臧月進(jìn)，李仁俊，安國(guó)琛

(1.上海機(jī)電工程研究所， 上海 201109; 2.上海航天技術(shù)研究院北京研發(fā)中心， 北京 100081)

大氣層外攔截,由于遠(yuǎn)程變軌機(jī)動(dòng)不可避免的誤差，造成攔截器的實(shí)際飛行狀態(tài)和理想飛行狀態(tài)之間存在很大誤差，很難直接進(jìn)入末制導(dǎo)階段，因此在中段飛行需要引入制導(dǎo)過(guò)程[1]。中制導(dǎo)的作用是使攔截器在有限的時(shí)間內(nèi)運(yùn)行到中、末制導(dǎo)交班空域，使中制導(dǎo)結(jié)束后，目標(biāo)處于攔截器導(dǎo)引頭的視場(chǎng)范圍內(nèi)[2]，盡量減少燃料消耗，確保末制導(dǎo)順利進(jìn)行。

大氣層外飛行的彈道導(dǎo)彈或衛(wèi)星目標(biāo)在地心引力場(chǎng)慣性飛行，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以精確預(yù)測(cè)[3,4]，因此攔截中制導(dǎo)的終端約束不需要使攔截器與目標(biāo)之間的相對(duì)距離為零，而是以零控?cái)r截流形為目的，攔截器在中制導(dǎo)發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)后，在無(wú)控狀態(tài)下?lián)糁心繕?biāo)[5]，其優(yōu)點(diǎn)是快速消除預(yù)測(cè)零控脫靶量。

預(yù)測(cè)制導(dǎo)方法需要實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)脫靶時(shí)刻和零控脫靶量[6]，其精確值要用數(shù)值積分方法從當(dāng)前制導(dǎo)時(shí)刻t0精確積分到脫靶時(shí)刻tf才能獲得，每個(gè)制導(dǎo)周期都需重復(fù)計(jì)算。在攔截器的GNC計(jì)算機(jī)沒(méi)有能力實(shí)時(shí)通過(guò)數(shù)值積分獲得高精度的脫靶時(shí)刻和零控脫靶量的情況下[7]，尋找高精度、快速的tf和ZEM預(yù)測(cè)方法是預(yù)測(cè)制導(dǎo)方法獲得實(shí)際應(yīng)用的關(guān)鍵。

陸亞?wèn)|等[2]利用預(yù)測(cè)命中點(diǎn)制導(dǎo)方式給出了發(fā)動(dòng)機(jī)的定向策略，但計(jì)算量大不適合在線處理；胡正東等[5]基于預(yù)測(cè)制導(dǎo)方法獲得三維制導(dǎo)律，且指令解算快速但精度偏低。本文采用基于零控脫靶量尋求一種快速求解制導(dǎo)律的解析方式，并具備一定的精度。

1 零控脫靶量預(yù)測(cè)方法

對(duì)于大氣層外的非機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截問(wèn)題，可以忽略氣動(dòng)力的影響，零控脫靶量可以表述為攔截器與目標(biāo)在僅受引力場(chǎng)作用下被動(dòng)飛行至脫靶時(shí)，兩飛行器之間的最小相對(duì)位置矢量[8]。

大氣層外攔截器與目標(biāo)之間的被動(dòng)段運(yùn)動(dòng)方程可以表示為[9]

(1)

式(1)中:rI表示攔截器地心位置矢量的模值；rT表示目標(biāo)地心位置矢量的模值；μ表示地球引力常數(shù)。

目標(biāo)與攔截器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程可以表示為

(2)

式(2)右端表示兩飛行器之間的引力差，即

(3)

(4)

在兩飛行器之間的相對(duì)距離不是太大的情況下，可以假設(shè)RI≈RT，即假設(shè)被動(dòng)飛行過(guò)程中兩飛行器受到相同的引力影響，即

ΔG(t)=GT(t)-GI(t)=0

(5)

(6)

式(6)中：R0為t0時(shí)刻目標(biāo)相對(duì)于攔截器的相對(duì)位置矢量R0=R(t0)；V0為t0時(shí)刻目標(biāo)相對(duì)于攔截器的相對(duì)速度矢量V0=V(t0)。

根據(jù)脫靶量的定義[10]，ZEM發(fā)生時(shí)刻應(yīng)有

R(tf)·V(tf)=0

(7)

由此解出脫靶時(shí)刻和ZEM的預(yù)測(cè)值為

(8)

可看出零引力差模型預(yù)測(cè)脫靶時(shí)刻和零控脫靶量的計(jì)算公式是完全解析的。該零引力差模型雖然在開(kāi)始階段精度不高，但隨著制導(dǎo)過(guò)程的進(jìn)行，攔截器距目標(biāo)越來(lái)越近，其模型準(zhǔn)確度也隨之提高。

2 大氣層外攔截中制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

大氣層外的被動(dòng)飛行段，忽略氣動(dòng)力對(duì)飛行軌跡的影響，在地心赤道慣性坐標(biāo)系下目標(biāo)與攔截器的運(yùn)動(dòng)方程為

(9)

式(9)中，aC示攔截器上的推力加速度。

假設(shè)在攔截過(guò)程中，兩飛行器受到的引力加速度近似相等，即GT(t)≈GI(t)，則目標(biāo)與攔截器之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程表示為

(10)

設(shè)性能指標(biāo)為

(11)

式中tbo表示發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)時(shí)刻。

把上式寫(xiě)成狀態(tài)方程形式為

(12)

其中，

(13)

在攔截器發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)后的被動(dòng)飛行階段，零引力差模型下

(14)

上兩式可寫(xiě)成

X(tf)=P1X(tbo)

(15)

式(15)中：

經(jīng)整理，中制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問(wèn)題可以表述為：對(duì)于線性系統(tǒng)，已知當(dāng)前狀態(tài)X(to)，尋找控制量u(t)(t0≤t≤tb0)，使性能指標(biāo)極小。

(16)

用龐特里雅金極小值原理求解，選取哈密爾頓函數(shù)為

(17)

協(xié)態(tài)方程為

(18)

控制方程為

(19)

終端條件表示為

(20)

把式(15)代入橫截方程公式中得到橫截條件為

(21)

可解得

(22)

式(22)中：

(23)

由式(19)解出最優(yōu)控制為

(24)

代入到系統(tǒng)方程式(12)，得到

(25)

其解為

X(t)=Φx(t,t0)X(t0)-

(26)

令t=tbo，整理得到

Φx(tbo,t0)X(t0)

(27)

由式(27)解出X(tbo)，得到最優(yōu)制導(dǎo)律u(t)?；?jiǎn)后得到攔截器制導(dǎo)推力加速度為

(28)

式(28)中，定義剩余關(guān)機(jī)時(shí)間tb和被動(dòng)飛行時(shí)間為tδ

(29)

3 仿真算例

在軌道計(jì)算過(guò)程中，考慮地球非球形引力攝動(dòng)J2項(xiàng)，其他攝動(dòng)力暫不考慮。遠(yuǎn)程軌道機(jī)動(dòng)由Lambert算法規(guī)劃，由于導(dǎo)航誤差和推力器執(zhí)行誤差，假設(shè)遠(yuǎn)程變軌結(jié)束后的攔截彈和彈道導(dǎo)彈在J2000坐標(biāo)系下初始位置和速度如表1所示。

表1 攔截彈和彈道導(dǎo)彈標(biāo)稱初始軌道根數(shù)

根據(jù)以上初始條件，在不加制導(dǎo)律和增加本文制導(dǎo)律的情況下對(duì)比仿真如圖1所示。

圖1 無(wú)制導(dǎo)時(shí)彈目相對(duì)距離變化末端放大曲線

在不加中制導(dǎo)對(duì)遠(yuǎn)程變軌誤差進(jìn)行修正的情況下，產(chǎn)生的脫靶量約為18 km，圖1是彈目相對(duì)距離變化曲線的末端放大圖。

圖2和圖3分別為在J2000坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)軌跡和攔截彈在 J2000坐標(biāo)系下的相對(duì)位置分量。

圖2 兩飛行器在J2000坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)軌跡

利用中制導(dǎo)對(duì)遠(yuǎn)程變軌誤差進(jìn)行修正的情況下，產(chǎn)生的脫靶量約為1 km，如圖4所示，可見(jiàn)中制導(dǎo)可以有效修正遠(yuǎn)程變軌的誤差，保證中制導(dǎo)結(jié)束后目標(biāo)處于攔截器導(dǎo)引頭的視場(chǎng)范圍。

圖3 攔截彈在 J2000坐標(biāo)系下的相對(duì)位置分量

圖4 最優(yōu)制導(dǎo)時(shí)彈目相對(duì)距離變化末端放大曲線

因此，基于預(yù)測(cè)零控脫靶量的最優(yōu)制導(dǎo)方法具有很高的制導(dǎo)精度，能保證攔截器順利完成中、末制導(dǎo)交班。

針對(duì)本算例，分別采用文獻(xiàn)[5]的三維預(yù)測(cè)制導(dǎo)和本文最優(yōu)中制導(dǎo)離線仿真，其脫靶量和燃料消耗對(duì)比如表2所示。

表2 制導(dǎo)策略對(duì)比

從表2可見(jiàn)，采用文獻(xiàn)[5]的解析預(yù)測(cè)制導(dǎo)方法，對(duì)應(yīng)的零控脫靶量為5.4 km，明顯優(yōu)于無(wú)制導(dǎo)情況下的脫靶量，但相比本文的最優(yōu)制導(dǎo)精度差，且消耗燃料量略高于本文制導(dǎo)策略。

4 結(jié)論

本文基于預(yù)測(cè)零控脫靶量思想，提出了一種最優(yōu)控制的中制導(dǎo)段制導(dǎo)方法。該制導(dǎo)方法對(duì)大氣層外攔截具有較高的制導(dǎo)精度，滿足了進(jìn)入末制導(dǎo)段時(shí)的精度要求且具備在線計(jì)算的實(shí)時(shí)性，所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律有效。

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