王 琪,冷林峰,常永蓮

(重慶大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 重慶 401331)

近年來(lái)，隨著我國(guó)證券市場(chǎng)的不斷發(fā)展，證券投資已成為投資者的主要途徑之一。投資者在追求收益最大化的同時(shí)，應(yīng)當(dāng)警惕由于市場(chǎng)的劇烈變化為其帶來(lái)的巨額損失。因此，在保值的前提下，如何實(shí)現(xiàn)增值的最大化是當(dāng)前證券投資者關(guān)注的焦點(diǎn)之一。股票指數(shù)是選取具有代表性的一組股票，將其股價(jià)進(jìn)行加權(quán)平均得到，反映了股票市場(chǎng)中各種股票價(jià)格總體水平及變動(dòng)情況，以此作為評(píng)價(jià)一個(gè)投資組合預(yù)期收益的基準(zhǔn)指標(biāo)。自2016年以來(lái)，中國(guó)股指溫和上揚(yáng)，券商指數(shù)基金收益領(lǐng)先。一個(gè)業(yè)績(jī)表現(xiàn)突出的指數(shù)基金，其超額收益在很大程度上取決于跟蹤指數(shù)的表現(xiàn)。跟蹤指數(shù)表現(xiàn)是指試圖令資產(chǎn)組合的價(jià)值緊貼某一市場(chǎng)指數(shù)的表現(xiàn)，通常是建立相關(guān)模型進(jìn)行回歸分析。回歸方法的選取多種多樣，而選取何種方法能更好地跟蹤指數(shù)動(dòng)態(tài)、幫助投資者更好把握股價(jià)的波動(dòng)性與走勢(shì)成為亟待解決的問(wèn)題。

2004年楊楠[1]通過(guò)對(duì)多元線性回歸中的多重共線性問(wèn)題的研究，得出了嶺回歸分析在解決多重共線性問(wèn)題中具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。吳仍康[2]將嶺回歸應(yīng)用于我國(guó)上證綜合指數(shù)的預(yù)測(cè)分析。薛宏剛[3]利用滬深300股指的實(shí)證研究，建立了基于嶺回歸的套期保值模型。姬春煦等[4]將主成分回歸運(yùn)用在滬深綜合指數(shù)的預(yù)測(cè)研究中，并取得了較好的預(yù)測(cè)效果。王成震[5]采用主成分回歸對(duì)股票價(jià)格指數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)與風(fēng)險(xiǎn)分析。本文分別對(duì)嶺回歸與主成分回歸進(jìn)行改進(jìn)，并將改進(jìn)后的方法應(yīng)用于上證50指數(shù)及其成分股的回歸分析及跟蹤研究，從跟蹤誤差的角度得出了改進(jìn)嶺回歸的跟蹤效果更佳的結(jié)論。

1 模型的建立

1.1 股票價(jià)格指數(shù)

股票價(jià)格指數(shù)是描述股票市場(chǎng)總的價(jià)格水平變化的指標(biāo)。它是選取有代表性的一組股票，將其價(jià)格進(jìn)行加權(quán)平均計(jì)算得到，用以表示整個(gè)市場(chǎng)的股票價(jià)格總趨勢(shì)及漲跌幅度。在我國(guó)，上證50指數(shù)是反映整個(gè)股市行情最重要的指標(biāo)之一。上證50 指數(shù)是根據(jù)科學(xué)的統(tǒng)計(jì)方法，挑選上海證券市場(chǎng)規(guī)模大、流動(dòng)性好的最具有代表性的50 只股票組成樣本股，意在建立一個(gè)主要作為衍生金融工具基礎(chǔ)的投資指數(shù)。因此，如何判斷和預(yù)測(cè)股票指數(shù)的走勢(shì)引起了研究者的極大興趣。由于影響上證指數(shù)的因素眾多，且其作用機(jī)制較為復(fù)雜，使得預(yù)測(cè)股指的長(zhǎng)期走勢(shì)變得十分困難。然而，通過(guò)建立線性模型，在短期股指預(yù)測(cè)中往往能夠取得較好效果。

1.2 建立模型

建立在一定時(shí)期內(nèi)上證50指數(shù)與其50個(gè)成分股的收盤價(jià)之間的多元線性回歸模型：

Y=β0+β1X1+β2X2+…+β50X50+ε

其中：Y表示上證50指數(shù)；X1,X2,….,X50分別表示50個(gè)成分股的收盤價(jià)；β0,β1,…,β50表示多元回歸的參數(shù)估計(jì)；ε為估計(jì)誤差。

2 統(tǒng)計(jì)方法

2.1 嶺回歸

2.1.1 嶺回歸原理

嶺回歸是 1970年由Hoerl和Kennard提出的一種有偏估計(jì)方法。假定自變量數(shù)據(jù)矩陣X=xij}為n×p的，最小二乘估計(jì)尋求使殘差平方和達(dá)到最小時(shí)的系數(shù)，即

(1)

而嶺回歸需要一個(gè)懲罰項(xiàng)來(lái)約束系數(shù)的大小，即嶺回歸的系數(shù)既要使得殘差平方和小，又不能使得系數(shù)太膨脹，即

(2)

2.1.2 嶺回歸的改進(jìn)

對(duì)嶺參數(shù)的選取方法在前人研究的基礎(chǔ)上做一些改進(jìn)。在線性回歸模型的設(shè)計(jì)陣X存在多重共線性時(shí)，XTX的特征值至少有一個(gè)很小，接近于0，即

(3)

因此，可用XTX行列式的大小來(lái)判斷自變量的多重共線性強(qiáng)弱。令

(4)

再將式(4)改為

(5)

分別運(yùn)用兩個(gè)公式選取嶺系數(shù)，并將預(yù)測(cè)誤差進(jìn)行對(duì)比。其中，k為選擇的嶺參數(shù)，I為p×p單位陣，易見(jiàn)D(k)關(guān)于k單調(diào)遞增。規(guī)定若00.05，認(rèn)為幾乎沒(méi)有共線性。因此，關(guān)于嶺參數(shù)k的選取，可在D(k)>0.01的范圍內(nèi)選取最小的k值作為最終的嶺參數(shù)k。該方法將多重共線性的強(qiáng)弱通過(guò)計(jì)算XTX的大小進(jìn)行量化，并且在設(shè)立的D(k)取值范圍內(nèi)選取相應(yīng)嶺參數(shù)，是對(duì)嶺參數(shù)選取的一種改進(jìn)。

2.2 主成分回歸

2.2.1 主成分回歸原理

主成分估計(jì)是在1965年瑪西提出的一種線性有偏估計(jì)，主要思想是將原來(lái)的回歸自變量變換到另一組變量，即主成分，選擇其中一部分重要的主成分作為新的自變量，以達(dá)到降維的目的。運(yùn)用最小二乘法對(duì)選取主成分后的模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，最后再變換到原來(lái)的模型求出參數(shù)的估計(jì)。

主成分回歸主要步驟如下：

1) 對(duì)原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理，消除量綱不一致的影響。設(shè)有p個(gè)自變量X1,…,Xp，在第i次實(shí)驗(yàn)中取值為xi1,…,xip,i=1,…,n。矩陣形式為

(6)

對(duì)樣本矩陣標(biāo)準(zhǔn)化可得

2) 計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣R。

3) 求相關(guān)系數(shù)矩陣R的特征根和特征向量。求解R的特征方程|λE-R|=0，得到p個(gè)特征值λ1≥λ2≥…≥λp≥0，由(λE-R)X=0得到對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化正交特征向量η1,η1,…,ηp。

4) 建立主成分特征函數(shù)。將x1,…,xp變換為主成分z1,…,zp，令

(7)

記標(biāo)準(zhǔn)化正交陣Q=(η1,η2,…,ηP)p×p，Z=XQ,引入?yún)?shù)α=QTβ，得到主成分特征函數(shù)

Y=β01+ZQTβ+ε=β01+Zα+ε

2.2.2 主成分回歸的改進(jìn)

在進(jìn)行主成分篩選時(shí)，如何確定選取主成分的個(gè)數(shù)是問(wèn)題的關(guān)鍵。因此，提出將RMS、AIC與SSE 這3個(gè)準(zhǔn)則相結(jié)合，聯(lián)合選取主成分，考慮同時(shí)滿足3個(gè)準(zhǔn)則的模型為最優(yōu)模型。

1) RMS準(zhǔn)則，RMS=SSE/(n-k)。其中：SSE為殘差平方和；n為觀測(cè)值的個(gè)數(shù)；k為選取的主成分個(gè)數(shù)。選取使RMS達(dá)到最小值的k值，即RMS越小越好。

2) AIC準(zhǔn)則，AIC=2k+nln(SSE)。AIC是衡量統(tǒng)計(jì)模型擬合優(yōu)良性的一種標(biāo)準(zhǔn)，可以權(quán)衡所估計(jì)模型的復(fù)雜度和此模型的擬合優(yōu)度。其中：n為觀測(cè)值的個(gè)數(shù)；k為選取的主成分個(gè)數(shù)。AIC鼓勵(lì)數(shù)據(jù)具有擬合優(yōu)良性的同時(shí),盡量避免出現(xiàn)過(guò)度擬合的情況，因此優(yōu)先考慮AIC值最小的的模型。

3) SSE準(zhǔn)則。優(yōu)先選擇有最小殘差平方和的主成分模型。

2.5 兩步估計(jì)

2.5.1 彈性約束估計(jì)

在金融大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析中，由于變量的影響大小不同，加上數(shù)據(jù)收集的成本和分析的時(shí)效，并不總是需要盡可能多地收集全部變量。因此，當(dāng)處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首要的問(wèn)題就是變量選擇問(wèn)題。

2005年Zou與Hastie將嶺回歸與Lasso方法合并，提出彈性約束估計(jì)，即Elastic Net。彈性約束的參數(shù)估計(jì)為

(8)

等價(jià)于找到

滿足當(dāng)

達(dá)到最小的βj,j=1,2,…,p。易見(jiàn)，當(dāng)λ=1時(shí)，彈性約束估計(jì)就是嶺回歸；當(dāng)λ=0時(shí)，彈性約束估計(jì)就是絕對(duì)約束估計(jì)。因此，彈性約束估計(jì)同時(shí)具有絕對(duì)約束估計(jì)與嶺估計(jì)的特點(diǎn)。

2.5.2 兩步估計(jì)方法

在證券市場(chǎng)中，很多變量都是相互依存的，沒(méi)有必要將高度關(guān)聯(lián)的變量都考慮進(jìn)來(lái)。此時(shí)，我們需要做兩步估計(jì)，即先篩選出一部分變量，再做回歸。針對(duì)本文的數(shù)據(jù)，考慮先用彈性約束估計(jì)方法篩選出變量，再將得到的變量做最小二乘估計(jì)。

3 實(shí)證研究

3.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

本文數(shù)據(jù)來(lái)源于2017年1月3日至2017年3月20日的上證50指數(shù)及其成分股的5分鐘線收盤價(jià)數(shù)據(jù)，剔除兩支有嚴(yán)重缺失值的股票。通過(guò)Wind金融資訊軟件獲得了2 352組觀測(cè)值數(shù)據(jù)。選取前2 064組觀測(cè)值為訓(xùn)練集，將剩下的288組觀測(cè)值作為測(cè)試集。本文擬通過(guò)對(duì)上證50指數(shù)與其成分股進(jìn)行回歸分析，從估計(jì)誤差的角度，試圖尋找最佳估計(jì)方法，并依據(jù)未來(lái)短期內(nèi)的成分股波動(dòng)對(duì)上證50指數(shù)進(jìn)行短期預(yù)測(cè)。

3.2 數(shù)據(jù)的處理

3.2.1 數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化及異常點(diǎn)處理

在做數(shù)據(jù)分析時(shí)，引入的各變量常有不同的單位和不同的變異程度。為了消除量綱影響，將數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。統(tǒng)計(jì)中常采用 Z-score 標(biāo)準(zhǔn)化，即

3.2.2 診斷多重共線性

多重共線性即變量間高度相關(guān)，導(dǎo)致樣本協(xié)方差矩陣奇異或不穩(wěn)定，此時(shí)依賴協(xié)方差矩陣的最小二乘估計(jì)變得無(wú)意義。度量多重共線性嚴(yán)重程度的一個(gè)重要指標(biāo)是計(jì)算變量相關(guān)系數(shù)矩陣的條件數(shù)k，即矩陣最大特征值與最小特征值之比。如果k值小于100認(rèn)為變量間共線性程度較輕，大于1 000則認(rèn)為存在嚴(yán)重共線性。相關(guān)系數(shù)矩陣最大特征值為22.819 9，最小特征值僅0.003 684，計(jì)算k值為6 193.64，可見(jiàn)變量間存在比較嚴(yán)重的多重共線性。

3.3 最小二乘及迭代加權(quán)最小二乘法

3.3.1 最小二乘法

經(jīng)最小二乘估計(jì)，計(jì)算出訓(xùn)練集SSE為234.054，MSE為0.113 508;測(cè)試集SSE為294.115 4，MSE為1.021 234。

3.3.2 迭代加權(quán)最小二乘法

在不符合方差齊性的模型中，迭代重復(fù)加權(quán)最小二乘法估計(jì)效果良好。由于本文數(shù)據(jù)未通過(guò)Shapiro-wilk檢驗(yàn)，可以嘗試此方法。在R軟件中使用MASS包的rlm函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)Huber與Bisquare兩種方法計(jì)算每個(gè)自變量的權(quán)重，并將得出的權(quán)重分別乘以原始自變量數(shù)據(jù)，形成加權(quán)處理的新數(shù)據(jù)，再進(jìn)行最小二乘法估計(jì)。由Huber法，利用R程序計(jì)算，可獲得上證50指數(shù)與成分股之間的回歸方程：

計(jì)算得訓(xùn)練集SSE為234.718 3，MSE為0.113 8；測(cè)試集SSE為325.884 3，MSE為1.131 5。由Bisquare法得上證50指數(shù)與成分股之間的回歸方程：

計(jì)算得訓(xùn)練集SSE為235.163 7，MSE為0.295 9;測(cè)試集SSE為340.817 1，MSE為1.183 3。可見(jiàn)，Bisquare法和Huber法的估計(jì)誤差均大于最小二乘法。

3.4 嶺回歸及其改進(jìn)的應(yīng)用

3.4.1 嶺回歸

首先選擇嶺參數(shù)，通過(guò)R程序繪出嶺跡圖，見(jiàn)圖1。

由R程序MASS包中l(wèi)m.ridge函數(shù)，得HKB法給出的k值為0.080 2，L-W法給出的k值為0.007 6，GCV法給出的k值為0.04，選擇最小的k值0.007 6，得到嶺回歸方程

圖1 嶺跡圖

易見(jiàn)，殘差的趨勢(shì)性基本被消除了，嶺估計(jì)給出的嶺回歸方程較好地刻畫了上證50指數(shù)的變化趨勢(shì)。

3.4.2 嶺回歸的改進(jìn)

首先考慮第1種情況，即

由R程序自編函數(shù)，得到在D(k)>0.001的范圍內(nèi)最小k值為0.583 4，作為選取的嶺參數(shù)。得到嶺回歸方程為

分析殘差，得到訓(xùn)練集SSE為234.255 8,MSE為0.113 606 1，測(cè)試集SSE為286.884 2，MSE為0.996 125 5。易見(jiàn)，經(jīng)過(guò)嶺參數(shù)選擇方法的改進(jìn)，特別是測(cè)試集的估計(jì)誤差，與L-W法相比有所減小，甚至小于最小二乘估計(jì)誤差。因此，改進(jìn)的嶺回歸使估計(jì)誤差得到減小，預(yù)測(cè)精度得到提升。訓(xùn)練集與測(cè)試集觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值的擬合曲線分別如圖3、4所示。

圖3 改進(jìn)嶺回歸訓(xùn)練集實(shí)際值與預(yù)測(cè)值擬合曲線

從2017年1月3日至2017年3月20日兩個(gè)多月的時(shí)間，通過(guò)改進(jìn)嶺回歸模型跟蹤上證50指數(shù)的走勢(shì)比較成功，說(shuō)明通過(guò)數(shù)據(jù)擬合的模型用于股票指數(shù)跟蹤是完全可行的。

其次考慮第2種情況，即

由R程序自編函數(shù)，得到在D(k)>0.001范圍內(nèi)的最小k值為0.099，作為選取的嶺參數(shù)。得到嶺回歸方程為

分析殘差，得到訓(xùn)練集SSE為234.078 3,MSE為0.113 52，測(cè)試集SSE為291.495 9，MSE為1.012 138。與第一種改進(jìn)方法比較，第二種方法得到的測(cè)試集殘差略大于第一種方法的殘差，但仍小于L-W法選取嶺參數(shù)的殘差以及最小二乘估計(jì)殘差。綜合來(lái)看，從預(yù)測(cè)誤差的角度，改進(jìn)的嶺回歸降低了殘差，取得了一定的改進(jìn)效果。

3.5 主成分回歸及其改進(jìn)的應(yīng)用

3.5.1 主成分回歸

使用R程序的主成分函數(shù)princomp( )進(jìn)行主成分分析，得到前32個(gè)主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率如圖5所示。設(shè)置特征值門限值為0.05，第24個(gè)特征值小于0.05，因此選取前24個(gè)主成分進(jìn)行分析，累積貢獻(xiàn)率為99.05%。得到主成分回歸方程為

經(jīng)殘差分析，計(jì)算得訓(xùn)練集SSE為548.99，MSE為0.26，測(cè)試集SSE為854.33，MSE為2.96。殘差趨勢(shì)見(jiàn)圖6，易見(jiàn)殘差的趨勢(shì)性基本被消除。

3.5.2 主成分回歸的改進(jìn)

經(jīng)R程序自編函數(shù)計(jì)算，當(dāng)k=32時(shí)RMS和AIC同時(shí)達(dá)到最小，SSE亦為最小取值之一，因此選取前32個(gè)主成分進(jìn)行回歸分析。得到主成分回歸方程為

經(jīng)計(jì)算得到：訓(xùn)練集SSE為389.856 2，MSE為0.189 0，測(cè)試集SSE為611.629 4，MSE為2.123 7。此時(shí)，條件數(shù)為989.215，與原始數(shù)據(jù)的條件數(shù)6 193.64相比，顯著降低。因此，經(jīng)改進(jìn)的主成分回歸，相對(duì)削弱了變量間的共線性，且估計(jì)誤差與改進(jìn)前相比有所減小。訓(xùn)練集與測(cè)試集的觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值的擬合曲線分別如圖7、8所示。

圖5 前32個(gè)主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率

圖6 主成分回歸殘差圖

表1 殘差分析

圖7 改進(jìn)主成分回歸訓(xùn)練集實(shí)際值與預(yù)測(cè)值擬合曲線

3.6 兩步估計(jì)的應(yīng)用

3.6.1 彈性約束估計(jì)與最小二乘的結(jié)合

首先經(jīng)彈性約束估計(jì)對(duì)上證50及其成份股進(jìn)行變量選擇，由R程序中cv.glmnet函數(shù)進(jìn)行交叉驗(yàn)證，以確定最佳的λ值。λ選擇如圖9所示，橫軸是λ對(duì)數(shù)值，縱軸是均方誤差。

圖9 彈性約束估計(jì)λ選擇圖

經(jīng)計(jì)算，易得λmin=0.093 4。按此參數(shù)值，保留變量個(gè)數(shù)是34個(gè)，分別是第1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,14,15,16,17,19,21,23,24,25,27,28,29,30,32,35,37,38,39,41,43,45,46,47,48個(gè)成分股自變量。計(jì)算得訓(xùn)練集SSE為1 476.961。

對(duì)彈性約束估計(jì)選出的34個(gè)變量進(jìn)行最小二乘估計(jì)，由shapiro-wilk檢驗(yàn)，得到p值為0.349 8，因此殘差經(jīng)檢驗(yàn)符合正太性假定。計(jì)算得訓(xùn)練集SSE為639.467 5, MSE為0.310 1,與彈性約束估計(jì)相比有所減小。

3.6.2 彈性約束估計(jì)與主成分估計(jì)的結(jié)合

對(duì)經(jīng)過(guò)彈性約束估計(jì)篩選出的34個(gè)變量進(jìn)行主成分回歸，訓(xùn)練集SSE為1 278.469，MSE為0.620 014。易見(jiàn)，由于主成分估計(jì)是有偏估計(jì)，估計(jì)誤差明顯增大。

綜上，針對(duì)本文的數(shù)據(jù)進(jìn)行的兩步估計(jì)嘗試，尚未從估計(jì)誤差的角度找到更優(yōu)于單步估計(jì)的方法。但是，對(duì)于基金公司來(lái)說(shuō)，往往需要用最少的變量達(dá)到對(duì)指數(shù)的準(zhǔn)確跟蹤，從而實(shí)現(xiàn)股票與股指期貨的對(duì)沖，達(dá)到保值目的。這時(shí)，全部持有股票幾乎不可能，因此有必要在變量選擇的基礎(chǔ)上再對(duì)股指進(jìn)行回歸分析。

4 結(jié)論與展望

4.1 結(jié)論

本文所用的每種方法的估計(jì)誤差匯總?cè)绫?所示。由表1可得，單步估計(jì)方面，改進(jìn)嶺回歸的訓(xùn)練集和測(cè)試集的估計(jì)誤差最小，特是在測(cè)試集中，改進(jìn)嶺回歸法1和改進(jìn)嶺回歸法2的估計(jì)誤差小于嶺回歸與最小二乘估計(jì)。易見(jiàn)，改進(jìn)嶺回歸取得了降低預(yù)測(cè)誤差的效果，是不錯(cuò)的嘗試。而主成分回歸的預(yù)測(cè)誤差最大，因此針對(duì)本文數(shù)據(jù)，改進(jìn)的嶺回歸方法最適用。當(dāng)不適合考慮全部股票時(shí)，需要進(jìn)行變量選擇，因此考慮兩步估計(jì)。針對(duì)本文的數(shù)據(jù)，先用彈性約束估計(jì)篩選變量，再做最小二乘法的無(wú)偏估計(jì)。但不可避免的，估計(jì)誤差會(huì)高于單步估計(jì)的結(jié)果。

4.2 展望

本文仍然存在一些不足之處。例如，由于數(shù)據(jù)、指標(biāo)和估計(jì)方法的選取具有一定局限性，有待進(jìn)一步拓展?？傊油笍氐匮芯亢皖A(yù)測(cè)股票指數(shù)的趨勢(shì)，不僅需要進(jìn)一步深化統(tǒng)計(jì)理論的學(xué)習(xí)，還應(yīng)追蹤當(dāng)前國(guó)內(nèi)外研究成果，通過(guò)對(duì)股票指數(shù)趨勢(shì)的深入分析，結(jié)合我國(guó)股市特點(diǎn)，形成一套行之有效的股指預(yù)測(cè)體系。

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