張方彥
(南京市人民中學(xué),江蘇南京 210018)
如圖1為地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的橢圓軌道,太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上,a為近日點(diǎn),b為遠(yuǎn)日點(diǎn),地球在a、b兩點(diǎn)的速度和與太陽(yáng)的距離分別為V、V;R、R。求速度之比。
根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律建立關(guān)系:
這是學(xué)生在解答過(guò)程中經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤。
根據(jù)以前的教學(xué)的經(jīng)驗(yàn),學(xué)生在這個(gè)地方經(jīng)常會(huì)問(wèn),上面求曲率的方法有沒(méi)有理論依據(jù)?曲率半徑真的是相等的嗎?
正確解法:如圖3所示,太陽(yáng)位于橢圓的焦點(diǎn)s處,太陽(yáng)的質(zhì)量為 M,地球的質(zhì)量為m。在頂點(diǎn)1、2之間機(jī)械能守恒及開(kāi)普勒第二定律得;
其中,c為橢圓的半焦距,即
由以上方程可求得
頂點(diǎn)1處的曲率半徑ρ可有地球在該處所受的萬(wàn)有引力等于地球在該處的向心力求的,即
頂點(diǎn)2處的曲率半徑ρ可由曲率圓的向心力公式求得,即
圖1 地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的橢圓軌道
圖2 在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)作兩個(gè)跟軌道相切的圓
圖3 太陽(yáng)位于橢圓的焦點(diǎn)
圖4 兩個(gè)扇形的面積圖
由上面的推導(dǎo)可以知道地球在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的曲率半徑一定相等。
其實(shí)這個(gè)問(wèn)題也可用開(kāi)普勒定律來(lái)研究。根據(jù)行星運(yùn)動(dòng)的第三定律,行星沿橢圓軌道時(shí),它和中心天體的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等,以近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)為中心,取一個(gè)極短的時(shí)間間隔Δt,在這個(gè)時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積如圖4所示的兩個(gè)扇形的面積相等。
這兩個(gè)扇形的面積分別為:
由于S=S可以得到