朱玉田，鄭昌隆，劉 釗，張攀登

（同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804）

軸向運(yùn)動(dòng)連續(xù)體應(yīng)用在各種各樣不同的機(jī)械系統(tǒng)中，例如高速磁帶和紙帶、空中纜車(chē)索道、含有流動(dòng)流體的管道以及動(dòng)力傳遞鏈條和動(dòng)力傳遞皮帶[1]。由于傳輸速度的存在，這些系統(tǒng)會(huì)沿橫向產(chǎn)生復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，引起有害的振動(dòng)[2]。同時(shí)，考慮支點(diǎn)處帶輪跳動(dòng)激勵(lì)影響下的運(yùn)動(dòng)皮帶系統(tǒng)，具有重要的工程應(yīng)用背景。例如，在發(fā)動(dòng)機(jī)前端帶裝置中，帶的橫向振動(dòng)會(huì)增加發(fā)動(dòng)機(jī)前端的噪聲，降低帶的壽命，影響發(fā)動(dòng)機(jī)可靠性和乘坐舒適性[3]。運(yùn)動(dòng)皮帶橫向振動(dòng)特性分析以及對(duì)一般激勵(lì)的響應(yīng)求解，可用于許多技術(shù)裝置的特性分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)。

帶輪跳動(dòng)激勵(lì)下軸向運(yùn)動(dòng)皮帶的橫向振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，目前多采用近似解法，基于Galerkin截?cái)鄬?duì)軸向運(yùn)動(dòng)弦模型或軸向運(yùn)動(dòng)梁模型作離散化處理，得到運(yùn)動(dòng)微分方程的數(shù)值解[4]，尚未有理論推導(dǎo)解析解的方法。但數(shù)值解法即使在很簡(jiǎn)單的情況下也不能求得閉合形式的解，只能在對(duì)應(yīng)階數(shù)給出一個(gè)近似解，且這種解法相當(dāng)繁瑣。

通過(guò)復(fù)振幅方法，將運(yùn)動(dòng)微分方程表達(dá)為復(fù)數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)和簡(jiǎn)諧激勵(lì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的規(guī)律，可以分析帶輪跳動(dòng)激勵(lì)下運(yùn)動(dòng)皮帶的橫向受迫振動(dòng)，求得受迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的解析解。對(duì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)結(jié)果做頻域分析，可了解響應(yīng)的幅頻、相頻特性，得到其與激勵(lì)頻率的特性曲線(xiàn)，并可求出系統(tǒng)共振頻率。

1 橫向振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程

帶傳動(dòng)是工程中應(yīng)用十分廣泛的傳動(dòng)裝置，雖然結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、造價(jià)低廉，但是傳送帶工作時(shí)會(huì)產(chǎn)生人們不期望的橫向振動(dòng)。以前對(duì)帶輪跳動(dòng)激勵(lì)下運(yùn)動(dòng)皮帶橫向振動(dòng)模型的研究集中在自由振動(dòng)方面，受迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解析解方面的研究在公開(kāi)報(bào)道中沒(méi)有見(jiàn)到過(guò)。

弦和梁是最常見(jiàn)的皮帶簡(jiǎn)化模型，當(dāng)皮帶軸向尺寸較長(zhǎng)時(shí)，可忽略彎曲剛度。皮帶工作時(shí)都是有軸向運(yùn)動(dòng)的，軸向運(yùn)動(dòng)速度不可忽視，需要考慮其對(duì)橫向振動(dòng)的影響。皮帶在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中產(chǎn)生的橫向振動(dòng)主要由帶輪垂直于皮帶的跳動(dòng)引起。在大多數(shù)運(yùn)動(dòng)皮帶受迫振動(dòng)的工程問(wèn)題，如動(dòng)力傳動(dòng)皮帶或動(dòng)力傳遞鏈條中，主要關(guān)心系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，受迫振動(dòng)的過(guò)渡過(guò)程不是主要研究?jī)?nèi)容。將運(yùn)動(dòng)皮帶系統(tǒng)近似為兩端簡(jiǎn)支的軸向運(yùn)動(dòng)弦線(xiàn)模型。兩端的皮帶輪均存在跳動(dòng)激勵(lì)，將其作近似簡(jiǎn)化處理，將一端帶輪視為固定，其跳動(dòng)疊加到另一端帶輪處，即運(yùn)動(dòng)皮帶只在右端運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)支處受到帶輪跳動(dòng)激勵(lì)，帶輪跳動(dòng)激勵(lì)下運(yùn)動(dòng)皮帶橫向振動(dòng)模型如圖1所示。

圖1 帶輪跳動(dòng)激勵(lì)下運(yùn)動(dòng)皮帶橫向振動(dòng)模型

圖1中，v為弦線(xiàn)沿軸心線(xiàn)方向的軸向運(yùn)動(dòng)速度，l為皮帶總長(zhǎng)度。設(shè)皮帶單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為ρ，張力為P，運(yùn)動(dòng)皮帶在坐標(biāo)軸面內(nèi)作平面振動(dòng)，皮帶的橫向位移用w=w(x,t)表示，它是軸向坐標(biāo)x和時(shí)間t的函數(shù)。

利用Hamilton原理，參考Wickert和Mote建立軸向運(yùn)動(dòng)弦線(xiàn)橫向振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程的方法[1]，建立帶輪跳動(dòng)激勵(lì)下運(yùn)動(dòng)皮帶系統(tǒng)的微分方程如下

由上面分析可知，帶輪跳動(dòng)激勵(lì)下運(yùn)動(dòng)皮帶橫向振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題歸結(jié)為方程式(1)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求解。

2 單頻激勵(lì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求解

受迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一般可以通過(guò)頻域分析的疊加原理進(jìn)行求解。當(dāng)周期性的支點(diǎn)跳動(dòng)激勵(lì)wl(t)包含多個(gè)諧波成分時(shí)，可以通過(guò)疊加原理將每個(gè)諧波的響應(yīng)疊加起來(lái)得到總的響應(yīng)。所以單頻激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求解是頻域分析的基礎(chǔ)。

設(shè)支點(diǎn)跳動(dòng)激勵(lì)為以下單頻簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)

由連續(xù)體振動(dòng)系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧激勵(lì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)規(guī)律，設(shè)運(yùn)動(dòng)皮帶橫向振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的表達(dá)式為

式(3)中wu(x)為皮帶橫向振動(dòng)的振幅或其相反數(shù)，θ(x)為相應(yīng)的振動(dòng)相位差。把式(3)代入式(1)的運(yùn)動(dòng)微分方程并表達(dá)為復(fù)數(shù)形式，得到

其中i為虛數(shù)單位，W(x)為復(fù)數(shù)，是皮帶橫向振動(dòng)位移w(x,t)的復(fù)振幅，W(x)=wu(x)eθ(x)i。把式(2)代入式(1)的邊界條件并表達(dá)為復(fù)數(shù)形式，得到

將式(4)、式(5)整理后合并得

根據(jù)式(6)的特征方程，解出上述復(fù)系數(shù)2階線(xiàn)性微分方程的對(duì)應(yīng)特征值為[5]

通解為

由式(8)通解形式，根據(jù)邊界條件，求得對(duì)應(yīng)特解為

根據(jù)復(fù)指數(shù)的恒等關(guān)系

將式(9)表達(dá)為

定義基準(zhǔn)參考圓頻率ω0為

由后面分析可知，ω0即帶輪跳動(dòng)激勵(lì)下運(yùn)動(dòng)皮帶橫向振動(dòng)的一階共振頻率。將其代入式(11)得

將式(11)復(fù)數(shù)形式的解，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)域表達(dá)式

其中

由此，利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)和簡(jiǎn)諧激勵(lì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的規(guī)律，通過(guò)復(fù)振幅方法得到了帶輪跳動(dòng)激勵(lì)下運(yùn)動(dòng)皮帶橫向振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)閉合形式的解，且求解過(guò)程比較簡(jiǎn)單。對(duì)于由式(l)表示的連續(xù)體運(yùn)動(dòng)微分方程的受迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題，采用Galerkin截?cái)鄬?duì)軸向運(yùn)動(dòng)弦線(xiàn)模型或軸向運(yùn)動(dòng)梁模型作離散化處理，得到運(yùn)動(dòng)微分方程的近似數(shù)值解[6]，即使在很簡(jiǎn)單的情況下也不能求得閉合形式的解，只能在對(duì)應(yīng)階數(shù)給出一個(gè)近似解，且這種解法相當(dāng)繁瑣。得到閉合形式的解析解后，可進(jìn)一步分析軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)特性、得到系統(tǒng)受迫振動(dòng)時(shí)的共振頻率，指明改進(jìn)系統(tǒng)性能的方向，并且可方便地作為考核如瑞利-立茲法、伽遼金法等數(shù)值方法有效性和可靠性的算例。

3 單頻激勵(lì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性

3.1 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的頻率特性

由橫向振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)表達(dá)式(14)得振幅或其相反數(shù)沿軸向坐標(biāo)x分布wu(x)與激振頻率ω的幅頻特性函數(shù)為

對(duì)應(yīng)的相位差沿軸向坐標(biāo)x分布θ(x)的相頻特性表達(dá)形式為

由公式(15)、式(16)，當(dāng)v=9.63 m/s，c=51.8 m/s，l=0.59 m，wlu=0.005 m時(shí)，給出的幅頻特性wu(x,ω)和相頻特性θ(x，ω)圖線(xiàn)如圖2、圖3所示。

圖2 皮帶橫向振動(dòng)幅頻特性wu(x,ω)圖示

圖3 皮帶橫向振動(dòng)相頻特性θ(x,ω)圖示

帶輪跳動(dòng)激勵(lì)下運(yùn)動(dòng)皮帶橫向振動(dòng)最大振幅wumax(ω)隨頻率ω的變化關(guān)系如圖4所示，縱坐標(biāo)表示wumax(ω)與wlu比值，即振幅放大倍數(shù)。

3.2 共振頻率

由圖4知，帶輪跳動(dòng)激勵(lì)下運(yùn)動(dòng)皮帶橫向振動(dòng)會(huì)出現(xiàn)共振現(xiàn)象。當(dāng)頻率ω為基準(zhǔn)參考圓頻率ω0的整數(shù)倍時(shí)，運(yùn)動(dòng)皮帶發(fā)生共振。由此得皮帶共振頻率ωn為

圖4 運(yùn)動(dòng)皮帶橫向振動(dòng)最大振幅頻響特性

4 工程應(yīng)用實(shí)例與試驗(yàn)驗(yàn)證

帶輪跳動(dòng)激勵(lì)下運(yùn)動(dòng)皮帶的橫向振動(dòng)分析有重要的工程應(yīng)用背景。某型客車(chē)尾部發(fā)動(dòng)機(jī)與空調(diào)壓縮機(jī)的連接皮帶，在車(chē)輛運(yùn)行過(guò)程中存在明顯的共振現(xiàn)象，產(chǎn)生較大的振動(dòng)與噪聲。皮帶跳動(dòng)的激勵(lì)源是發(fā)動(dòng)機(jī)與壓縮機(jī)工作過(guò)程中產(chǎn)生的激勵(lì)力和激勵(lì)扭矩，表現(xiàn)為皮帶兩端帶輪的跳動(dòng)激勵(lì)，主要為2階、3階、4階、6階。

在實(shí)車(chē)上對(duì)應(yīng)位置安裝皮帶，測(cè)量皮帶張緊力、皮帶靜態(tài)固有頻率。在空調(diào)壓縮機(jī)正常工作時(shí)，利用激光位移傳感器測(cè)試帶輪不同轉(zhuǎn)速下的皮帶橫向振動(dòng)響應(yīng)。記錄下對(duì)應(yīng)皮帶張緊力、帶速、靜態(tài)固有頻率、實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并根據(jù)式(15)計(jì)算得對(duì)應(yīng)共振頻率。皮帶試驗(yàn)實(shí)物圖如圖5所示。

圖5 皮帶試驗(yàn)實(shí)物圖

然后通過(guò)改變皮帶張緊力來(lái)調(diào)整皮帶靜態(tài)固有頻率，分別依次做以上試驗(yàn)步驟。試驗(yàn)結(jié)果整理如表1。

不考慮帶速影響時(shí)，理論上最高階（6階）激勵(lì)頻率低于試驗(yàn)測(cè)得皮帶靜態(tài)固有頻率，運(yùn)動(dòng)皮帶不會(huì)產(chǎn)生共振現(xiàn)象。但由實(shí)際結(jié)果可以看出，在某些轉(zhuǎn)速下，皮帶振動(dòng)明顯。比較最高階激勵(lì)頻率與利用復(fù)振幅方法求解得到的共振頻率，則可以得到與實(shí)際情況一致的結(jié)果。如：皮帶張緊力為900 N，帶速為9.6 m/s時(shí)，帶速對(duì)皮帶共振頻率的影響較小，最高階激振頻率比1階共振頻率低很多，皮帶無(wú)明顯共振現(xiàn)象；當(dāng)皮帶張緊力為900 N，帶速為21.4 m/s時(shí)，帶速對(duì)皮帶共振頻率的影響較大，共振頻率與皮帶靜態(tài)固有頻率有明顯差異，最高階激振頻率比靜態(tài)固有頻率低但大于1階共振頻率，皮帶出現(xiàn)明顯共振現(xiàn)象。

當(dāng)帶速v量級(jí)與靜態(tài)弦中波的傳播速度c相當(dāng)時(shí)，其對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)皮帶受迫振動(dòng)共振頻率的影響不可忽視，使皮帶共振頻率變小。大多數(shù)工程應(yīng)用中激振頻率小于共振頻率，所以共振頻率越小越容易共振，最高階激勵(lì)頻率要小于1階共振頻率?？梢愿鶕?jù)本文共振頻率的計(jì)算方法，通過(guò)確定合理的張緊力范圍，來(lái)避免或減弱系統(tǒng)的共振現(xiàn)象。

表1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果匯總表

5 結(jié)語(yǔ)

軸向運(yùn)動(dòng)連續(xù)體的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求解為工程應(yīng)用中常見(jiàn)的問(wèn)題，但考慮帶速影響的理論求解方法較少。通過(guò)建立帶輪跳動(dòng)激勵(lì)下運(yùn)動(dòng)皮帶橫向振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程，利用簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)規(guī)律與復(fù)振幅求解方式結(jié)合，得到了橫向振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的解析解。根據(jù)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解析解的表達(dá)式，分析皮帶橫向振動(dòng)的幅頻、相頻特性，得到最大振幅頻響特性曲線(xiàn)，并在此基礎(chǔ)上分析系統(tǒng)共振特性，求出帶速影響下系統(tǒng)共振頻率。最后通過(guò)工程應(yīng)用實(shí)例，試驗(yàn)驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果，證明求解方法的合理性和有效性。

軸向運(yùn)動(dòng)連續(xù)體受迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的理論求解，間接揭示系統(tǒng)特性并指明改進(jìn)性能的方向，可推廣應(yīng)用于多種軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)以及進(jìn)一步設(shè)計(jì)能有效抑制振動(dòng)噪聲的結(jié)構(gòu)。同時(shí)，這些閉合形式的理論解可方便地作為考核如瑞利-立茲法、伽遼金法等數(shù)值求解方法有效性和可靠性的算例。

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