余孝軍，高世玉，羅玲玲

(貴州財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)統(tǒng)學(xué)院，貴陽(yáng)550025)

0 引言

隨著對(duì)混合交通出行者的出行行為分析及交通均衡下效率損失的深入研究，學(xué)者們對(duì)彈性需求下混合交通均衡的效率損失進(jìn)行了探討.Karakostas等[1]研究了彈性需求下多OD對(duì)異質(zhì)自私用戶的效率損失.Yu等[2]對(duì)彈性需求多用戶類交通均衡分配的效率損失進(jìn)行了解析推導(dǎo)，分別得到了基于時(shí)間度量準(zhǔn)則和費(fèi)用度量準(zhǔn)則下的效率損失上界及其影響因素.Feng等[3]首先界定了彈性需求下原子可分自私用戶交通均衡分配的效率損失上界，然后證明了彈性需求下原子用戶的一般交通網(wǎng)絡(luò)中存在著最優(yōu)收費(fèi)，并論證了收費(fèi)機(jī)制能增加仿射路段出行成本下的社會(huì)福利.福利經(jīng)濟(jì)學(xué)認(rèn)為對(duì)擁擠道路收費(fèi)所得到的收費(fèi)機(jī)制下的均衡就是系統(tǒng)最優(yōu)，不同類型收費(fèi)機(jī)制對(duì)交通網(wǎng)絡(luò)效率損失的影響是一個(gè)重要的研究方向.Karakostas等[4]證明了當(dāng)收費(fèi)是系統(tǒng)總成本一部分時(shí)，固定需求交通均衡分配的效率損失從4/3降低到5/4.Yang等[5]對(duì)收費(fèi)機(jī)制下固定需求和彈性需求的效率損失上界進(jìn)行了分析.學(xué)者們[6-8]對(duì)不同交通均衡在收費(fèi)機(jī)制下的效率損失進(jìn)行了研究.

由于出行者收入水平和出行時(shí)間價(jià)值系數(shù)等方面存在差異，在實(shí)際交通出行中，出行者會(huì)根據(jù)自己的社會(huì)經(jīng)濟(jì)屬性不同，綜合考慮各種因素，依照自身的出行決策準(zhǔn)則選擇出行路徑.在多用戶類交通網(wǎng)絡(luò)中存在著基于時(shí)間度量的出行決策準(zhǔn)則和基于費(fèi)用度量的出行決策準(zhǔn)則，由于不同類別的出行者選擇的出行決策準(zhǔn)則并不一致，因而交通流量的分布與出行者的類別緊密相連.本文首先定義了收費(fèi)情形下多用戶類彈性需求交通均衡分配的效率損失.其次，分別建立收費(fèi)情形下基于時(shí)間度量出行決策準(zhǔn)則和費(fèi)用度量出行決策準(zhǔn)則等價(jià)的變分不等式模型.再次，探討均衡行為下基于這兩種不同出行決策準(zhǔn)則的效率損失上界并分析影響效率損失的關(guān)鍵因素.最后，給出了一個(gè)簡(jiǎn)單算例.

1 收費(fèi)情形下多用戶類彈性需求交通均衡分配模型

1.1 符號(hào)定義

G=(N,A)表示城市交通網(wǎng)絡(luò)的有向圖，其中N表示所有節(jié)點(diǎn)集合，A表示所有路段集合；令R表示所有路徑的集合，W表示所有OD對(duì)路段集合，Rw表示連接OD對(duì)w∈W的所有路徑集合；交通網(wǎng)絡(luò)上共有M類出行者，βm表示第m類用戶的出行時(shí)間價(jià)值系數(shù)，m=1,2,…,M；qwm表示OD對(duì)w∈W上的第m類出行者的流量；frwm表示路徑r∈Rw上第m類出行者的流量；vam表示路段a上第m類出行者的流量；va表示路段a上的總流量；δarw表示路段a在路徑r∈Rw上時(shí)為1，否則為0；Λrw表示路徑r∈Rw上時(shí)為1，否則為0；路段a上的出行時(shí)間成本函數(shù)ta(va)是可分離函數(shù)，且為連續(xù)可微單調(diào)遞增的凸函數(shù)；crwm表示第m類出行者在路徑r∈Rw上的出行成本；cam表示第m類出行者在路段a上的出行成本；Bwm(qwm)表示第m類出行者在OD對(duì)w∈W的逆需求函數(shù)，是非增函數(shù)；τa表示路段a上的收費(fèi)；路段流量向量記為v；路徑流量向量記為f；需求向量記為q.

交通網(wǎng)絡(luò)中的流量守恒和非約束條件為

路徑的出行成本與路段出行成本存在式(6)的關(guān)系.

式(1)～式(5)可以寫成矩陣形式Ω=表示路段路徑關(guān)聯(lián)矩陣，Λ=[Λrw]表示OD對(duì)路徑關(guān)聯(lián)矩陣.顯然Ω是閉凸集.

1.2 收費(fèi)情形下多用戶彈性需求交通均衡分配模型

根據(jù)Nagurney和Dong的研究，可知彈性需求下多用戶類交通均衡分配問(wèn)題等價(jià)于以下的變分不等式模型.

引理1多用戶類彈性需求交通網(wǎng)絡(luò)均衡分配問(wèn)題的解等價(jià)于求解使得任意的(ν,q)∈Ω，變分不等式式(7)成立[9].

在收費(fèi)機(jī)制下，路段上的總出行成本由兩部分構(gòu)成，一部分是路段上的實(shí)際出行成本，另一部分是路段收費(fèi)τa.因此，在時(shí)間度量出行決策準(zhǔn)則下第m類出行者在路段a的等價(jià)出行時(shí)間成本可表示為

在費(fèi)用度量出行決策準(zhǔn)則下的第m類出行者在路段a的等價(jià)出行費(fèi)用成本可表示為

將式(8)和式(9)分別帶入式(7)，得到在收費(fèi)情形下基于時(shí)間度量出行決策準(zhǔn)則和費(fèi)用度量出行決策準(zhǔn)則的彈性需求多用戶類交通均衡分配模型分別為

定義ρ為社會(huì)總剩余最大值與均衡時(shí)社會(huì)總剩余的比值，表示用戶均衡下的效率損失，顯然ρ值越小，效率損失越小，用戶均衡與系統(tǒng)最優(yōu)時(shí)的差異越小.

2 收費(fèi)情形下多用戶類彈性需求交通均衡分配的效率損失

2.1 時(shí)間度量出行決策準(zhǔn)則下的效率損失

時(shí)間度量出行決策準(zhǔn)則下的社會(huì)總收益表示為

所以有

定義時(shí)間度量出行決策準(zhǔn)則下的彈性需求網(wǎng)絡(luò)中多用戶類交通均衡分配的效率損失為

引理2如果Bwm(qwm)是qwm的非增函數(shù)，則

證明由Bwm(qwm)是qwm的非增函數(shù)，知當(dāng)變形后即為對(duì)所有的OD對(duì)及所有的出行者m=1,…,M求和，便得式 (16).同理可得，當(dāng)?m=1,…,M時(shí)，式(16)成立.

令η表示可分離的路段出行時(shí)間成本函數(shù)類，表示基于時(shí)間度量出行決策準(zhǔn)則用戶均衡時(shí)社會(huì)總收益與社會(huì)總剩余之比.定義

對(duì)每一個(gè)路段出行時(shí)間函數(shù)ta=ta(za)和非負(fù)路段流量za≥0，對(duì)?a∈A,如果定義

對(duì)?a∈A，如果定義

定理1設(shè)表示單調(diào)遞增可微凸函數(shù)，τ表示路段收費(fèi)向量表示收費(fèi)情形下基于時(shí)間度量出行決策準(zhǔn)則的多用戶類彈性需求交通均衡時(shí)的路段流量向量，v?表示基于時(shí)間度量出行決策準(zhǔn)則的社會(huì)總剩余最大時(shí)的路段流量向量分別表示在時(shí)間度量出行決策準(zhǔn)則下用戶均衡時(shí)的社會(huì)總剩余和社會(huì)總剩余最大值，則有

證明因?yàn)槭怯脩艟饨?，即為變分不等?10)的解，所以有

將式(16)帶入上式有

化簡(jiǎn)之后可以得到

由定理1可知，在收費(fèi)情形下基于時(shí)間度量出行決策準(zhǔn)則的彈性需求網(wǎng)絡(luò)中多用戶類混合交通均衡的效率損失上界與參數(shù)有關(guān).γ t(η,β,τ)與路段出行時(shí)間函數(shù)ta(va)、路段收費(fèi)向量τ和出行時(shí)間價(jià)值系數(shù)β有關(guān)，γ t(η,β,τ)的值越大，收費(fèi)情形下的效率損失上界也將越大與時(shí)間度量出行決策準(zhǔn)則下用戶均衡時(shí)的社會(huì)總收益和社會(huì)總剩余有關(guān)，收費(fèi)情形下基于時(shí)間度量出行決策準(zhǔn)則的效率損失上界隨著的增加而增加.

2.2 費(fèi)用度量出行決策準(zhǔn)則下的效率損失

定義費(fèi)用度量出行決策準(zhǔn)則下彈性需求網(wǎng)絡(luò)中多用戶類交通均衡分配的效率損失為

引理3如果Bwm(qwm)是qwm的非增函數(shù)，則

證明因?yàn)锽wm(qwm)是qwm的非增函數(shù)，所以有

最后對(duì)所有的OD對(duì)及所有的出行者m=1,…,M求和，便得式(26).同理可得，當(dāng)時(shí)，式(26)成立.

令路段出行成本函數(shù)ta=ta(za)，路段流量za≥0，假設(shè)路網(wǎng)中滿足的路段a∈A1，其他路段上有定義式(29)～式(31)參數(shù).

所以

定理2設(shè)表示單調(diào)遞增可微凸函數(shù)，τ表示路段收費(fèi)向量表示收費(fèi)情形下基于費(fèi)用度量出行決策準(zhǔn)則的多用戶類彈性需求交通均衡時(shí)的路段流量向量，v?表示基于費(fèi)用度量出行決策準(zhǔn)則的社會(huì)總剩余最大時(shí)的路段流量向量分別表示在費(fèi)用度量出行決策準(zhǔn)則下用戶均衡時(shí)的社會(huì)總剩余和社會(huì)總剩余最大值.則有

證明因?yàn)槭鞘?11)的解，所以有

將式(26)帶入上式有

化簡(jiǎn)之后可以得到

由定理2可知，在收費(fèi)情形下基于費(fèi)用度量出行決策準(zhǔn)則的彈性需求網(wǎng)絡(luò)中多用戶類交通均衡分配的效率損失上界與參數(shù)有關(guān)與路段出行時(shí)間函數(shù)ta(va)、路段收費(fèi)向量τ和時(shí)間價(jià)值系數(shù)β有關(guān)的值越大，效率損失上界也將越大與費(fèi)用度量出行決策準(zhǔn)則下用戶均衡時(shí)的社會(huì)總收益、社會(huì)總剩余和系統(tǒng)最優(yōu)時(shí)的社會(huì)總收益有關(guān)，隨著收費(fèi)情形下的增加，基于費(fèi)用度量出行決策準(zhǔn)則的效率損失上界呈現(xiàn)遞增趨勢(shì).

3 算例計(jì)算

下面用1個(gè)簡(jiǎn)單例子進(jìn)行說(shuō)明，假設(shè)交通網(wǎng)絡(luò)是1個(gè)僅由2個(gè)節(jié)點(diǎn)和1個(gè)有向路段構(gòu)成的有向圖，如圖1所示，其中路段出行時(shí)間成本函數(shù)為ta(va)=va，收費(fèi)為τa=3，有兩類出行者，第1類出行者的時(shí)間價(jià)值系數(shù)為3.0元/min(用“1”表示)，第2類出行者的時(shí)間價(jià)值系數(shù)為1.0元/min(用“2”表示)，它們對(duì)應(yīng)的逆需求函數(shù)分別為：Bw11=30-qw11,Bw12=17-qw12.通過(guò)求解變分不等式式(10)和式(11)，可知它們的均衡解相等，即為

圖1 數(shù)值算例Fig.1 Numerical example

通過(guò)計(jì)算可得

求解式(14)可得時(shí)間度量準(zhǔn)則下的最優(yōu)解為

定理1顯然成立.

同理，可得費(fèi)用度量準(zhǔn)則下的最優(yōu)解為

因此，定理2顯然成立.

4 結(jié)論

在不同出行時(shí)間價(jià)值系數(shù)的用戶組成的交通網(wǎng)絡(luò)中，出行者的出行決策準(zhǔn)則可能影響路網(wǎng)的流量分布，從而導(dǎo)致路網(wǎng)不同的效率損失.本文研究了收費(fèi)情形下基于時(shí)間度量出行決策準(zhǔn)則和費(fèi)用度量出行決策準(zhǔn)則的彈性需求網(wǎng)絡(luò)中多用戶類交通均衡分配的效率損失上界值問(wèn)題，構(gòu)建了收費(fèi)情形下多用戶類彈性需求交通均衡分配的變分不等式模型，并運(yùn)用解析推導(dǎo)得到兩種不同出行決策準(zhǔn)則下的效率損失上界及其影響因素，討論了收費(fèi)情形下影響效率損失的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，算例表明了解析結(jié)果的有效性.

[1]KARAKOSTAS G,KOLLIOPOULOS S G.Edge pricing of multicommodity networks for selfish users with elastic demands[J].Algorithmica,2009,53(2):225-249.

[2]YU X J,WANG L L.On efficiency loss of multiclass traffic equilibrium assignment with elastic demand[J].Procedia-Social and Behavioral Sciences,2014(138):368-377.

[3]FENG Z Z,GAO Z Y,SUN H J.Bounding the inefficiency of atomic splittable selfish traffic equilibria with elastic demands[J].Transportation Research Part E,2014(63):31-43.

[4]KARAKOSTAS G,KOLLIOPOULOS S G.The efficiency of optimaltaxes[J].Lecture Notes in Computer Science,2005(3405):3-12.

[5]YANG H,XU W,HEYDECKER B.Bounding the efficiency of road pricing[J].Transportation Research Part E,2010,46(1):90-108.

[6]HAN D R,YUAN X M.Existence of anonymous link tolls for decentralizing an oligopolistic game and the efficiency analysis[J].Journal of Industrial and Management Optimization,2011,7(2):347-364.

[7]LIU T L,CHEN J,HUANG H J.Existence and efficiency of oligopoly equilbrium under toll and capacity comeptition[J].Transportation Research Part E,2011,47(6):908-919.

[8]張俊婷,周晶,陳星光,等.ATIS和道路收費(fèi)下的混合隨機(jī)用戶均衡的效率損失[J].運(yùn)籌與管理,2017,26(5):137-141.[ZHANG J T,ZHOU J,CHEN X G,et al.Bounding the inefficiency of stochastic user equilibrium under ATIS and road pricing[J].Operations Research and Management Science,2017,26(5):137-141.]

[9]NAGURNEY A,DONG J.A multiclass,multicriteria traffic network equilibrium model with elastic demand[J].Transportation Research Part B,2002(36):445-469.