宋海洋，張文正，張豐收，呂 稀，馮志鵬

（中國核動力研究設(shè)計(jì)院 核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計(jì)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610213）

新型工程產(chǎn)品和項(xiàng)目在研制初期一般都需要獲得相應(yīng)的聲振環(huán)境預(yù)示數(shù)據(jù)，在低頻段可以采用傳統(tǒng)的有限元法或邊界元法，但在高頻段由于模態(tài)十分密集，重疊率高使得傳統(tǒng)的有限元法應(yīng)用起來十分困難。20世紀(jì)60年代發(fā)展起來的統(tǒng)計(jì)能量分析方法可以克服傳統(tǒng)模態(tài)分析方法所遇到的這些困難，為解決復(fù)雜系統(tǒng)的高頻振動及噪聲問題提供了有力工具。

利用統(tǒng)計(jì)能量分析方法對工程結(jié)構(gòu)的高頻振動和噪聲進(jìn)行預(yù)示時(shí)，內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子等參數(shù)的測量精度對響應(yīng)預(yù)示結(jié)果的精確性有著很大的影響。目前大部分都采用實(shí)驗(yàn)測量的方法來獲得結(jié)構(gòu)的內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子[1–3]，但是根據(jù)前人所做的大量實(shí)驗(yàn)和所獲得的工程經(jīng)驗(yàn)可知，對于大部分工程結(jié)構(gòu)來說，內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子一般都是10-2～10-4量級的小數(shù)，在實(shí)際工作中想要對這些小數(shù)進(jìn)行精確運(yùn)算和測量是比較困難的[4–5]，最終的測量數(shù)據(jù)通常存在誤差，而參數(shù)測量誤差的積累會導(dǎo)致預(yù)示出的高頻響應(yīng)和響應(yīng)的真實(shí)值之間存在偏差，目前尚未有相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道關(guān)于參數(shù)的測量誤差對預(yù)示結(jié)果影響的研究。

本文在考慮參數(shù)以及外載荷測量誤差的前提下，結(jié)合區(qū)間攝動方法推導(dǎo)出了統(tǒng)計(jì)能量分析子系統(tǒng)的模態(tài)能量區(qū)間，利用模態(tài)能量區(qū)間可進(jìn)一步獲得不同頻率點(diǎn)處的總能量區(qū)間?？偰芰繀^(qū)間的均值代表不考慮參數(shù)和外載荷測量誤差時(shí)預(yù)示的動響應(yīng)，而總能量區(qū)間上下界則反映了參數(shù)以及外載荷的測量誤差對響應(yīng)預(yù)示結(jié)果的影響程度。

1 區(qū)間的定義和運(yùn)算

在區(qū)間分析中，不確定性變量可以用一個封閉的和有限的區(qū)間來表示。一個區(qū)間變量xI可以由它的區(qū)間下限xl和區(qū)間上限xu來定義，具體的表達(dá)形式可以寫為[6]

本文使用上標(biāo)“l(fā)”代表區(qū)間變量的下限，使用上標(biāo)“u”代表區(qū)間變量的上限，同時(shí)使用上標(biāo)“c”代表區(qū)間變量的均值，區(qū)間xI的均值定義為

區(qū)間xI的離差定義為

兩個區(qū)間變量xI和yI之間的運(yùn)算規(guī)則如下[7]

2 統(tǒng)計(jì)能量分析功率流平衡方程

2.1 子系統(tǒng)間功率流

在統(tǒng)計(jì)能量分析理論中，子系統(tǒng)所儲存的能量通過兩種方式流出，一是子系統(tǒng)本身的能量耗散，能量被轉(zhuǎn)化成熱能等其它形式，二是能量從一個子系統(tǒng)傳遞到了另一個子系統(tǒng)。第i個統(tǒng)計(jì)能量分析子系統(tǒng)的損耗功率pid可用下式進(jìn)行計(jì)算

其中f代表分析帶寬Δf內(nèi)的中心頻率，Ei代表子系統(tǒng)i在頻率點(diǎn)f處的總能量，ηi是子系統(tǒng)i的內(nèi)損耗因子，它表示子系統(tǒng)i自身耗散能量的能力大小。

子系統(tǒng)i到子系統(tǒng)j的功率流為

其中ηij和ηji是子系統(tǒng)間的耦合損耗因子，它們代表能量在子系統(tǒng)i和子系統(tǒng)j之間的傳遞效率。

統(tǒng)計(jì)能量分析中的耦合損耗因子和模態(tài)密度存在一個互易關(guān)系

其中di表示子系統(tǒng)i的模態(tài)密度。

2.2 功率流平衡方程

假設(shè)一個統(tǒng)計(jì)能量分析系統(tǒng)被劃分為k個相互耦合的子系統(tǒng)，如圖1所示

圖1 k個相互耦合的統(tǒng)計(jì)能量分析子系統(tǒng)

由式(5)和式(6)可得子系統(tǒng)i的功率流平衡方程

其中pi代表子系統(tǒng)i的外部激勵源對子系統(tǒng)i的輸入功率。為子系統(tǒng)i的能量Ei的變化率。本文研究的是穩(wěn)態(tài)振動情況所以即子系統(tǒng)能量不隨時(shí)間而變化。

利用式(7)給出的互易原理，將所有子系統(tǒng)的功率流平衡方程寫成矩陣形式如下

其中N是一個包含模態(tài)密度di(i=1,2,…,k) 、內(nèi)損耗因子ηi(i=1,2,…,k)和耦合損耗因子ηij(i,j=1,2,…,k)的k×k階系統(tǒng)矩陣，f是分析帶寬Δf內(nèi)的中心頻率，為計(jì)算方便令Pi=pi/πp f，ei(i=1,2,…,k)稱為模態(tài)能量指的是在分析帶寬內(nèi)每階模態(tài)所具有的能量。統(tǒng)計(jì)能量分析功率平衡方程是在分析帶寬內(nèi)各階模態(tài)所具有的能量相等的假設(shè)下建立的，子系統(tǒng)i在各頻率點(diǎn)處總能量Ei和模態(tài)能量關(guān)系為

3 基于區(qū)間攝動法的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)區(qū)間計(jì)算

3.1 子系統(tǒng)模態(tài)能量攝動分析

利用式(9)，子系統(tǒng)的模態(tài)能量向量可以通過系統(tǒng)矩陣N的逆陣和功率向量P的乘積來獲得

根據(jù)攝動理論，當(dāng)系統(tǒng)矩陣N存在一個攝動量ΔN，功率向量P存在一個攝動量ΔP時(shí)，攝動法的平衡方程可以表示為

e+Δe能被進(jìn)一步寫為

當(dāng)矩陣范數(shù) ‖N-1+ΔN‖小于1時(shí)，可以利用紐曼級數(shù)將(N+ΔN)-1展開如下

將式(14)代入到式(13)中得到

忽略式(15)的高階微量，可以得到模態(tài)能量向量的攝動量為

3.2 帶有測量誤差參數(shù)的區(qū)間表示

用實(shí)驗(yàn)測量的方式來獲取結(jié)構(gòu)的內(nèi)損耗因子、耦合損耗因子和輸入功率時(shí)，測量結(jié)果通常存在一定量的誤差，下面采用式(1)的區(qū)間形式來表示帶有測量誤差的參數(shù)和輸入功率

內(nèi)損耗因子、耦合損耗因子和輸入功率的測量值是式(17)的區(qū)間均值即，假設(shè)測量誤差不超過±s%，則式(17)可以進(jìn)一步寫成

相比于內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子的測量精確性，模態(tài)密度的測量結(jié)果相對精確很多。再者任何區(qū)間分析方法都存在區(qū)間擴(kuò)張問題，即過多的區(qū)間相乘或相除運(yùn)算會導(dǎo)致最終的計(jì)算結(jié)果不精確。綜合以上兩方面原因，將子系統(tǒng)的模態(tài)密度處理成常數(shù)而不是區(qū)間變量。

3.3 子系統(tǒng)模態(tài)能量區(qū)間

本節(jié)將帶有測量誤差的內(nèi)損耗因子、耦合損耗因子和輸入功率(即式(17))代入到統(tǒng)計(jì)能量分析的功率流平衡方程，最終可以得到子系統(tǒng)模態(tài)能量區(qū)間，區(qū)間均值是不考慮參數(shù)和輸入功率誤差時(shí)預(yù)示的模態(tài)能量，而模態(tài)能量區(qū)間的上下限反映了參數(shù)和輸入功率的測量誤差對預(yù)示結(jié)果的影響程度和大小。將式(17)代入到式(9)中得區(qū)間形式的功率平衡方程為

這里NI稱作區(qū)間系統(tǒng)矩陣，它是一個包含模態(tài)密 度di(i=1,2,…,k)，內(nèi)損耗因子區(qū)間和耦合損耗因子區(qū)間的矩陣，是子系統(tǒng)i的模態(tài)能量區(qū)間。

用區(qū)間均值和不確定區(qū)間來表示式(19)中的區(qū)間系統(tǒng)矩陣和區(qū)間輸入功率向量

將式(20)和式(21)代入到式(19)中得到

ΔNI可以看作是圍繞Nc的一個攝動，而ΔPI可以看作是圍繞Pc的一個攝動，這樣就可以將式(26)看作是一個攝動形式的方程即

將式(30)代入到式(26)中得到

根據(jù)式(31)可以獲得子系統(tǒng)模態(tài)能量的區(qū)間向量為

基于式(19)的區(qū)間功率流平衡方程，式(32)中的Nc和ΔNI可以表示為

假設(shè)Nc的逆矩陣為

將式(34)和式(35)代入到式(32)中得

將式(36)和式(37)相加，最終可以得到任意一個子系統(tǒng)t(t=1,2,…,k)模態(tài)能量區(qū)間的上界和下界的計(jì)算公式

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖2是兩塊垂直相連的復(fù)合板結(jié)構(gòu)，本節(jié)引用文獻(xiàn)[8]針對圖2典型板結(jié)構(gòu)的振動實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并將該振動實(shí)驗(yàn)結(jié)果與利用區(qū)間方法預(yù)示得到的響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行對比。

圖2 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場圖[8]

右側(cè)板1的長度為400 mm，寬度為500 mm，左側(cè)板2的長度為600 mm，寬度為500 mm，復(fù)合板整體厚度為1.2 mm。兩塊復(fù)合板被劃分為兩個統(tǒng)計(jì)能量分析子系統(tǒng)，板1為子系統(tǒng)1，板2為子系統(tǒng)2。兩個板分別布置了10和15個加速度傳感器，每個板布置5個激振點(diǎn)。依次對各個激振點(diǎn)激勵并測量激振力和激振點(diǎn)的加速度響應(yīng)，對于穩(wěn)態(tài)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，由阻抗頭測量的加速度信號的互譜密度函數(shù)計(jì)算穩(wěn)態(tài)輸入功率，由各板加速度信號的自譜密度函數(shù)的平均計(jì)算子系統(tǒng)的總能量，然后將子系統(tǒng)總能量和輸入功率的比值作為歸一化的總能量。

表1 兩塊板的內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子

假設(shè)表1中數(shù)據(jù)的測量誤差不超過±8%，那么根據(jù)式(17)和式(18)的定義，可以將所有帶有測量誤差的參數(shù)都寫成區(qū)間形式，其中區(qū)間的均值就是實(shí)際的參數(shù)測量值。

表2 用區(qū)間形式表示帶有測量誤差(不超過±8%)的參數(shù)

當(dāng)統(tǒng)計(jì)能量分析的參數(shù)區(qū)間確定以后，需要驗(yàn)證一下是否滿足式(30)的收斂條件，即矩陣范數(shù)小于1。

當(dāng)分析帶寬的中心頻率為640 Hz時(shí)，可得

經(jīng)計(jì)算可得兩板的總能量區(qū)間如圖3和圖4所示。

圖3和圖4給出了由三種方式得到的板振動總能量：

(1)在考慮所有內(nèi)損耗因子測量誤差、耦合損耗因子測量誤差以及外載荷測量誤差的情況下，由本文提出的區(qū)間方法從理論上預(yù)示出的板總能量區(qū)間值；

(2)在不考慮任何內(nèi)損耗因子測量誤差、耦合損耗因子測量誤差以及外載荷測量誤差的情況下，由非區(qū)間的傳統(tǒng)方法從理論上預(yù)示出的板總能量確定值(即區(qū)間均值)；

圖3 板1在各頻率點(diǎn)上的總能量區(qū)間

圖4 板2在各頻率點(diǎn)上的總能量區(qū)間

(3)由實(shí)驗(yàn)測量得到的板總能量。

圖3和圖4中的橫坐標(biāo)選取的是統(tǒng)計(jì)能量分析理論1/3倍頻程的幾個中心頻率點(diǎn)，在統(tǒng)計(jì)能量分析理論中用中心頻率點(diǎn)處的能量來代表分析帶寬內(nèi)能量的一個平均值，比如中心頻率640 Hz的下限和上限頻率分別是596 Hz和716 Hz，那么在統(tǒng)計(jì)能量分析中以640 Hz點(diǎn)處的能量代表從596 Hz到716 Hz帶寬內(nèi)的一個平均能量。由圖3和圖4可見板結(jié)構(gòu)的總能量區(qū)間包含著總能量的真實(shí)值(即實(shí)驗(yàn)測量值)。

為了更具體地衡量參數(shù)和外載荷的測量誤差對穩(wěn)態(tài)響應(yīng)預(yù)示結(jié)果的影響程度，定義

基于圖3和圖4給出的考慮參數(shù)和載荷測量誤差時(shí)預(yù)示得到的板總能量區(qū)間上下限以及不考慮任何參數(shù)和載荷測量誤差時(shí)預(yù)示得到的板總能量的確定值(即區(qū)間均值)，現(xiàn)給出由參數(shù)和外載荷的測量誤差所導(dǎo)致的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的誤差值如表3。

表3 由參數(shù)和載荷的±8%測量誤差所導(dǎo)致的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)誤差

5 結(jié)語

對于復(fù)雜的工程結(jié)構(gòu)在應(yīng)用穩(wěn)態(tài)統(tǒng)計(jì)能量分析方法預(yù)示高頻段動響應(yīng)時(shí)，往往并沒有考慮到參數(shù)和外載荷的測量誤差，導(dǎo)致最終的動響應(yīng)預(yù)示結(jié)果不夠精確，給后續(xù)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)帶來不準(zhǔn)確的信息，所設(shè)計(jì)出來的結(jié)構(gòu)也會存在一定的安全隱患，在實(shí)際惡劣的聲振環(huán)境下破壞或者失效，因此在進(jìn)行動響應(yīng)預(yù)示時(shí)有必要考慮到參數(shù)以及外載荷的測量誤差對預(yù)示結(jié)果的影響。本文考慮到穩(wěn)態(tài)統(tǒng)計(jì)能量分析模型中損耗因子和外載荷的不確定性，將帶有測量誤差的內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子等參數(shù)以區(qū)間變量形式表示。通過求解統(tǒng)計(jì)能量分析區(qū)間功率流平衡方程獲得了每個子系統(tǒng)的總能量區(qū)間，通過這個總能量區(qū)間可以得到參數(shù)和外載荷的測量誤差對預(yù)示響應(yīng)的影響程度和大小，為后續(xù)的結(jié)構(gòu)安全和可靠性設(shè)計(jì)提供參考。

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