高 雁，喬志琴

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 太原 030051)

1 背景

丙肝是由丙型肝炎病毒 (HCV) 感染所引起的疾病，其傳染性很強(qiáng)，一旦感染很難治愈，且極易慢性化和發(fā)生肝硬化，甚至誘發(fā)肝癌。國內(nèi)外至今仍沒有阻止HCV感染的疫苗，故對(duì)于丙肝的傳播進(jìn)行研究是十分有必要的。許多學(xué)者通過生物及數(shù)學(xué)研究對(duì)丙肝進(jìn)行討論，如文獻(xiàn) [1] 在總?cè)丝谧兓那闆r下，引入丙肝慢性階段并建立年齡結(jié)構(gòu)模型。文獻(xiàn)[2] 從治療的角度出發(fā)并指出根除丙肝疾病是困難的，它可能與遺傳有關(guān)，且治愈后仍有可能再次感染。Corson.S等[3]通過建立數(shù)學(xué)模型研究HCV在 IDU中的傳播，并指出基本再生數(shù)在模型中起決定性作用，當(dāng)R0=1時(shí)可以看作區(qū)別兩種不同結(jié)果的臨界閾值。文獻(xiàn) [4] 指出有效治療可以預(yù)防和控制丙肝傳播速度及再次感染。Elbasha.E.H等[5]研究了再次感染與初次感染沒有區(qū)別時(shí)模型的全局穩(wěn)定性。

由于丙肝的恢復(fù)者只具有暫時(shí)免疫，故其可能在失去免疫或免疫存在的情況下發(fā)生再次感染。本文將失去免疫下的再感染稱為初次感染，而將免疫存在下的再感染稱為再次感染。再次感染較初次感染在行為上有很大的區(qū)別，如：再次感染率會(huì)減少，再次感染自發(fā)清除病毒率會(huì)增加。對(duì)丙肝傳染研究的數(shù)學(xué)模型有很多，但大部分的研究過程并沒有對(duì)初次感染和再次感染加以區(qū)分或者只是定性地描述兩者的區(qū)別。

圖1 倉室圖

本文在文獻(xiàn) [5] 的基礎(chǔ)上，在對(duì)初次感染和再次感染加以區(qū)別的情況下，從定量的角度利用微分方程定性與穩(wěn)定性理論來進(jìn)一步探究 HCV 傳播過程中的動(dòng)力學(xué)性態(tài)。就易感者S、初次感染者I、恢復(fù)者R、再次感染者V建立數(shù)學(xué)模型，其對(duì)應(yīng)的倉室圖見圖1。

(1)

其中：參數(shù)Λ>0，表示人口輸入率；μ>0，表示自然死亡率；d>0，表示因病死亡率；β>0，表示接觸率；σ>0，表示初次感染恢復(fù)率；γ>0，表示失去免疫率；0<ψ<1，表示恢復(fù)者的相對(duì)易感率；α>1，表示再次感染者的相對(duì)恢復(fù)率；υ>0，表示再次感染者的相對(duì)傳染率。

2 定理

為方便下文討論，特給出以下定理。

定理1 若S(0)>0,I(0)>0,R(0)>0,V(0)>0是模型(1)的初始值，則在任何t>0情況下模型的解 (S(t),I(t),R(t),V(t))均為正。

證明令

t1=sup{t>0:S(t)>0,I(t)>0,R(t)>0,V(t)>0}>0

根據(jù)模型(1)的第1個(gè)等式得出：

然后可以寫成

因此，

故

同理，可以得到在任何t>0情況下I(t)>0,R(t)>0,和V(t)>0，因此模型(1)的解均為正解，證畢。

證明將模型(1)中的所有等式相加，有

3 無病平衡點(diǎn)分析

基本再生數(shù)R0作為閾值參數(shù)，在流行病的傳播過程中扮演著重要的角色。求R0的方法有很多，這里采用下一代矩陣法[6]來求模型 (1) 的基本再生數(shù)。

F(新感染項(xiàng)) 與H(過渡項(xiàng)) 分別給出如下：

根據(jù)文獻(xiàn) [6] 的定理2可知，基本再生數(shù)可被定義為R0=ρ(FH-1)(其中ρ表示下一代矩陣FH-1的譜半徑)，故有

(2)

定理3 當(dāng)R0<1時(shí)，無病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定。

證明模型(1)在E0處的雅可比矩陣如下：

直接計(jì)算可得其對(duì)應(yīng)的特征值分別為：

η1=-μ,η2=-γ-μ,η3=-ασ-μ-d,η4=β-μ-σ-d

顯然，η1,η2,η3均小于零，當(dāng)R0<1(即β<μ+σ+d) 時(shí)，有η4<0,從而E0局部漸近穩(wěn)定；否則當(dāng)R0>1時(shí)，將有η4>0，此時(shí)E0是一個(gè)鞍點(diǎn)。證畢。

4 地方病平衡點(diǎn)分析

本節(jié)主要討論地方病平衡點(diǎn) (正平衡點(diǎn)) 的存在性問題。

不失一般性，設(shè)E1=(S*,I*,R*,V*)是模型 (1) 的一個(gè)正平衡點(diǎn)。其中S*,I*,R*,V*可令模型 (1) 的右端為零并迭代得到：

(3)

(4)

(5)

σI*+ασV*-(ψλ+γ+μ)R*=0

(6)

(7)

將式(3)～(5)均代入式(6)，(7)中，整理后得到關(guān)于λ的三次方程如下：

λ(Aλ2+Bλ+C)=0

(8)

其中：

A=γψΛ(d+μ+σ)(ασ+μ+d)

B=γΛ(ασ+μ+d)(-ψυβσ+d2ψ+2dμψ-dψβ+dψσ+μ2ψ-μψβ+

μψσ+μασ+αγσ+ασ2+dμ+dγ+dσ+μ2+μγ+μσ)

C=γΛ(ασ+μ+d)2(d+μ+σ-β)(γ+μ)

事實(shí)上，正平衡點(diǎn)E1的存在性等價(jià)于λ的存在性。對(duì)于方程 (8)，有λ=0 或Aλ2+Bλ+C=0。而當(dāng)λ=0時(shí)，E1即為無病平衡點(diǎn)E0，故對(duì)于正平衡點(diǎn)E1只需考慮等式

Aλ2+Bλ+C=0

(9)

顯然，系數(shù)A恒為正，故方程 (9) 的正根 (即正平衡點(diǎn)E1) 的個(gè)數(shù)與C的符號(hào)有關(guān)，而C的符號(hào)由基本再生數(shù)R0決定。現(xiàn)將正平衡點(diǎn)的存在情況歸結(jié)為以下定理：

定理4 正平衡點(diǎn)的存在性：

1) 當(dāng)C<0(即R0>1) 時(shí)，系統(tǒng)(1)有唯一的正平衡點(diǎn)；

2) 當(dāng)C=0且B<0或B2-4AC=0 時(shí)，系統(tǒng)(1)有唯一的正平衡點(diǎn)；

3) 當(dāng)C>0(即R0<1)，B<0 且B2-4AC>0 時(shí)，系統(tǒng)(1)有2個(gè)正平衡點(diǎn)；

4) 其他情況下系統(tǒng)(1)沒有正平衡點(diǎn)。

5 分支現(xiàn)象分析

事實(shí)上，當(dāng)R0<1時(shí)，若系統(tǒng) (1) 同時(shí)存在穩(wěn)定的無病平衡點(diǎn)和穩(wěn)定的正平衡點(diǎn)，則會(huì)出現(xiàn)后向分支現(xiàn)象。根據(jù)定理 4 中情況 3) 可知，模型 (1) 可能會(huì)產(chǎn)生后向分支現(xiàn)象。選取a和b作為分支參數(shù)來討論系統(tǒng) (1) 是否會(huì)出現(xiàn)分支現(xiàn)象。令S=x1,I=x2,R=x3,V=x4,則模型可以改寫為：

(10)

這里

對(duì)應(yīng)的特征方程為

λ4+a1λ3+a2λ2+a3λ=0

(11)

其中 ：

a1=ασ+d+3μ+γ

a2=2μασ+αγσ+2dμ+dγ+3μ2+2μγ

a3=μ(ασ+μ+d)(γ+μ)

根據(jù)文獻(xiàn)[4]中的定理4.1來分別計(jì)算后向分支系數(shù)a和b。

定理5 當(dāng)R0=1且RC>1時(shí)，系統(tǒng)(1)出現(xiàn)后向分支。

6 結(jié)論

事實(shí)上，丙肝的恢復(fù)者并非獲得終身免疫，故其可能在失去免疫或免疫存在的情況下發(fā)生第二次感染，且再次感染較初次感染在行為上有很大的區(qū)別，例如：再次感染率會(huì)減少，再次感染自發(fā)清除病毒率會(huì)增加。本文在區(qū)別初次感染和再次感染的情況下建立了一個(gè)SIRV模型，并利用微分方程定性與穩(wěn)定性理論對(duì)其動(dòng)力學(xué)性態(tài)進(jìn)行分析和討論。分析結(jié)果給出無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和地方病平衡點(diǎn)的存在性，同時(shí)還指出：在對(duì)初次感染和再次感染加以區(qū)別考慮的情況下，當(dāng)R0=1且RC>1時(shí)系統(tǒng)將出現(xiàn)后向分支，產(chǎn)生后向分支就意味著對(duì)傳染病(比如丙肝)的控制會(huì)依賴于模型的初始數(shù)據(jù)，這對(duì)于傳染病的預(yù)防和控制是不利的。接下來希望數(shù)學(xué)和生物醫(yī)學(xué)研究者對(duì)如何預(yù)防和控制傳染病作進(jìn)一步的研究，為解決丙肝等疾病的治療問題提出理論和實(shí)踐相結(jié)合的建議。

[1] MARTCHEVA M,CASTILLO-CHAVEZ C.Diseases with chronic stage in a population with varying size[J].Mathematical Biosciences,2003,182(1)：1-25.

[2] WESTBROOK R,DUSHEIKO G.Natural history of hepatitis C virus infection[J].Journal of Hepatology,2014,61(1)：S58-S68.

[3] CORSON S,GREENHALGH D.Mathematically modelling the spread of hepatitis C in injecting drug users[J].Mathematical Medicine and Biology,2012,29(3)：205-230.

[4] DE V A S,KRETZSCHMAR M E E.Benefits of hepatitis C virus treatment:A balance of preventing onward transmission and re-infection[J].Mathematical biosciences,2014,258：11-18.

[5] ELBASHA E H.Model for hepatitis C virus transmissions[J].Mathematical biosciences and engineering,2013,10(4)：1045-1065.

[6] DRIESSCHE P V D,WATMOUGH J.Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission[J].Mathematical biosciences,2002,180(1)：29-48.

[7] CASTILLO-CHAVEZ C,SONG B.Dynamical models of tuberculosis and their applications[J].Mathematical biosciences and engineering,2004,(1)：361-404.

[8] NAZARI F,GUMEL A B,ELBASHA E H.Differential characteristics of primary infection and re-infection can cause backward bifurcation in HCV transmission dynamics[J].Mathematical Biosciences,2015,263：51-69.

[9] HUANG Lu.Oral small molecule drugs for the treatment of Hepatitis C and the patent research[J].Chinese Journal of New Drugs,2016,25(10)：1095-1101.

[10] TIAN Y J.Analysis on the prevalence and case report quality of Hepatitis C,qiannan prefecture,2011—2014[J].Preventive Medical Tribune，2016.