鄭近德，代俊習(xí)，朱小龍，潘海洋，潘紫微

(安徽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032)

滾動(dòng)軸承是各類旋轉(zhuǎn)機(jī)械中最通用的機(jī)械部件，其運(yùn)行狀態(tài)是否正常往往影響到整臺(tái)機(jī)器的性能[1]，因此，對(duì)滾動(dòng)軸承運(yùn)行狀態(tài)和故障診斷的研究具有重要的理論和實(shí)際意義。隨著非線性理論的發(fā)展，許多非線性動(dòng)力學(xué)方法為非平穩(wěn)信號(hào)的處理提供了新的思路與方法[2–7]。如呂志民等把分形維數(shù)作為故障特征量用于滾動(dòng)軸承的故障診斷[2]，但是分形維數(shù)對(duì)噪聲比較敏感；文獻(xiàn)[3]把近似熵作為衡量標(biāo)準(zhǔn)并應(yīng)用于軸承狀態(tài)監(jiān)測(cè)；胥永剛等把分形維數(shù)與近似熵同時(shí)用于度量振動(dòng)信號(hào)的復(fù)雜性[4]，結(jié)果表明近似熵具有一定抗噪、抗野點(diǎn)的能力，但是，其存在自身匹配難、依賴時(shí)間序列長(zhǎng)度等缺陷。趙志宏等提出將集成經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解與樣本熵結(jié)合[6]，應(yīng)用于滾動(dòng)軸承故障的診斷，結(jié)果表明該方法比單一樣本熵識(shí)別率更高。

Costa等在樣本熵的基礎(chǔ)上，提出了多尺度熵（Multiscale entropy，MSE)[8–9]。鄭近德等將多尺度熵與樣本熵分別作為軸承故障信號(hào)復(fù)雜性的度量，結(jié)果表明多尺度熵優(yōu)于單一尺度樣本熵[10]。但是研究發(fā)現(xiàn)，粗粒化會(huì)導(dǎo)致多尺度熵隨著尺度因子的增大，產(chǎn)生“飛翼”現(xiàn)象，同時(shí)，粗?；梢钥醋鍪菍?duì)時(shí)間序列在不同尺度下進(jìn)行線性插值，而振動(dòng)信號(hào)一般是非平穩(wěn)、非線性的采用線性的手段勢(shì)必有一定的局限。因此，筆者考慮采用三次樣條插值時(shí)間序列代替粗?；^(guò)程，提出了插值多尺度熵（Interpolation Multiscale Entropy，InMSE），并將其用于滾動(dòng)軸承非線性故障特征的提取。

在提取故障特征后，由于故障特征類之間的隸屬關(guān)系比較模糊，不易分辨。模糊C-均值聚類(Fuzzy C-means，F(xiàn)CM)是模糊聚類中應(yīng)用最為廣泛的聚類算法，它通過(guò)迭代優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，把數(shù)據(jù)按照數(shù)據(jù)的某種屬性聚集成多個(gè)類的過(guò)程，使同一類對(duì)象之間的相似性很高，不同類之間的相似性很差。FCM聚類算法在機(jī)械故障診斷等多個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[11–13]，因此，論文考慮采用FCM來(lái)識(shí)別滾動(dòng)軸承故障類型。

基于上述分析，論文提出了一種基于插值多尺度熵與FCM模糊聚類的滾動(dòng)軸承故障診斷方法。通過(guò)對(duì)滾動(dòng)軸承數(shù)據(jù)試驗(yàn)分析，結(jié)果表明了論文方法的有效性和優(yōu)越性。

1 插值多尺度熵算法

1.1 多尺度熵

多尺度熵定義為時(shí)間序列在不同尺度因子下的樣本熵[8–9]，其計(jì)算步驟如下。

(1)設(shè)原始數(shù)據(jù)為X={x1,x2…,xN} ，長(zhǎng)度為N，建立粗?；蛄?/p>

其中τ是正整數(shù)，稱為尺度因子。事實(shí)上，pj(1)即為是原時(shí)間序列。當(dāng)τ=1時(shí)，粗?；蟮男蛄信c原始序列是相同的。對(duì)于非零τ，{xi}被分割成τ個(gè)長(zhǎng)度為（表示不大于的正整數(shù)）的粗粒化序列{pj(τ)} 。

(2)分別計(jì)算τ個(gè)粗粒序列的樣本熵，并畫成尺度因子τ的函數(shù)。即計(jì)算各尺度下的時(shí)間序列的樣本熵。

其中，樣本熵的計(jì)算參考文獻(xiàn)[5]。樣本熵從單一尺度衡量時(shí)間序列復(fù)雜性，而多尺度熵法克服了單一尺度熵分析復(fù)雜性的缺陷，可以有效地從多尺度衡量時(shí)間序列的復(fù)雜性。但是由公式（1）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)尺度因子為2時(shí)，多尺度化法只考慮了數(shù)據(jù)點(diǎn)x1,x2和x3,x4,…的特征信息，并沒(méi)有考慮到數(shù)據(jù)點(diǎn)x2,x3和x4,x5,…之間的特征信息；其次，粗?；^(guò)程可以近似看做是在不同尺度下對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)點(diǎn)兩兩之間線性插值而得（求平均），而振動(dòng)信號(hào)往往具有非線性性和非平穩(wěn)性，因此，考慮用三次樣條插值來(lái)代替多尺度化法，提出了插值多尺度熵算法。

1.2 插值多尺度熵

插值多尺度熵計(jì)算步驟如下：

（1）設(shè)原始數(shù)據(jù)為X={x1,x2,…,xN}，長(zhǎng)度為N，插值點(diǎn)的構(gòu)造如圖1所示。

圖1 尺度因子為1、2和3時(shí)的插值點(diǎn)示意圖

當(dāng)τ=1時(shí)，粗?；蛄腥匀≡瓡r(shí)間序列；在原始粗粒化過(guò)程中，粗粒化是求x1,x2,x3,x4,……xN-1,xN的均值，即下標(biāo)t=1.5,2.5,……,N-0.5處的函數(shù)值，該數(shù)值是線性插值的結(jié)果。由于信號(hào)具有非線性和非平穩(wěn)的特性，因此本文用三次樣條插值方法代替線性插值。當(dāng)尺度τ=2時(shí)，即在區(qū)間[x1,x2]、[x2,x3]、……、[xN-1,xN]上 給 定 1 個(gè) 插 值 節(jié) 點(diǎn)以及相應(yīng)的下標(biāo)t的值1.5,2.5,……,N-1.5,N-0.5，得到新序列，該數(shù)據(jù)為插值后的時(shí)間序列。當(dāng)尺度τ=3時(shí)，在區(qū)間上給定1個(gè)插值節(jié)點(diǎn) ，以及相應(yīng)下標(biāo)處t的值1.5,2.5,……,N-2.5,N-1.5 ；得 到 新 序 列；依次類推，計(jì)算出所有

(2)分別計(jì)算τ個(gè)粗粒序列的樣本熵，并畫成尺度因子τ的函數(shù)。即計(jì)算各尺度下的時(shí)間序列的樣本熵[5]。

與多尺度熵相比，插值多尺度熵不僅一定程度上克服了由時(shí)間序列變短帶來(lái)的影響，而且還充分挖掘了時(shí)間序列的信息，同時(shí)采用三次樣條插值時(shí)間序列，也很好地考慮了振動(dòng)信號(hào)的非線性特性。

1.3 對(duì)比分析

為了說(shuō)明時(shí)間序列的長(zhǎng)度對(duì)InMSE的影響，取長(zhǎng)度分別為1 000，1 500，2 000，2 500，3 000，3 500，4 000的高斯白噪聲和1/f噪聲作為研究對(duì)象。分別計(jì)算二者的MSE和InMSE，結(jié)果如圖2(a)－圖2(d)所示，其中m=2，r=0.15SD(SD是原始數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差)，最大尺度因子為20。

圖2 時(shí)間序列長(zhǎng)度對(duì)熵值的影響

首先，從圖2可以看出，隨著數(shù)據(jù)序列長(zhǎng)度的增加，InMSE熵值曲線比MSE熵值曲線穩(wěn)定，無(wú)論長(zhǎng)度是1 500還是3 500，熵值曲線的趨勢(shì)始終一樣，這說(shuō)明InMSE對(duì)數(shù)據(jù)序列長(zhǎng)度的依賴更小。同時(shí)，當(dāng)N＞2 000時(shí)，時(shí)間序列長(zhǎng)度對(duì)InMSE熵值的影響更小；其次，隨著尺度因子τ的增加，MSE曲線在右端出現(xiàn)了比較大的波動(dòng)，而InMSE幾乎沒(méi)有波動(dòng)，這說(shuō)明InMSE更具有穩(wěn)定性和優(yōu)越性；最后，從兩種信號(hào)的變化趨勢(shì)來(lái)看，高斯白噪聲信號(hào)的MSE和InMSE曲線隨著尺度因子的增大而逐漸遞減，這說(shuō)明高斯白噪聲信號(hào)較為簡(jiǎn)單，只在較低的尺度包含信息。1/f噪聲的MSE曲線隨著尺度因子的增大而變化緩慢，基本穩(wěn)定在一個(gè)恒定值附近，雖然InMSE曲線呈現(xiàn)出下降趨勢(shì)，但是從熵值的大小可以看出變化不是很大，這說(shuō)明1/f噪聲較白噪聲信號(hào)復(fù)雜，不僅在較低的尺度包含信息，而且在其它尺度也包含有重要信息，這與我們關(guān)于白噪聲和1/f噪聲信號(hào)的定義和認(rèn)識(shí)相符。

為了研究相似容限r(nóng)對(duì)InMSE的影響，以相同長(zhǎng)度的高斯白噪聲和1/f噪聲作為研究對(duì)象，取長(zhǎng)度N=5 000。對(duì)不同的r=0.05SD，0.10SD，0.15SD，0.20SD，0.25SD(SD是原始數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差)，分別計(jì)算二者的MSE和InMSE，其中m=2，尺度因子取20，表示模糊函數(shù)邊界的寬度，結(jié)果如圖3(a)－圖 3(d)所示。

圖3 相似容限對(duì)熵值的影響

首先由圖3可以看出，相似容限對(duì)MSE和InMSE的計(jì)算結(jié)果影響較大，r越大，匹配的模板越少，熵值越小，r越小，匹配的模板越多，熵值越大；其次，當(dāng)容限r(nóng)過(guò)小時(shí)，InMSE熵值曲線相比較于MSE曲線光滑，隨著容限的增大，InMSE熵值變化較小且波動(dòng)較小，這表明InMSE對(duì)r依賴較小。一 般 取SD，本文

2 基于InMSE與FCM的滾動(dòng)軸承故障診斷方法

2.1 模糊C-均值算法

在提取故障特征后，由于故障特征類之間的隸屬關(guān)系比較模糊，不易分辨，因此選用聚類效果較好模糊C-均值(Fuzzy C-means，F(xiàn)CM)用于故障特征識(shí)別。FCM的基本原理如下：

假設(shè)樣本X={x1,x2,……,xn}是一個(gè)d維數(shù)據(jù)，并假設(shè)其具有C類。定義mj為第j類中心j={1,2,……,C} ，模糊隸屬度矩陣，其中uj(xi)為第i個(gè)樣本屬于第j類的隸屬度。公式如下

通過(guò)隸屬度函數(shù)進(jìn)而確定新的聚類中心

此時(shí)聚類損失函數(shù)可以表示為

FCM算法的原理就是通過(guò)迭代方法對(duì)式（2）和式（4）進(jìn)行求解，給定聚類數(shù)目C和加權(quán)指數(shù)b，步驟如下：

1）初始化隸屬度矩陣uj(xi)，使其值的范圍在（0,1）之間，并使隸屬度矩陣uj(xi)滿足式（3）的約束條件；

2）初始化樣本中每一個(gè)聚類中心mj；

① 用每一類的mj根據(jù)式（2）計(jì)算隸屬度函數(shù)。

② 根據(jù)①計(jì)算出的隸屬度函數(shù)根據(jù)式（4）重新計(jì)算各類中心。

通過(guò)上述步驟的計(jì)算，可以得到樣本中各類聚類中心以及每一類相對(duì)于樣本的隸屬度，由此完成了模糊聚類劃分。

2.2 方法步驟

振動(dòng)信號(hào)一般表現(xiàn)出非平穩(wěn)和非線性等特性，還受干擾信號(hào)和噪聲的影響。因此，故障診斷的關(guān)鍵是如何從振動(dòng)信號(hào)中提取故障的特征信息。論文將InMSE算法用于振動(dòng)信號(hào)的特征提取，提出了基于插值多尺度熵和模糊C-均值的滾動(dòng)軸承故障診斷方法。具體步驟如下：

（1）假設(shè)滾動(dòng)軸承有K種故障類別；每種狀態(tài)下取mK個(gè)樣本，共有個(gè)樣本，計(jì)算每一類樣本的插值多尺度熵，得到們的特征集 (TK,K),TK∈Rmk×τmax；

2.3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

采用美國(guó)Case Western Reserve University的滾動(dòng)軸承試驗(yàn)數(shù)據(jù)[14]對(duì)論文方法進(jìn)行驗(yàn)證。測(cè)試軸承為6205-2RS JEM SKF深溝球軸承，轉(zhuǎn)速為1797 r/min，故障直徑為：0.5334 mm，共采集到正常(Norm)、外圈(Outer Race，OR)、滾動(dòng)體故障(Ball Element，BE)和內(nèi)圈(Inner Race，IR)四種狀態(tài)的振動(dòng)信號(hào)，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為2 048。正常、具有內(nèi)圈故障、外圈故障以及滾動(dòng)體故障的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域波形如圖4(a)－圖4(d)所示。

圖4 滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域波形

分別計(jì)算上述四種工況數(shù)據(jù)的MSE和InMSE，其中，每種工況選取58組數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為2 048。MSE和InMSE熵值均方差曲線如圖5(a)、圖5(b)所示。首先，從圖中可以看出，雖然不同故障類型的振動(dòng)信號(hào)在不同尺度下的樣本熵熵值均不同，但是多尺度熵曲線總體波動(dòng)較大，而且隨著尺度因子的增大，內(nèi)圈故障、外圈故障和滾動(dòng)體故障這三類熵值比較接近（熵值曲線走勢(shì)一致，且越來(lái)越接近），而插值多尺度熵曲線波動(dòng)較小且光滑，隨著尺度因子的增大，不同故障類型的熵值相互之間區(qū)別比較明顯，進(jìn)而有助于提高識(shí)別率；其次正常的滾動(dòng)軸承是隨機(jī)和無(wú)規(guī)則的振動(dòng)，隨著尺度因子的增大，熵值曲線下降緩慢，這說(shuō)明正常滾動(dòng)軸承信號(hào)不僅在低尺度包含重要信息，而且在較高的尺度也包含了信息；最后，由于滾動(dòng)軸承本身運(yùn)動(dòng)的特性（內(nèi)圈隨軸承運(yùn)動(dòng)而外圈固定），外圈故障特征頻率比內(nèi)圈故障特征頻率小，因此，外圈故障的熵值要比內(nèi)圈故障的更小。上述分析結(jié)果表明，InMSE能明顯地區(qū)別不同故障類型的滾動(dòng)軸承，且區(qū)分效果要優(yōu)于MSE。

將原始信號(hào)進(jìn)行插值多尺度熵和多尺度熵計(jì)算，將得到的特征向量輸入到模糊C-均值分類器中。其中，模糊C-均值分類器設(shè)置聚類類別數(shù)為4，終止條件的最大迭代次數(shù)為100，隸屬度最小變化量迭代終止條件10-5，隸屬度矩陣的指數(shù)為2。對(duì)上述4種軸承故障類型信號(hào)各取58組數(shù)據(jù)作為測(cè)試樣本，根據(jù)上述方法分別計(jì)算多尺度熵與插值多尺度熵，取尺度因子τ=20，構(gòu)成一個(gè)232×20的特征向量矩陣。通過(guò)計(jì)算測(cè)試樣本T和第k個(gè)狀態(tài)Ck的海明貼近度來(lái)衡量FCM分類的正確與否，其中k=1,2,3,4，即

由貼近度定義可知，貼近度最大者為一類，當(dāng)存在兩組測(cè)試樣本的貼近度相差小于0.01時(shí)，即無(wú)法識(shí)別或者識(shí)別率較低。對(duì)232組數(shù)據(jù)分別計(jì)算MSE和InMSE的平均貼進(jìn)度，得到4種狀態(tài)的測(cè)試樣本相對(duì)于聚類中心的平均貼近度。MSE和InMSE的平均貼近度如圖6(a)、圖6(b)所示，由圖6（a）可知，當(dāng)采用MSE方法時(shí)，雖然正常信號(hào)、內(nèi)圈故障中的最大貼近度接近于1，且其它貼近度相差比較明顯，但是滾動(dòng)體故障、外圈故障中有兩個(gè)貼近度接近于1，不利于故障的辨識(shí)；當(dāng)采用InMSE方法時(shí)，正常信號(hào)、滾動(dòng)體故障和外圈故障中的最大貼近度接近于1，且其它貼近度相差較明顯，只有內(nèi)圈故障中兩個(gè)貼近度之間的差值不怎么明顯。這說(shuō)明InMSE方法相比較于MSE有很好的優(yōu)越性，對(duì)特征的提取更全面。

由表1可以看出，首先，InMSE與FCM聚類結(jié)合方法的聚類分類系數(shù)F要比MSE的大，而且更接近于1，這說(shuō)明在特征識(shí)別過(guò)程中，InMSE提取的特征更明顯；其次，InMSE與FCM聚類結(jié)合方法的平均模糊熵H更接近于0，這說(shuō)明基于InMSE與FCM方法的聚類效果要好于基于MSE與FCM的方法。綜上所述，InMSE提取的故障特征在FCM方法中的聚類效果優(yōu)于MSE提取的特征。

圖5 MSE和InMSE熵值曲線

圖6 平均貼近度分布

表1 兩種方法的檢驗(yàn)結(jié)果

為了說(shuō)明InMSE相對(duì)于MSE的優(yōu)勢(shì)，基于MSE和InMSE故障診斷方法的識(shí)別率如表2所示。

表2 MSE和InMSE識(shí)別率/（%）

從表2可以看出，首先InMSE故障診斷方法的識(shí)別率，除了正常信號(hào)低于MSE，外圈故障、內(nèi)圈故障和滾動(dòng)體故障識(shí)別率均高于MSE，由圖6可以看出，正常、外圈故障、內(nèi)圈故障和滾動(dòng)體故障的InMSE熵值雖然在尺度較低時(shí)相互之間的插值比較明顯，但是在尺度因子較大時(shí)，這四類熵值比較接近，而MSE無(wú)論是低尺度還是尺度較高時(shí)，熵值均比較接近；其次，分析時(shí)采用的樣本量多，而改進(jìn)的插值多尺度熵識(shí)別率97.4%明顯高于多尺度熵的93.95%，這說(shuō)明InMSE具有很好的穩(wěn)定性。綜上，此試驗(yàn)表明，InMSE能夠明顯地區(qū)分正常和故障滾動(dòng)軸承的類型，是一種有效的滾動(dòng)軸承故障診斷方法。

3 結(jié)語(yǔ)

(1)提出了InMSE算法，通過(guò)仿真信號(hào)將其與MSE進(jìn)行了對(duì)比分析，結(jié)果表明，與MSE相比，隨尺度因子的增加，InMSE曲線的變化趨勢(shì)更加平緩，克服了MSE右端“飛翼”的現(xiàn)象，具有一定的優(yōu)越性。

(2)研究了數(shù)據(jù)長(zhǎng)度和相似容限的選擇對(duì)InMSE和MSE的影響，結(jié)果表明，相比較于MSE，InMSE在尺度因子較大時(shí)受數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的變化更小，只需較短的數(shù)據(jù)便可得到穩(wěn)定的熵值。

(3)將InMSE與FCM算法結(jié)合應(yīng)用于滾動(dòng)軸承故障的診斷，并對(duì)故障發(fā)生的機(jī)理及振動(dòng)信號(hào)的特性進(jìn)行解釋，結(jié)果表明，基于InMSE特征提取方法能夠有效地將同種故障類型數(shù)據(jù)聚在聚類點(diǎn)中心附近。

InMSE是一種有效的時(shí)間序列復(fù)雜性衡量的非線性動(dòng)力學(xué)方法，但其也有不足之處，如運(yùn)算時(shí)間久等問(wèn)題，有必要對(duì)其進(jìn)一步研究并加以改善。

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