胡 榮，陳 琳，張菲菲，朱佳琳

(南京航空航天大學(xué) 民航學(xué)院，南京211106)

0 引言

近年來，我國民航發(fā)展速度較快、發(fā)展成就顯著，“十二五”期間民航旅客周轉(zhuǎn)量年均增速達到12.4%，遠(yuǎn)高于同期7.8%的GDP增速.當(dāng)前，我國已成為全球第二大民航運輸市場.民航快速發(fā)展的同時，航空器消耗燃油而排放的CO2等溫室氣體總量也迅速上升，每年約占全球溫室氣體排放總量的2%～3%，政府間氣候變化專門委員會(IPCC)預(yù)測2020年這一比例將會提升到5%；如不采取任何減排措施，到2050年將高達15%.可見民航減排形勢趨緊、任務(wù)艱巨，國際民航組織(ICAO)、國際航空運輸協(xié)會(IATA)、歐盟(EU)等國際組織，中國、美國等國家都高度關(guān)注民航碳排放問題，提出了多種減排手段[1-2]：改進現(xiàn)有技術(shù)、提高飛機運營效率、改善基礎(chǔ)設(shè)施、實施市場經(jīng)濟手段等.

碳排放權(quán)交易作為減排的市場經(jīng)濟手段之一，很多組織與學(xué)者將其視為民航減排的有效途徑.歐盟碳排放交易體系(EU ETS)是當(dāng)前規(guī)模最大、最為成熟的碳交易體系.雖然由于美國、中國等國家的一致反對，歐盟并未在2012年將民航納入EU ETS，但民航的低碳發(fā)展是必然趨勢，諸如英國、澳大利亞、美國、新加坡等業(yè)已形成了碳交易市場.這促使碳排放權(quán)交易對航空運輸業(yè)的影響成為研究的熱點，學(xué)者們既研究了碳排放權(quán)交易政策對航空運輸業(yè)運營成本與經(jīng)營利潤、市場需求與運力供給等的宏觀影響，也分析了對具體航空公司航線調(diào)整、價格轉(zhuǎn)嫁、運營效率及市場收益等的微觀影響[3-5].同時，由于價格是市場競爭的核心，有關(guān)航空公司動態(tài)價格競爭也受到諸多學(xué)者的關(guān)注.很多學(xué)者研究了傳統(tǒng)收益定價、實時動態(tài)定價、不確定需求定價及航空聯(lián)盟定價等問題，并從競爭戰(zhàn)略、決策機制、航線類型等角度探討了航空公司動態(tài)價格競爭的復(fù)雜性問題[6-9].

縱觀現(xiàn)有國內(nèi)外文獻，相關(guān)研究已取得豐富成果，但如下內(nèi)容仍需加強：①有關(guān)碳排放權(quán)交易對航空公司市場競爭行為、競爭績效的影響有待進一步深入；②有關(guān)CO2排放強度對航空公司動態(tài)價格競爭復(fù)雜性的影響尚未見研究.同時，2013年我國已在北京、上海等7城市開展了碳交易試點，2017年有望將包括航空在內(nèi)的重點排放企業(yè)納入全國碳排放交易體系，因而加強上述研究，具有較重要的現(xiàn)實參考價值.

因此，本文在引入碳排放權(quán)交易機制的基礎(chǔ)上，構(gòu)建具有不同價格調(diào)整機制的航空公司動態(tài)價格競爭模型，運用非線性動力學(xué)理論，分析均衡點的存在性與穩(wěn)定性，深入研究CO2排放系數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定域、穩(wěn)定性和均衡結(jié)果等影響，并開展混沌控制研究，揭示CO2排放系數(shù)對價格競爭復(fù)雜性的重要影響.

1 基本模型

航空運輸市場是典型的寡頭壟斷市場，我國航空運輸市場主要被南航、國航等公司所占據(jù)，呈現(xiàn)典型的寡頭壟斷特征[10].不妨假定某航空運輸市場主要被2家航空公司所壟斷(分別稱為A1、A2)，并且2家公司都以利潤最大化制定市場競爭策略.航空公司Ai在時期t的機票價格為pi(t)(百元/人次)，旅客運輸量為qi(t)(萬人次)，其中i=1,2，t=1,2,…,下同.同時考慮到我國航空旅客需求彈性及收益管理應(yīng)用實際，采用平均價格定價理論[8-9]，則市場需求函數(shù)可表示為

式中：ai表示航空運輸市場對Ai的需求水平(萬人次)，ai＞ 0；bi表示價格敏感系數(shù)(萬人次2/百元)，bi＞ 0；θi為交叉價格敏感系數(shù)(萬人次2/百元)，亦稱為差異化系數(shù)，θi＞0；i,j=1,2,i≠j.一般而言，有0＜θi＜bi，這意味著某航空公司自身價格對市場需求的影響大于交叉價格的影響.考慮到航空公司間差異且不失一般性，令a1=a2，b1=b2，θ1≠θ2，則式(1)變化為

航空器在滑行、爬升、巡航及進近、著落等階段均需消耗燃油并排放CO2.為了使模型簡化且又能說明問題，本文不考慮運行環(huán)境(巡航高度、氣象條件等)、航線類型等因素對CO2排放的影響，認(rèn)為CO2排放量僅與旅客運輸量正相關(guān)[11].航空公司CO2排放及碳排放權(quán)交易滿足：

(1)CO2排放量與其運輸量qi線性相關(guān)，記為ki qi，ki＞ 0為航空公司Ai的 CO2排放系數(shù)(t/萬人次).航空公司可通過調(diào)整航線網(wǎng)絡(luò)、提升客座率等手段自行減排，Ai的自行減排量為di(t)，自行減排成本系數(shù)為ηi(ηi＞0)(百元/t)，則自行減排總成本為ηi di(百元).因而Ai的總 CO2排放量為ki qi-di.

(2)航空公司可免費獲得數(shù)量為y0(t)的初始碳排放量，則Ai需進行交易的碳排放量為y0-(ki qi-di)，碳排放權(quán)交易價格為p0(百元/t).當(dāng)y0-(ki qi-di)＞0時，表示Ai可出售剩余的碳排放量；反之，表示Ai需購買不足的碳排放量.

設(shè)航空公司的成本函數(shù)為ci qi(百元).則根據(jù)上述條件，航空公司在時期t的利潤函數(shù)為

對于任意時期t，對Πi(p1(t),p2(t))關(guān)于pi(t)求偏導(dǎo)，可得到Ai在當(dāng)期的邊際利潤為

令Ci=ci+p0ki，則式(4)表示為

因此，由式(5)可得到Ai的最優(yōu)均衡解為

在現(xiàn)實市場競爭中，考慮到市場信息不確定性、信息獲取能力限制等，航空公司無法獲取市場決策所需的“完全信息”，其決策不會是“完美決策”，體現(xiàn)出決策的“有限理性”：隨著價格競爭的進程按照一定的價格調(diào)整規(guī)則對自身價格進行動態(tài)調(diào)整直至競爭逐漸達到均衡狀態(tài).這類價格調(diào)整規(guī)則有多種類型，其中近視眼、自適應(yīng)調(diào)整規(guī)則是較常用的規(guī)則[9].不妨假設(shè)A1采用“近視眼”調(diào)整規(guī)則：在時期t，如果A1估計的邊際利潤是正(負(fù))的，則將提高(降低)第t+1期的價格，即

式中：α表示A1的市場價格調(diào)整速度，反映了A1對邊際利潤信號的反應(yīng)速度，α＞0.

A2采用自適應(yīng)調(diào)整機制：在時期t，A2基于本期市場競爭的實際價格與最優(yōu)均衡價格，采用線性調(diào)整方法對第t+1期的價格進行動態(tài)調(diào)整，即

式中：β表示A2的自適應(yīng)調(diào)整系數(shù)，反映了A2對本期實際價格的權(quán)重，β∈[0 ,1).

由式(7)和式(8)可得考慮碳排放權(quán)交易、具有不同價格調(diào)整規(guī)則的航空公司動態(tài)價格競爭模型為

2 均衡點與穩(wěn)定性

航空公司市場價格競爭的均衡結(jié)果非負(fù)時才有現(xiàn)實意義，故系統(tǒng)式(9)中，令pi(t+1)=pi(t),i=1,2，可得

顯然，E1是有界均衡點，而E*是Nash均衡點.下面研究這些均衡點的穩(wěn)定性.

首先，計算系統(tǒng)式(9)在任意一點的Jacobian矩陣.

則在E1處的Jacobian矩陣為

它的2個特征值為：λ1=β，λ2=1+由變量取值范圍可知，λ＜1、1λ2＞ 1，因此E1是不穩(wěn)定點.故有：

定理1系統(tǒng)式(9)的均衡點E1是不穩(wěn)定點.

在E*處的Jacobian矩陣為

矩陣J(E*)的特征方程為f(λ)=λ2-Tr(J(E*))λ+Det(J(E*))=0，其中Tr(J(E*))與Det(J(E*))分別表示矩陣J(E*)的跡和行列式，即其中，，故矩陣J(E*)具有實特征值.根據(jù)Jury條件可知，均衡點E*的穩(wěn)定域需滿足式(15).

由此，式(15)在平面(k1,k2)中定義了Nash均衡點E*的一個穩(wěn)定區(qū)域，即式(15)與坐標(biāo)軸k1＞0、k2＞0圍成的區(qū)域.故有：

定理2在式(15)定義的(k1,k2)區(qū)域內(nèi)，Nash均衡點E*是系統(tǒng)式(9)的穩(wěn)定點.

3 數(shù)值仿真

為深入考察CO2排放系數(shù)對系統(tǒng)行為的影響，本節(jié)將開展數(shù)值仿真研究.不妨令市場需求水平a=2.6，價格敏感系數(shù)b=1，單位旅客運輸量成本系數(shù)c1=0.4、c2=0.3，差異化系數(shù)θ1=0.6、θ2=0.5，價格調(diào)整速度α=0.25，自適應(yīng)調(diào)整系數(shù)β=0.3，CO2自行減排量d1=5、d2=6，自行減排成本系數(shù)η1=0.2、η2=0.1，初始碳排放量y0=30，碳排放權(quán)交易價格p0=0.2.

3.1 CO2排放系數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定域的影響

圖1描繪了參數(shù)取初始值時，由CO2排放系數(shù)k1,k2所決定的系統(tǒng)式(9)的穩(wěn)定域，即式(15)給定的穩(wěn)定范圍.從圖1與式(15)可知，在穩(wěn)定域斜邊上，k1與k2呈負(fù)線性相關(guān)，具體表達式為

這一負(fù)線性關(guān)系表明：為了維持系統(tǒng)的穩(wěn)定，某航空公司的CO2排放系數(shù)的取值范圍，會隨著競爭航空公司排放系數(shù)取值的減小而增大.說明通過鼓勵航空公司采取多種途徑降低排放強度，實現(xiàn)自行減排，可以有效提升市場競爭的穩(wěn)定性.

圖1 系統(tǒng)穩(wěn)定域范圍圖Fig.1 The stable region of system(9)

3.2 CO2排放系數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

圖2描繪了當(dāng)k2=10，其他參數(shù)取初始值時，系統(tǒng)式(9)隨k1變化而呈現(xiàn)的動態(tài)行為.從圖中可知，當(dāng)時，系統(tǒng)式(9)處于穩(wěn)定的均衡狀態(tài)；隨著k1的增大，系統(tǒng)將進入分岔狀態(tài)，而當(dāng)k1＞27.59時，將出現(xiàn)混沌狀態(tài).這說明CO2排放系數(shù)對系統(tǒng)式(9)的穩(wěn)定性有明顯影響，排放系數(shù)超出一定的范圍，將會導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定.

圖2 排放系數(shù)k1對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響圖Fig.2 The effect ofk1on system stability

3.3 CO2排放系數(shù)對系統(tǒng)均衡結(jié)果的影響

CO2排放系數(shù)還對系統(tǒng)競爭均衡結(jié)果有顯著影響.

從圖3(a)可知：

(1)隨著k1的增大，市場均衡價格p1和p2持續(xù)上升，說明航空公司由于自身排放帶來的成本上升最終在市場上體現(xiàn)為價格上漲，排放代價最終轉(zhuǎn)嫁給了旅客.

(2)p1較p2上漲速度更快、幅度更大，從最初p1＜p2轉(zhuǎn)變?yōu)楹髞韕1＞p2，使得A1喪失了市場價格優(yōu)勢，說明航空公司自身排放水平越高則對其市場競爭力越不利.

(3)當(dāng)k1值較大時(系統(tǒng)處于混沌狀態(tài))，p1、p2波動較大，難以準(zhǔn)確預(yù)測.

從圖3(b)可知：

(1)隨著k1的增大，市場均衡利潤π1逐漸降低，而π2卻持續(xù)上升，說明A1由于自身排放水平的增大，需投入更大成本自行減排或購買碳排放權(quán)，從而吞噬了其市場利潤；而A2卻可從中獲取“漁翁之利”，獲取更大的市場利潤.

(2)當(dāng)k1值較大時(系統(tǒng)處于混沌狀態(tài))，π1波動較大且有明顯的下降趨勢，而π2較為穩(wěn)定，說明由于k1取值較大而帶來的系統(tǒng)混沌對A1是不利的，因而A1有動機實施混沌控制.

圖3 排放系數(shù)k1對系統(tǒng)競爭結(jié)果影響圖Fig.3 The effect ofk1on competition results

3.4 CO2排放系數(shù)對系統(tǒng)復(fù)雜性的影響

在一定條件下，航空公司動態(tài)價格競爭會出現(xiàn)分岔、混沌等復(fù)雜的動力學(xué)現(xiàn)象.對初始條件的敏感依賴性就是系統(tǒng)混沌行為的特征之一.不妨令(p1,p2)的初始值分別(2,2.1)和(2.000 01,2.1).圖4描繪了價格p1在2組不同初始值下隨競爭周期t的時間歷程圖.

從圖4(a)可知，競爭初期2個價格時間序列沒有體現(xiàn)出太大的差異，但經(jīng)過一段競爭周期后，2個價格序列出現(xiàn)了顯著的差異.圖4(b)中2個價格序列差Δp1則更清楚地反映了這一變化趨勢.從圖4可以看出，初始價格的微小變動(變化率為5×10-6)都會對最終競爭結(jié)果帶來非常大的影響，呈現(xiàn)出直觀預(yù)知的復(fù)雜性.

上述分析可以看出CO2排放系數(shù)對航空公司動態(tài)價格競爭復(fù)雜性有顯著影響.類似地，可開展k2對航空公司動態(tài)價格競爭復(fù)雜性的分析，限于篇幅，本文不再贅述.當(dāng)排放系數(shù)取值超出穩(wěn)定域時，競爭將出現(xiàn)分岔、混沌等復(fù)雜現(xiàn)象.當(dāng)處于分岔、混沌狀態(tài)時，航空公司的市場決策難度加大、復(fù)雜性增高，市場競爭結(jié)果波動大、難預(yù)知，整個市場呈現(xiàn)不穩(wěn)定的發(fā)展態(tài)勢，這顯然不利于行業(yè)健康發(fā)展，勢必需要加強管控以維持市場的有序競爭.

圖4 p1對初始條件的敏感依賴性Fig.4 Sensitive dependence on initial conditions ofp1

4 混沌控制

由前文分析，有必要采取措施將市場競爭由混沌狀態(tài)恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài).混沌控制方法有很多種，其中延遲反饋控制法是一種操作方便且應(yīng)用廣泛的方法[7].為將系統(tǒng)穩(wěn)定在周期T的某條軌道上，延遲反饋控制法采用式(17)的控制信號.

式中：T為滯后時間長度；k為控制因子.

考慮到A1在混沌狀態(tài)下市場利潤明顯下降，其更具有實施混沌控制的內(nèi)在動力.故設(shè)A1采用延遲反饋控制法開展混沌控制.將式(17)代入到式(9)，并令滯后時間長度T=1，則可得到混沌控制系統(tǒng)式(18).

通過計算Jacobian矩陣及Jury條件即可求得控制因子k的取值范圍.

圖5給出了對圖4參數(shù)下的混沌控制效果.隨著控制因子k的取值不斷增大，系統(tǒng)式(9)由初期的混沌狀態(tài)逐漸穩(wěn)定到均衡狀態(tài).

圖5 延遲反饋混沌控制效果圖Fig.5 Diagram of time-delayed feedback control

圖6給出了當(dāng)k=0.4時，價格與平均利潤隨t的變化情況.在圖6(a)中，p1,p2價格波動幅度逐漸變窄，最終趨于穩(wěn)定，驗證了延遲反饋混沌控制法的有效性.圖6(b)給出了混沌控制前后A1的平均利潤變化情況：①控制后的平均利潤持續(xù)上升，且逐漸逼近市場最優(yōu)均衡利潤(用粗實線表示)；②控制前的平均利潤逐漸下降、持續(xù)波動，印證了混沌狀態(tài)下市場競爭無序、競爭績效降低、未來難以預(yù)期的結(jié)論；③除在競爭初期控制后平均利潤低于控制前平均利潤外，隨著競爭的持續(xù)，控制后平均利潤明顯高于控制前，反映了A1確實可以從混沌控制中獲利.

圖6 混沌控制下的競爭結(jié)果歷程圖Fig.6 Process diagram of time-delayed feedback control

5 結(jié)論

民航的碳排放問題日益受到社會與行業(yè)的關(guān)注.本文運用非線性動力學(xué)理論與博弈理論，建立了考慮碳排放權(quán)交易的航空公司動態(tài)價格競爭模型，通過理論分析與數(shù)值仿真深入研究了CO2排放系數(shù)對航空公司動態(tài)價格競爭的穩(wěn)定域、穩(wěn)定性和均衡結(jié)果等影響，并運用延遲反饋混沌控制法開展了混沌控制研究.

主要研究結(jié)果如下：

(1)CO2排放系數(shù)對航空公司動態(tài)價格競爭穩(wěn)定性有顯著影響.一旦排放系數(shù)超過某一臨界值，競爭將表現(xiàn)出分岔、混沌等復(fù)雜的動力學(xué)現(xiàn)象.

(2)分岔或混沌的系統(tǒng)并非對市場中所有航空公司都是不利的，某些航空公司可以從中獲利，關(guān)鍵看系統(tǒng)波動是由哪家航空公司引起的.

(3)通過對初始條件敏感依賴性的分析可知，陷入混沌的航空公司動態(tài)價格競爭具有明顯的系統(tǒng)復(fù)雜性特征.

(4)只要選取合適的控制因子，延遲反饋控制法可對陷入混沌的航空公司動態(tài)價格競爭模型實施有效的混沌控制.

結(jié)合上述研究結(jié)果，有如下建議：

(1)航空公司積極施行諸如運營低排放機型、使用生物燃油等減排措施，降低單位旅客的CO2排放強度，以維護市場的有序競爭、提升自身市場競爭績效.

(2)航空公司加強市場信息的收集、整合，優(yōu)化市場決策機制、提升企業(yè)決策水平，可以盡快獲取市場最優(yōu)均衡利潤.

后續(xù)可對碳排放權(quán)交易模型進一步細(xì)化，研究碳排放權(quán)初始配額分配、碳排放權(quán)交易價格等對航空公司動態(tài)價格競爭復(fù)雜性的影響.

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