k1=1,k3=0.1,μ=0.1，通過數(shù)值仿真可得到式(6)在參數(shù)(μ,k2)平面上的分岔集，如圖3所示。圖中LP表示Fold分岔曲線，CP表示余維二分岔點(diǎn)，分岔參數(shù)為u=-0.608 6，k2=0.547 7，F(xiàn)old分岔曲線將參數(shù)平面劃分為兩個區(qū)域。區(qū)域A內(nèi)存在一個穩(wěn)定平衡點(diǎn)，區(qū)域B內(nèi)存在三個平衡點(diǎn)，其中兩個為穩(wěn)定平衡點(diǎn)，一個為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

圖3 參數(shù)u-k2平面的分岔集Fig.3 Bifurcation set of u-k2

3 相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)動力學(xué)行為仿真分析

3.1 分岔及混沌動力學(xué)行為分析

3.1.1 平方非線性剛度系數(shù)k2對動力學(xué)行為的影響

令k1=1,k3=0.1,μ=0.1，A=0.4,ω=1，得到相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)動力學(xué)行為隨參數(shù)k2變化的分岔圖如圖4所示，可見在0.5

圖4 相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)隨k2變化的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of relative rotation system versus k2

圖5 不同k2值下的相圖及Poincaré截面圖Fig.5 Phase portraits and Poincaré sections of different k2 values

3.1.2 激勵角頻率對動力學(xué)行為的影響

令k1=1,k2=0.6,k3=0.1,μ=0.1，A=0.4，則得到的系統(tǒng)隨參數(shù)ω改變的分岔圖如圖6所示。為了便于描述，下文以ω值減小的方向分析動力學(xué)行為的演變過程，當(dāng)1.04<ω<1.1時，為周期一運(yùn)動,如圖7(a)所示，隨著ω值的減小，系統(tǒng)并未經(jīng)過倍周期分岔的形式演化，而是直接進(jìn)入周期三運(yùn)動(如圖7(b)),進(jìn)而演變?yōu)橹芷诹\(yùn)動。當(dāng)ω值繼續(xù)減小時，約在ω=0.949時由周期六運(yùn)動演變?yōu)槿鐖D7(c)所示的運(yùn)動。當(dāng)ω穿越0.939時又演變?yōu)槿鐖D7(d)所示的吸引子。在區(qū)域0.89<ω<0.924的區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)了如圖7(e)所示結(jié)構(gòu)的吸引子，隨著ω的繼續(xù)減小，在ω=0.836時可到到如圖7(f)所示的混沌吸引子。值得注意的是，在ω<0.89的區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)并非是經(jīng)過倍周期分岔的形式演化到混沌的過程，而是吸引子的結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，此區(qū)域為混沌區(qū)域，且中間出現(xiàn)了周期窗口，圖7(g)～(i)為在此區(qū)域不同ω值是對應(yīng)的解。

圖6 相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)隨角頻率ω變化的分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram of relative rotation system versus ω

3.2 fold/fold簇發(fā)行為分析

3.2.1 非對稱式fold/fold簇發(fā)行為

將ω取為0.01時可得到如圖8(a)所示的快慢動力學(xué)現(xiàn)象。為揭示圖8(a)中動力學(xué)現(xiàn)象產(chǎn)生的機(jī)理，將其投影到u-x平面[13]上并與圖8(a)疊加,如圖8(b)所示。這種動力學(xué)行為是由于平衡點(diǎn)曲線的兩個Fold分岔造成平衡點(diǎn)的失穩(wěn)，系統(tǒng)軌道受穩(wěn)定平衡點(diǎn)吸引引起的，且軌道關(guān)于控制參數(shù)u=0不對稱，為與后文區(qū)別，這里稱之為非對稱式fold/fold簇發(fā)。

圖7 不同ω值下的相圖及Poincaré截面Fig.7 Phase portraits and Poincaré section of different ω values

(a)

(b)圖8 ω=0.01時的相圖、時間歷程、平衡點(diǎn)曲線以及平衡點(diǎn)曲線與相圖的疊加圖Fig.8 The phase portraits, time history, equilibrium curve and transformed phase diagram for=0.01

3.2.2 激勵頻率ω對簇發(fā)行為的影響

為了便于分析激勵頻率ω對fold/fold簇發(fā)行為的影響，將參數(shù)取為k1=1,k2=0.6,k3=0.1,μ=0.1，A=1，將激勵頻率ω分別取為0.01和0.1時，相應(yīng)參數(shù)下的fold/fold式簇發(fā)行為的的時間歷程如圖9(a)和(b)所示。

(a) ω=0.01

(b)ω=0.1圖9 時間歷程圖Fig.9 Time history map

可見隨著激勵頻率的增大，相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的簇發(fā)行為將越來越趨于平緩。這是因為一個完整的周期性簇發(fā)振蕩過程與激勵的周期有關(guān)，即慢變量的頻率與激勵頻率相近，而快速振蕩過程與系統(tǒng)的固有頻率有關(guān)，因此當(dāng)激勵頻率接近相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的固有頻率時，快速振蕩過程便會相對平緩。

3.2.3 激勵振幅A對簇發(fā)行為的影響

為了得到fold/fold簇發(fā)行為，顯然對激勵的振幅也有一定的要求，僅當(dāng)激勵“掃過”兩個fold分岔點(diǎn)時才能發(fā)生fold/fold簇發(fā)行為，與對稱式fold/fold簇發(fā)行為不同，當(dāng)兩個fold分岔點(diǎn)關(guān)于控制參數(shù)u=0不對稱時，若激勵僅“掃過”一個fold分岔點(diǎn)時，還可以得到一種“Jump”現(xiàn)象，如圖10所示。圖中對應(yīng)參數(shù)取為k1=1,k2=0.8,k3=0.1μ=0.1，A=0.6，ω=0.01。

圖10 “Jump”現(xiàn)象Fig.10 “Jump” phenomenon

3.2.4 非線性系數(shù)k2對fold/fold簇發(fā)行為的影響

為了研究平方非線性剛度系數(shù)k2對相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)簇發(fā)行為的影響，可以根據(jù)圖2中的CP分岔點(diǎn)將k2分為兩部分，即0.547 7>k2>0和1>k2>0.547 7。在0.547 7>k2>0區(qū)域內(nèi)由于僅存在一個穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，故不會產(chǎn)生簇發(fā)行為。

在1>k2>0.547 7的區(qū)域內(nèi)，顯然圖2中兩條fold分岔曲線并不是關(guān)于u=0對稱，且隨著k2值增大兩條曲線上對應(yīng)的u值都會增長，但是LP2對應(yīng)的u值增長的速度明顯比LP1快，因此，同一k2值下兩條曲線上對應(yīng)的u之間的距離將越來越大，同時可能會存在一個k2值，使得相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)發(fā)生對稱式fold/fold簇發(fā)行為，經(jīng)過這一點(diǎn)后，若繼續(xù)增加k2值，則又可以得到不對稱的fold/fold簇發(fā)行為。經(jīng)計算當(dāng)發(fā)生對稱式fold/fold簇發(fā)時對應(yīng)的參數(shù)k2=0.670 820 393 2，相應(yīng)的u=±0.430 331 482 9，此時令ω=0.01，A=0.5得到的對稱式fold/fold簇發(fā)行為如圖11所示。

圖11 對稱式fold/fold簇發(fā)Fig.11 Symmetric fold/fold bursting

4 結(jié) 論

(1) 根據(jù)具有非線性剛度的傳動系相對轉(zhuǎn)動模型。將擾動作為控制參數(shù)，應(yīng)用Routh-Hurwitz判據(jù)判斷了相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，得到了相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性判別條件。

(2) 應(yīng)用分岔理論研究了平衡點(diǎn)失穩(wěn)時的分岔行為，推導(dǎo)了平衡點(diǎn)產(chǎn)生Fold分岔的條件。通過仿真得到了平衡點(diǎn)在雙參數(shù)平面上的Fold分岔集，討論了不同參數(shù)區(qū)域內(nèi)平衡點(diǎn)的個數(shù)以及穩(wěn)定性問題。

(3)研究了相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)隨平方非線性剛度系數(shù)及外激勵角頻率變化的全局動力學(xué)行為，得到了周期三和混動等動力學(xué)行為。得到了fold/fold簇發(fā)振蕩行為，同時發(fā)現(xiàn)隨著激勵角頻率的增大，簇發(fā)行為將趨于平緩，通過調(diào)整平方非線性剛度系數(shù)，可以得到對稱式fold/fold簇發(fā)行為。

[ 1 ] VERICHEV N N. Chaotic torsional vibration of imbalanced shaft driven by a limited power supply[J]. Journal of Sound & Vibration, 2012, 331(2): 384-393.

[ 2 ] BULUT G. Dynamic stability analysis of torsional vibrations of a shaft system connected by a Hooke’s joint through a continuous system model[J]. Journal of Sound & Vibration, 2014, 333(16): 3691-3701.

[ 3 ] XIA Minglu, SUN Qingping. Jump phenomena of rotational angle and temperature of NiTi wire in nonlinear torsional vibration[J]. International Journal of Solids & Structures, 2014, 56/57: 220-234.

[ 4 ] 張立軍, 司楊, 余卓平. 燃料電池轎車動力傳動系統(tǒng)非線性動態(tài)特性仿真分析[J]. 機(jī)械工程學(xué)報, 2009, 45 (2): 62-67.

ZHANG Lijun, SI Yang, YU Zhuoping. Numerical investigation into nonlinear dynamical characteristics of fuel cell vehicle powertrain system[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2009, 45(2): 62-67.

[ 5 ] 時培明, 夏克偉, 劉彬, 等. 含間隙多自由度軋機(jī)傳動系統(tǒng)非線性扭振動力特性[J]. 機(jī)械工程學(xué)報, 2012, 48(17): 57-64.

SHI Peiming, XIA Kewei, LIU Bin, et al. Dynamics behaviors of rolling mill’s nonlinear torsional vibration of multi-degree-of-freedom main drive system with clearance[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48(17): 57-64.

[ 6 ] CHEN Xing, HU Jibin, PENG Zengxiong, et al. Nonlinear torsional vibration characteristics of PMSM for HEV considering electromagnetic excitation[J]. International Journal of Applied Electromagnetics & Mechanics, 2015, 49(1): 9-21.

[ 7 ] 侯東曉, 劉彬, 時培明,等. 兩自由度軋機(jī)非線性扭振系統(tǒng)的振動特性及失穩(wěn)研究[J]. 振動與沖擊, 2012, 31(3): 32-36.

HOU Dongxiao, LIU Bin, SHI Peiming, et al. Vibration

characteristic of 2 DOF nonlinear torsional vibration system of rolling mill and its conditions of instability [J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(3): 32-36.

[ 8 ] 尚慧琳，李偉陽，韓元波. 一類相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的復(fù)雜運(yùn)動及時滯速度反饋控制[J]. 振動與沖擊, 2015, 34(12): 127-132.

SHANG Huilin, LI Weiyang HAN Yuanbo. The complex dynamics of a relative rotation system and its control by delay velocity feedback[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(12): 127-132.

[ 9 ] IZHIKEVICH E M. Neural excitability, spiking, and bursting[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2000, 10(6): 1171-1266.

[10] 張曉芳, 韓清振, 陳小可,等. 慢變控制下Chen系統(tǒng)的復(fù)雜行為及其機(jī)理[J]. 物理學(xué)報, 2014, 63(18): 180503.

ZHANG Xiaofang, HAN Qingzhen, CHEN Xiaoke, et al. Complicated behavior and mechanism of Chen system with slowly variable control[J]. Acta Physica Sinica, 2014, 63(18): 180503.

[11] BI Qinsheng, ZHANG Zhengdi. Bursting phenomena as well as the bifurcation mechanism in controlled Lorenz oscillator with two time scales[J]. Physics Letters A, 2011, 375: 1183-1190.

[12] HAN Xiujing, BI Qinsheng. Bursting oscillations in Duffing’s equation with slowly changing external forcing[J]. Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation, 2011, 16(10):4146-4152.

[13] 時培明，李紀(jì)召，劉彬，等. 一類準(zhǔn)周期參激非線性扭振系統(tǒng)的周期簇發(fā)[J].振動與沖擊, 2012, 31(4): 100-104.

SHI Peiming， LI Jizhao， LIU Bin， et al. Periodic bursting of a nonlinear torsional vibration system under quasic-periodic parametric excitation[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(4): 100-104.