王鏡惠，梅明華，梁正中，王華軍，劉娟

隨著老油田產(chǎn)油能力不斷下降，水平井水力壓裂對于提高油井產(chǎn)量具有重要意義，通過水平井水力壓裂，將原來井筒附近地層流體的徑向流變?yōu)榫€性流，從而減小流體的滲流阻力。隨著壓裂技術(shù)的不斷進(jìn)步與完善，水平井壓裂技術(shù)在開采致密油氣藏中具有廣闊的前景[1-6]。地層條件的復(fù)雜性以及壓裂過程中出現(xiàn)的特殊情況，導(dǎo)致裂縫關(guān)于井筒不對稱，因此求解壓裂水平井壓力的核心問題在于多條裂縫壓力的相互疊加。在壓裂直井壓力動態(tài)分析方面，國外學(xué)者進(jìn)行了大量研究，文獻(xiàn)［2］和文獻(xiàn)［3］將儲集層滲流壓力解與裂縫滲流壓力解進(jìn)行耦合，獲得儲集層和裂縫滲流系統(tǒng)的井底壓力半解析解；文獻(xiàn)［6］基于橢圓滲流建立了有限導(dǎo)流垂直裂縫試井解釋模型，該模型的優(yōu)點(diǎn)在于求解速度快，缺點(diǎn)是不能很好地對不對稱有限導(dǎo)流垂直裂縫進(jìn)行研究；文獻(xiàn)［7］建立了不對稱垂直裂縫試井解釋模型，但該模型只描述了裂縫滲流特征，沒有對裂縫和儲集層滲流井底壓力進(jìn)行耦合求解；文獻(xiàn)［8］利用數(shù)值模擬方法，對不對稱垂直裂縫進(jìn)行研究，分析了不對稱因子對壓力導(dǎo)數(shù)曲線的影響，但數(shù)值模擬計(jì)算速度慢。中國學(xué)者對不對稱垂直裂縫的試井工作做了大量研究，為非常規(guī)多段壓裂水平井試井模型的研究奠定了基礎(chǔ)[9-14]。在水平井多段壓裂非常規(guī)裂縫試井解釋模型的研究方面，文獻(xiàn)［15］和文獻(xiàn)［16］提出了Laplace空間點(diǎn)源函數(shù)理論，對點(diǎn)源函數(shù)積分獲得單條裂縫無限導(dǎo)流的線源解與面源解，通過壓降疊加原理，獲得水平井多段壓裂非常規(guī)裂縫試井解釋模型半解析解；文獻(xiàn)［17］—文獻(xiàn)［19］基于前人的研究，建立了對稱裂縫水平井多段壓裂試井解釋模型，并進(jìn)行求解；為了提高計(jì)算速度，文獻(xiàn)［20］在文獻(xiàn)［6］的研究成果中引入了裂縫導(dǎo)流能力函數(shù)，對無限導(dǎo)流井底壓力解與導(dǎo)流能力函數(shù)組合，得到有限導(dǎo)流垂直裂縫井和水平井多段壓裂井底壓力計(jì)算的新方法，但該計(jì)算方法是基于多條對稱裂縫的研究，沒有考慮裂縫不對稱對試井曲線的影響。在前人研究的基礎(chǔ)上，本文建立均質(zhì)地層單條有限導(dǎo)流不對稱裂縫試井解釋模型，利用Laplace變換獲得其半解析解，然后通過壓降疊加原理得到水平井多段壓裂井底壓力半解析解，最后利用Stehfest數(shù)值反演方法[21-22]繪制井底壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線，并分析不對稱因子、裂縫條數(shù)、裂縫分布方式和裂縫導(dǎo)流系數(shù)等因素對試井曲線的影響。

1 單條有限導(dǎo)流垂直裂縫壓力動態(tài)特征

1.1 單條有限導(dǎo)流垂直裂縫試井模型

不對稱垂直裂縫就是一條或多條水力壓裂裂縫，以井筒為中心，裂縫兩端關(guān)于井筒不對稱。為了更好地建立不對稱垂直裂縫試井解釋模型，根據(jù)對稱垂直裂縫試井解釋模型的建立，以裂縫中點(diǎn)為中心建立直角坐標(biāo)系，井偏離裂縫中心位置的位移為xw，儲集層上下為不滲透邊界（圖1）。根據(jù)文獻(xiàn)［15］給出的無限導(dǎo)流垂直裂縫試井解釋模型解，結(jié)合不對稱垂直裂縫試井解釋模型，將裂縫與儲集層滲流進(jìn)行耦合，從而求得單條不對稱有限導(dǎo)流垂直裂縫井底壓力。模型基本假設(shè)條件如下：壓裂裂縫兩端沒有流體通過；流體在儲集層和裂縫中的流動符合等溫達(dá)西滲流規(guī)律；裂縫寬度為bf，裂縫穿過整個地層；整條裂縫中壓力不相同，即沿裂縫有壓降產(chǎn)生，裂縫的滲透率為Kf；忽略毛細(xì)管壓力和重力的影響；儲集層流體為微可壓縮單相流體。

圖1 單條有限導(dǎo)流不對稱垂直裂縫示意

無量綱變量和不對稱因子分別定義為

根據(jù)上述假設(shè)條件，得到無量綱裂縫試井解釋模型為

無量綱裂縫試井解釋模型的邊界條件為

通過使用Laplace變換和Green函數(shù)，并聯(lián)合邊界條件（13）式和（14）式，求得（12）式的解為

Laplace空間下裂縫平均壓力可表示為

根據(jù)文獻(xiàn)［7］，Green函數(shù)可以寫為

文獻(xiàn)［15］和文獻(xiàn)［16］對單條無限導(dǎo)流垂直裂縫做了研究，任意地層壓力的表達(dá)式為

根據(jù)裂縫壁面處壓力相等，聯(lián)立（15）式和（18）式，可得無量綱單位長度裂縫流量與Laplace空間下無量綱裂縫平均壓力方程：

根據(jù)質(zhì)量守恒原理，則無量綱單位長度裂縫流量滿足表達(dá)式

1.2 裂縫離散化處理

對于有限導(dǎo)流垂直裂縫，流體沿裂縫流動方向存在壓降，裂縫不同位置處流量不恒定，而是與位置有關(guān)的函數(shù)，因此，在計(jì)算流量過程中將裂縫進(jìn)行離散，單位長度裂縫流量可以視為一個定值，對于多條裂縫，根據(jù)壓降疊加原則，（19）式和（20）式經(jīng)過離散化處理之后得到：

對于單條裂縫而言，M=1，ymD(i,j)=ywD(i,j)，（21）式和（22）式構(gòu)成2N+1個方程組，需求解出qˉD()i,j和pˉfDavg，共有2N+1個未知數(shù)，其中Bessel函數(shù)的積分可以通過高斯-勒讓德數(shù)值積分獲得，將所求未知參數(shù)代入（15）式，并取xD=xasmy，獲得井底壓力。

根據(jù)杜哈美原理，考慮井儲和表皮效應(yīng)的影響，得到的井底壓力為[17]

根據(jù)（21）式和（22）式，采用Stehfest數(shù)值反演方法，繪制有限導(dǎo)流不對稱垂直裂縫無量綱井底壓力、壓力導(dǎo)數(shù)與無量綱時間的關(guān)系曲線（圖2）。將本文所獲得的有限導(dǎo)流不對稱垂直裂縫無量綱井底壓力及壓力導(dǎo)數(shù)結(jié)果與文獻(xiàn)［8］中利用數(shù)值計(jì)算方法得到的結(jié)果進(jìn)行對比，從圖2可以看出，利用本文計(jì)算獲得的結(jié)果與文獻(xiàn)［8］中的結(jié)果符合率高。因此，關(guān)于不對稱裂縫試井解釋模型的研究，可以采用本文解析法代替數(shù)值差分求解方法，在數(shù)值反演的過程中，以向量為基本運(yùn)算單元，采用并行算法，提高計(jì)算速度。

圖2 有限導(dǎo)流不對稱垂直裂縫無量綱井底壓力曲線（不對稱因子為0.6）

2 多條非常規(guī)裂縫壓力動態(tài)特征

對于多段壓裂水平井，當(dāng)開井投產(chǎn)時，M條裂縫同時生產(chǎn)，M條裂縫之間的相互影響可以通過疊加原理得到，應(yīng)用前面研究結(jié)果，對每條裂縫的壓降進(jìn)行疊加，獲得所有裂縫的壓力。根據(jù)文獻(xiàn)［19］和文獻(xiàn)［20］可知，當(dāng)裂縫導(dǎo)流系數(shù)大到一定程度時，不對稱因子變化幾乎不影響壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線形態(tài)，然而流體在井筒中的流動被視為無限導(dǎo)流，即井筒導(dǎo)流能力為無限大。因?yàn)榱芽p不對稱是相對于井筒而言，并且每一條裂縫與井筒都存在一個交點(diǎn)，這個交點(diǎn)可以被視為“井筒”，交點(diǎn)兩端裂縫長度不相等，根據(jù)壓裂水平井滲流方式，儲集層流體首先從地層流入裂縫，再經(jīng)過裂縫流入井筒，因此，可以將水平井井筒在x-y平面內(nèi)彎曲而不改變原有的滲流方式。為了利用不對稱因子建立水平井多段壓裂非常規(guī)裂縫試井解釋模型，將多段壓裂常規(guī)對稱裂縫與水平井的交點(diǎn)沿裂縫方向平移，實(shí)現(xiàn)裂縫關(guān)于“井筒”不對稱，所以，可以采用井筒彎曲來進(jìn)行水平井多段壓裂非常規(guī)裂縫試井解釋問題的研究（圖3）。

圖3 水平井多段壓裂非常規(guī)裂縫示意

對于M條裂縫，共有2NM+1個未知數(shù)，聯(lián)立質(zhì)量守恒方程構(gòu)成2NM+1個方程組，通過該方程組可以求得2NM+1個未知數(shù)，將其代入（15）式，得到井底壓力。（19）式可以寫成以下矩陣形式：

3 試井曲線與影響因素分析

利用Stehfest數(shù)值反演方法，對（24）式進(jìn)行編程計(jì)算，得到不考慮井儲和表皮效應(yīng)的井底壓力曲線，再根據(jù)（23）式，繪制考慮井儲和表皮效應(yīng)的壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線。

3.1 試井曲線分析

水平井多段壓裂非常規(guī)裂縫試井曲線[23-24]可分為7個階段。

（1）井儲階段 純井儲階段壓力和壓力導(dǎo)數(shù)重合，其曲線斜率都為1.00.

（2）雙線性流階段 沿裂縫流動的線性流和沿垂直裂縫方向的線性流，壓力導(dǎo)數(shù)斜率為0.25.

（3）早期線性流階段 只有地層中的流體向裂縫發(fā)生線性流，壓力導(dǎo)數(shù)曲線斜率為0.50.

（4）第一徑向流階段 地層中的流體圍繞單條裂縫產(chǎn)生徑向流，壓力導(dǎo)數(shù)曲線斜率為0.

（5）第二線性流階段 流體沿垂直于井筒的方向發(fā)生線性流，壓力導(dǎo)數(shù)曲線斜率為0.50.

（6）過渡流階段 壓力導(dǎo)數(shù)曲線斜率為0～0.50.

（7）系統(tǒng)徑向流階段 地層中的流體沿裂縫和井筒所組成的系統(tǒng)發(fā)生徑向流，壓力導(dǎo)數(shù)曲線斜率為0（圖4）。圖4中無量綱井儲系數(shù)為0.000 8，表皮系數(shù)為0.01，裂縫條數(shù)為4條，無量綱導(dǎo)流系數(shù)為12，不對稱因子為0.4.

圖4 水平井多段壓裂非常規(guī)裂縫試井曲線

3.2 影響因素分析

不對稱因子主要影響雙線性流和過渡流階段井底壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線特征的變化，流體首先從地層流入壓裂裂縫，再沿裂縫流入井筒，由于井筒兩端裂縫不對稱，裂縫短的一端首先結(jié)束雙線性流階段，因此，裂縫不對稱因子越大，雙線性流階段結(jié)束的時間越早，即壓力導(dǎo)數(shù)曲線斜率為0.25的直線結(jié)束越早；由于壓裂裂縫為有限導(dǎo)流，裂縫越不對稱，在雙線性流階段到過渡流階段，井筒與裂縫之間的壓差就越大，流體流過該區(qū)域時所消耗的壓降就越大，所以，裂縫越不對稱，雙線性流階段到早期線性流階段井底壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線幅度越高；當(dāng)裂縫完全不對稱時，流體首先沿裂縫做線性流后直接進(jìn)入早期線性流階段，因此，壓力導(dǎo)數(shù)曲線的斜率不為0.25（圖5）。

圖5 不對稱因子對井底壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線的影響

壓裂裂縫條數(shù)主要影響雙線性流階段到第二線性流階段的井底壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線特征的變化，在水平井長度不變的情況下，裂縫條數(shù)越多，裂縫與裂縫之間的間距就越小，裂縫條數(shù)的增加會提高水平井井筒附近地層的滲透率，水平井井筒壓力越低，水平井井筒與裂縫之間的壓差越大，對于定產(chǎn)生產(chǎn)的油井，原油流過該區(qū)域時所消耗的壓降就越小，所以，雙線性流階段到第二線性流階段井底壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線幅度越低，系統(tǒng)徑向流階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線對裂縫條數(shù)并不敏感，說明系統(tǒng)徑向流階段主要反映的是壓力波傳播到距離水平井井筒比較遠(yuǎn)的區(qū)域的滲流特征（圖6）。圖6中無量綱井儲系數(shù)為0.000 5，表皮系數(shù)為0.01，無量綱導(dǎo)流系數(shù)為12，不對稱因子為0.4.

圖6 裂縫條數(shù)對井底壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線的影響

本文主要分析儲集層被全部壓裂開時，裂縫沿水平井不對稱均勻分布對試井曲線的影響。從圖7可以看出，在壓裂裂縫條數(shù)不變的情況下，裂縫分布方式對試井特征曲線的影響主要集中在第二線性流階段，壓裂裂縫分布越不對稱，即裂縫與裂縫之間的距離越小，第二線性流階段持續(xù)的時間就越短，其壓力導(dǎo)數(shù)曲線斜率不為0.50，系統(tǒng)徑向流階段開始的時間越早（圖7）。圖7中無量綱井儲系數(shù)為0.000 5，表皮系數(shù)為0.01，裂縫條數(shù)為5條，無量綱導(dǎo)流系數(shù)為12，不對稱因子為0.4.

圖7 裂縫分布方式對井底壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線的影響

裂縫導(dǎo)流系數(shù)越大，說明流體在裂縫中的流動阻力越小，裂縫導(dǎo)流系數(shù)對試井曲線的影響主要在雙線性流階段和早期線性流階段。裂縫導(dǎo)流系數(shù)越大，井筒附近壓差就越大，流體流過該區(qū)域時所消耗的壓降就越小，沿裂縫方向流體流動阻力就越小，雙線性流階段結(jié)束時間越早（圖8）。因此，裂縫導(dǎo)流系數(shù)越大，早期井底壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線在井儲階段向雙線性流階段過渡曲線幅度越低；當(dāng)裂縫導(dǎo)流系數(shù)為無窮大時，雙線性流階段消失，該階段曲線特征為無限導(dǎo)流曲線特征。圖8中無量綱井儲系數(shù)為0.000 5，表皮系數(shù)為0.01，裂縫條數(shù)為5條，不對稱因子為0.4.

圖8 裂縫導(dǎo)流系數(shù)對井底壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線的影響

4 實(shí)例應(yīng)用

勝利油田樊154區(qū)塊沙二段油藏多段壓裂水平井M井，測試水平井井段為2 963～3 779 m，水平段長度為602 m，水平段井筒距離油層頂面為17.5 m，井筒半徑為0.07 m，儲集層有效厚度為35 m，平均孔隙度為12.4%，平均滲透率為2.27 mD，原油黏度為1.60 mPa·s，油藏壓力為31.07 MPa，綜合壓縮系數(shù)為1.66×10-3MPa-1，原油體積系數(shù)為1.22.M井在3 185 m，3 550 m和3 760 m進(jìn)行射孔壓裂，其加砂量分別為25.1 m3，25.6 m3和 35.0 m3，壓力恢復(fù)測試前油壓為4.00 MPa，日產(chǎn)油量為16.5 t.根據(jù)M井實(shí)測井底壓力與壓力導(dǎo)數(shù)的雙對數(shù)曲線形態(tài)，結(jié)合該油藏地質(zhì)特征，選用有限導(dǎo)流水平井多段壓裂非常規(guī)裂縫試井解釋模型進(jìn)行曲線擬合解釋，由于該井沒有進(jìn)行微破裂影像監(jiān)測，視人工壓裂的3條裂縫均有效，并結(jié)合壓裂施工設(shè)計(jì)與現(xiàn)場實(shí)際資料，解釋裂縫擬合參數(shù)見表1.從圖9可以看出，由（21）式和（22）式計(jì)算所得到的無量綱井底壓力和壓力導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)與實(shí)測數(shù)據(jù)擬合效果很好，因此（21）式和（22）式可以用來解釋多段壓裂不對稱試井資料。

圖9 （21）式和（22）式計(jì)算所得數(shù)據(jù)與實(shí)測數(shù)據(jù)擬合

定產(chǎn)生產(chǎn)時，首先將要繪制曲線的無量綱井筒儲集系數(shù)、無量綱導(dǎo)流系數(shù)、裂縫條數(shù)、表皮系數(shù)和不對稱因子代入（24）式中，計(jì)算Laplace空間下壓力和時間數(shù)據(jù)，再通過Stehfest數(shù)值反演方法獲得實(shí)空間無量綱壓力曲線，然后結(jié)合實(shí)際的壓降或壓力恢復(fù)測試數(shù)據(jù)，繪制出實(shí)測壓降或壓力恢復(fù)測試數(shù)據(jù)曲線及其導(dǎo)數(shù)曲線，通過不斷調(diào)整試井曲線的基本參數(shù)，使實(shí)測曲線與理論典型曲線達(dá)到最佳匹配，從而獲得地層和裂縫的相關(guān)參數(shù)（表1）。

表1 M井裂縫擬合參數(shù)結(jié)果

5 結(jié)論

（1）利用點(diǎn)源函數(shù)基本理論，建立單條裂縫有限導(dǎo)流不對稱裂縫試井解釋模型，將本文的解析方法與Berumen數(shù)值差分方法進(jìn)行了對比驗(yàn)證，本文給出的解析方法是可行的。

（2）利用疊加原理建立水平井多段壓裂非常規(guī)裂縫試井解釋模型，通過積分變換獲得模型半解析解，利用Stehfest數(shù)值反演方法繪制井底壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線。

（3）多段壓裂非常規(guī)裂縫水平井與多段壓裂常規(guī)裂縫水平井存在較大的差異。不對稱因子越大，雙線性流階段結(jié)束的時間越早，當(dāng)裂縫不對稱因子為1時，不出現(xiàn)雙線性流階段；裂縫條數(shù)越多，系統(tǒng)徑向流階段的井底壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線幅度越低；裂縫分布越不對稱，第二線性流階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線斜率為0.50的特征越不明顯；裂縫導(dǎo)流系數(shù)越大，雙線性流階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線斜率為0.25的特征越不明顯。

符號注釋

A（i，j）——第 i條裂縫，第j個網(wǎng)格所對應(yīng)的系數(shù)；

bf——裂縫寬度，m；

bfD——無量綱裂縫寬度；

C——井筒儲集系數(shù)，m3/MPa；

CD——無量綱井筒儲集系數(shù)；

CfD——無量綱導(dǎo)流系數(shù)；

Ct——綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；

h——儲集層厚度，m；

K——儲集層滲透率，mD；

K0——零階第二類Bessel函數(shù)；

Kf——裂縫滲透率，mD；

Lf——裂縫長度，m；

Lref——參考長度，本文取裂縫長度的一半，m；

M——裂縫條數(shù)，條；

N(xmD,α)——Green函數(shù)；

Ni——第i條裂縫網(wǎng)格數(shù)，個；

pa——任意位置地層壓力，MPa；

paD——任意位置無量綱地層壓力；

pˉaD——Laplace空間下任意位置無量綱地層壓力；

pˉD——沒有考慮井儲及表皮效應(yīng)的無量綱井底壓力；

pf——裂縫壓力，MPa；

pfD——無量綱裂縫壓力；

pˉfD——Laplace空間下無量綱裂縫壓力；

pˉfDavg——Laplace空間下無量綱裂縫平均壓力；

pi——原始地層壓力，MPa；

pˉwD——考慮井儲及表皮效應(yīng)的無量綱井底壓力；

q——單位長度裂縫流量，m2/d；

qD——無量綱單位長度裂縫流量；

qˉD——Laplace空間下無量綱單位長度裂縫流量；

qˉD(i,j)——Laplace空間下第i條裂縫，第j個網(wǎng)格無量綱單位長度裂縫流量；

Q——井底產(chǎn)量，m3/d；

s——Laplace變量；

S——表皮系數(shù)；

t——生產(chǎn)時間，d；

tD——無量綱生產(chǎn)時間；

x，y——分別為直角坐標(biāo)系x軸和y軸；

xasmy——井相對于裂縫不對稱位置，m；

xD，yD——分別為無量綱直角坐標(biāo)系x軸和y軸；

xw，yw——分別為井筒中心到直角坐標(biāo)系原點(diǎn)x軸和y軸方向的位移，m；

xwD，ywD——分別為井筒中心到直角坐標(biāo)系原點(diǎn)x軸和y軸方向的無量綱位移；

xD(i，j+1)，xD(i，j)——分別為沿著 x軸方向第 i條裂縫第 j個網(wǎng)格起點(diǎn)和終點(diǎn)無量綱坐標(biāo)；

xmD(i，j)，ymD(i，j)——分別為沿著 x軸和 y軸方向第 i條裂縫第 j個網(wǎng)格中點(diǎn)無量綱坐標(biāo)；

ywD(i,j)——第i條裂縫與井筒交點(diǎn)無量綱位置；

α——積分變量；

δ——Dirc函數(shù)；

θ——不對稱因子；

μ——流體黏度，mPa·s；

?——孔隙度，f；

ΔxDi——第i條裂縫網(wǎng)格無量綱步長。

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