劉 偉，陳科全，劉玉印，田宗忠

(1.重慶交通大學交通運輸學院，重慶400074;2.重慶市公安局交通管理局，重慶400054；3.內華達大學里諾分校，里諾89557，內華達州，美國)

0 引言

交通網(wǎng)絡的級聯(lián)失效源自于基礎路網(wǎng)中1個節(jié)點或者1個路段，受到外部影響或內部事故造成擁堵后，導致其他路段和節(jié)點相繼失效，引發(fā)連鎖效應.隨著城市的快速發(fā)展及交通需求的迅猛增長，路網(wǎng)中發(fā)生突發(fā)性擁堵后，級聯(lián)失效程度越來越嚴重.為了降低突發(fā)性事件給交通帶來的影響，有必要研究不同交通環(huán)境下，路網(wǎng)中哪條路段發(fā)生突發(fā)性擁堵后的連鎖反應對路網(wǎng)影響最大，這是建立管理方法和維持網(wǎng)絡平衡的前提條件.

通過分析現(xiàn)有的研究可以發(fā)現(xiàn)，級聯(lián)失效理論在電力[1]和信息網(wǎng)絡[2]方面研究成果較多.Chen等[3]的研究表明復雜網(wǎng)絡的可控性取決于級聯(lián)失效過程中邊崩潰的條數(shù)；Guan等[4]從初始荷載和容量限制的角度，認為在這兩者的參數(shù)服從韋伯分布時，網(wǎng)絡的級聯(lián)失效比例優(yōu)于其他拓撲結構.基于其他實際網(wǎng)絡或者不同網(wǎng)絡結構[5]進行的理論研究與交通領域最大的區(qū)別在于，城市路網(wǎng)中的“流動介質”為具有思考和推理的出行者，因此失效過程更復雜，給交通網(wǎng)絡帶來的交通擁堵問題甚至會引發(fā)區(qū)域性的崩潰[6].Zhang等[7]評價了不同因素在交通網(wǎng)絡級聯(lián)失效過程中的重要性，Qian等[8]具體的分析了交通擁堵的延遲性與自恢復性對級聯(lián)失效的影響.Wu等[9]采用用戶均衡模型對初始荷載和每一次的負載重分布進行流量加載.

與現(xiàn)階段研究中采用介數(shù)為對象進行負載重新分配不同，王建偉等[10]認為以介數(shù)進行重新分配，計算復雜，因此提出了以節(jié)點度為對象的分配方式；李從東等[11]的研究表明，靜態(tài)的重新分配會導致?lián)矶卤痪植繑U大，提出了考慮節(jié)點位置與節(jié)點的負載處理能力的動態(tài)分配策略.Zhang等[12]以動態(tài)重分配的方式，研究了多交通網(wǎng)絡的耦合作用.結合出行網(wǎng)絡給負載分配帶來的影響，劉新全等[13]通過設置貝葉斯推理考慮了駕駛員在面對失效路段后的負載分配.

為了探討城市路網(wǎng)在遭遇突發(fā)事件后的級聯(lián)失效過程，現(xiàn)狀的研究仍需進一步考慮幾個問題：由于出行網(wǎng)絡的特殊性，流量傳播方式會隨著失效路段持續(xù)時間而改變，這對明確事故隨時間變化給路網(wǎng)帶來的破壞程度有重要的貢獻；負載重新分配方式較少的考慮出現(xiàn)失效邊后，出行者的駕駛心理和駕駛行為，這對級聯(lián)失效過程在交通領域的應用有重要的作用；同時交通流不同于其他網(wǎng)絡中的介質，交通流的加載具有延遲性.

為此，本文構建的城市路網(wǎng)級聯(lián)失效模型，考慮了出行者在事故持續(xù)一定時間下的非理性路徑選擇行為，對級聯(lián)失效中的負載重分配機制進行了改進，構建了基于前景理論的路徑選擇模型.針對交通流加載的延誤特性，基于延誤時間探討了事故持續(xù)時間與路網(wǎng)崩潰大小的關系，這對定量分析突發(fā)事件的影響程度及關鍵邊的保護有重要理論意義.

1 城市路網(wǎng)級聯(lián)失效分析

1.1 初始負載的定義

現(xiàn)有的初始負載設定方法認為路段或節(jié)點的介數(shù)越大，則初始荷載越高.但在實際路網(wǎng)中，初始荷載受到交通出行網(wǎng)絡與基礎路網(wǎng)的耦合作用[14]，路網(wǎng)上每增加一部分流量，路網(wǎng)上路段的阻抗會受到影響，因此本文對初始OD需求采用多路徑概率下增量加載的方法得到初始荷載.

引入Logit模型描述路徑選擇的客觀概率，t時刻OD對r-s中路徑i的效用函數(shù)為

式中：θ表示出行者對路網(wǎng)熟悉程度，取值范圍0～1；表示感知誤差，根據(jù)效用理論，服從Gumbel分布表示OD對r-s間第i條有效路徑的路阻，由路徑中各路段j的阻抗累加得到，采用BPR函數(shù)標定，即

式中：t0表示零流阻抗表示路徑i上路段j在t時刻的流量表示路徑i上路段j的容量；α和β參數(shù)通常取值0.15,4；n表示路徑i中的總路段數(shù).

則t時刻r-s間路徑i的客觀概率Prsi(t)為

將OD對r-s間的初始流量Trs劃分為N份，每次加載1份流量后，重新更新式(3)，完成N份疊加后得到路網(wǎng)中OD對r-s間路徑i上路段j的初始流量

1.2 負載重分配方式及失效時間設置

邊失效后的交通流分配策略需要考慮駕駛員的出行路線、出行行為及失效邊的地理位置等因素.同時，由于交通系統(tǒng)的特殊性，根據(jù)在失效時間很短的情況下，大部分駕駛員會選擇不改變出行行為，而在原路徑等待這一事實[15]，定義td為失效時間，則t時刻第i條路徑上各路段j(j=1,2,…,n)的負載量可表示為

進一步考慮負載加載方式，在交通網(wǎng)路的級聯(lián)失效過程中，失效后的流量加載不可能一次性加載到整個網(wǎng)絡，加載過程存在延誤現(xiàn)象，在本文中定義每個路段j的傳播延誤為初始荷載加載后的阻抗值因此在有效路徑i中，隨流動方向，第j條邊的流量加載時間為

在失效時間td內，通過路段的累計負載與容量的比值Ωx(t)，衡量m邊失效后，是否會觸發(fā)連鎖失效.

式中：Cx表示路段x的容量；S表示路網(wǎng)路段集合.當?x∈S，且Ωx(t)＜1時，失效邊不會觸發(fā)相繼失效；當?x∈S，且Ωx(t)＞1時，失效邊則會觸發(fā)相繼失效，引起路網(wǎng)中負載的重新分配.

1.3 路段重要性評價指標

為了定量衡量級聯(lián)失效給路網(wǎng)帶來的損害程度，引入VSm來表示某邊失效后帶來的區(qū)域路網(wǎng)中失效路段的相對大小.

式中：Km表示m邊失效后導致的其他邊失效數(shù)量，0≤Km≤length(S).

2 基于前景理論的負載重新分配策略及流程

2.1 動態(tài)價值函數(shù)

以路阻作為出行者判斷路徑選擇效用的指標，則第i條可行路徑在t時刻的效用為為了便于效用的對比，設定失效邊的上游節(jié)點m`到終點s的參考點為其中Q m`表示從起點到上游節(jié)點m`的行程時間；Qrs表示出行者位于OD對r-s路徑上的行程時間平均值.路段發(fā)生交通事故后，隨后出行者只會得到損失，而不會產(chǎn)生收益，只采用Tversky提出的主觀效用函數(shù)Vi(t)中損失的部分[16].

式中：χ表示損失厭惡系數(shù)，一般取值0.88；λ表示出行者對損失避免大于對相同收益的偏好，經(jīng)標定選取為2.25時與經(jīng)驗數(shù)據(jù)較為一致[16].

2.2 主觀概率函數(shù)

發(fā)生交通擁堵后，主觀因素對客觀概率有明顯的影響，根據(jù)Kahneman的研究[16]，對損失時路徑的主觀選擇概率定義為

式中：η為面臨損失時的參數(shù)，表明決策者具有低估高概率事件的特點，采用文獻[16]給出的參數(shù)標定值，η=0.69.綜上，t時刻OD對r-s上出行者選擇路徑的前景值為相應的基于前景值的t時刻路徑選擇概率為

3 模型演化求解算法

本文采用MSA(Method of Successive Average)算法求解級聯(lián)失效中的負載重新分配問題.在級聯(lián)失效過程中，以一定步長對負載進行重新分配直到失效結束.如下的算法步驟可以用來描述某邊失效后對整個路網(wǎng)的影響.

Step 1路徑搜索.將原始OD對之間的所有帶權可行路徑存儲到路徑集合Lrs.

Step 2原始OD流量的演化.對OD對之間的多條出行路徑設置概率值prsi，采用多路徑概率下的增量加載的方法，得到網(wǎng)絡中各路段的初始流量

Step 3確定失效邊位置，失效時間td，以及所有替代路徑集合Es.設置t=1，分別計算初始時刻各路段阻抗和路徑走行時間Qrs.

Step 4更新后續(xù)車輛路徑選擇概率.根據(jù)式(10)確定各條路徑的選擇概率

Step 5更新路徑流量.所有車輛根據(jù)步長t與[Tci1,Tci2,…,Tcij]集合中元素大小的關系，完成流量疊加

Step 6若t≥td，則運行結束，輸出失效邊集合；若t＜td，則跳轉Step7.

Step 7如果路網(wǎng)中每邊均不存在Ωx(t)＞1，則令t=t+1，返回Step3；如果存在邊Y的比值ΩY(t)＞1，令t=t+1，返回Step3的同時，邊Y重復Step1～7.

4 算例分析

4.1 實驗路網(wǎng)的基本屬性與定義

選取重慶市某中心區(qū)域路網(wǎng)作為實驗網(wǎng)絡，建立了網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)N=18，路段數(shù)S=27，平均度為2.5的道路基礎網(wǎng)絡，如圖1所示.

路網(wǎng)中設定4個OD為N1-N17，N17-N1，N2-N16，N18-N2，其流量分別為 1 000p，500p，1 000p，500p，p＞0.實際路網(wǎng)中存在雙向通行道路，突發(fā)事件發(fā)生在路段的某一方向后，可能導致該路段的反方向失效，如圖2所示.

圖1 實際道路網(wǎng)絡結構圖Fig.1 The structure of real road network

圖2 考慮路段方向下的連鎖失效過程Fig.2 The process of cascading failure considering the direction of road

圖2中，與實際路網(wǎng)中的S15，S16，S19等面臨的情況相似，因此定義表示N1，N2分別到N17和N16的路段為正方向表示N17和N16分別到N1，N2的路段為反方向.根據(jù)Step1和Step2，以400為增量最終演化為路網(wǎng)各邊的初始負載Vi.當p=4時，路網(wǎng)中各邊基本屬性如表1所示.

表1 路網(wǎng)中各路段的基本屬性Table 1 The essential characteristic of sections in the network

4.2 仿真分析

對模型以30 s為步長進行仿真分析，得到該網(wǎng)絡在p=4和p=5下，駕駛員在面臨失效時間td∈(1:2:50)時的路徑改變概率變化函數(shù)，如圖3所示.

圖3 i+路段的負載重新分配概率(α=0,1,2,3)Fig.3 The load redistribute probability ofi+(α=0,1,2,3)

由圖3可知，在替代路段為0條的情況下，駕駛員的路徑改變概率為0，如實例中的S12、S15和S26等.在替代路徑為1條時，駕駛員在突發(fā)事件的持續(xù)時間較短的情況下(td＜10min)，60%左右的駕駛員會保持原出行路徑，因此在級聯(lián)失效過程中第1條失效邊有可能不是替代路段而是原路段，如實例中的S8、S13和S9等；突發(fā)事件的持續(xù)時間在10～20 min時，隨著時間的增加，出行者的路徑改變概率增加較快，改變后所帶來的主觀收益值要大于按原路徑行駛，路段失效后的負載流量大部分在替代路徑上；失效時間大于20 min后，駕駛員選擇改變出行路徑的概率值維持在90%左右.失效路徑的替代路段為2和3條的情況下，即使在失效時間小于10 min時，出行者的路徑改變的平均概率值替代路徑為0和1條.模擬路網(wǎng)在流量加載系數(shù)分別為p=4(與實際情況相符)及p=5(總體需求大于平均值)時，不同失效時間下路段失效演變過程，如圖4所示.

圖4中的路段均為正向路段，其中單行路段包含在正向路段中，從圖中可以看出隨失效時間的增加，網(wǎng)絡中各邊的震蕩情況越嚴重.在td=10 min,p=4時，路網(wǎng)中的值最大為0.111，但隨著初始交通量的增加，td=10min，p=5時，由于路網(wǎng)間各路段的相互作用關系的VS值均為0.111，具有相同的重要性；隨著失效時間增加到td=30 min，p=4時，路網(wǎng)中VS最大值但在初始流量倍數(shù)p=5時，由于流量的增加為最關鍵邊，單獨分析S1+7在td=30 min時的失效過程為

表2 關鍵路段與失效時間和流量倍數(shù)的關系Table 2 The relationship between the critical road and failure time under different flow

圖4 不同失效時間下2種初始流量加載與各邊失效規(guī)模的關系Fig.4 The relationship between the scale of failure and initial flow under different failure time

從表2中可以看出，在不同失效時間和初始流量下，網(wǎng)絡中最關鍵邊可能不同，因此需要合理的分析突發(fā)事件的持續(xù)時間，來采取事故控制措施.在失效時間大于40 min的情況下為此路網(wǎng)中的最重要邊，在遭遇交通事件后，給路網(wǎng)帶來的失效比最大，詳細分析不同失效時間下，由引起的級聯(lián)失效過程，如表3所示.

表3 路段導致的失效程度分析Table 3 The analysis of failure degree caused by

表3 路段導致的失效程度分析Table 3 The analysis of failure degree caused by

失時效間持/m續(xù)in級聯(lián)失效過程（失效邊發(fā)生的時刻）VS+22 10S+22→S+21(5)→S1+9(8)0.11 20S+22→S+21(3)→S1+9(5)→S1+5(14)→S1-9(17)0.19 30S+22→S+21(2)→S1+9(4)→S1-9(11)→S1+5(13)→S-22(20)→S1-5(26)→S1-6(29)0.29 40S+22→S+21(2)→S1+9(4)→S1-9(11)→S1+5(13)→S-22(20)→S1-5(26)→0.48 S1-6(29)→S1+0(31)→S+24(32)→S1+7(36)→S-26(38)→S1+3(40)

從表3中可以看出，在不同的失效時間作用下，第1次連鎖反應發(fā)生的時間有所不同.在失效時間大于20 min以后，級聯(lián)失效速度明顯加快，主要是由于S22和S15的正向和反向均失效，這導致了最初的失效不僅會影響正向的出行需求，隨著失效時間的增加還會影響反向的出行需求，形成了雙向擴散.

5 結論

本文將級聯(lián)失效運用到城市道路網(wǎng)時，結合了出行需求網(wǎng)絡的特征，分析了駕駛員在面臨失效路段時的主觀決策，改進了失效后的負載重新分配和加載機制，從失效持續(xù)時間的角度，定量的研究了路網(wǎng)中各邊在發(fā)生事故后，對路網(wǎng)的影響程度.研究結果表明，考慮失效時間的級聯(lián)失效過程更加符合實際情況，同時明確了不同時間層面下路網(wǎng)中邊的重要程度及失效過程，特別是在路段某方向失效后，如果不及時的進行突發(fā)事件處理或者交通流的合理誘導，會導致路段的反方向運輸功能中斷，此后連鎖反應的速度迅速增大.這對制定合理的事故管理措施有明顯的優(yōu)勢.進一步工作的重點應在于討論以下幾個問題：在出行需求動態(tài)變化時，如何構建級聯(lián)失效模型；結合真實的出行需求網(wǎng)絡，在一定的優(yōu)化目標下，研究事故作用下的路網(wǎng)交通流的控制措施，提高路網(wǎng)的魯棒性.

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