李 梁，田文飚

(1.中國(guó)人民解放軍91872部隊(duì)，北京 102442；2.海軍航空大學(xué) 信號(hào)與信息處理山東省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 煙臺(tái) 264001)

0 引 言

目前，采集信號(hào)通常需要先用常規(guī)方式、固定分辨率高速采樣再壓縮[1]，但是，現(xiàn)有壓縮體制需要對(duì)所有采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，計(jì)算后舍棄絕大多數(shù)小系數(shù)，這樣做既浪費(fèi)傳感器資源，還增加了對(duì)編碼端計(jì)算能力的要求，因此不得不考慮如何充分挖掘這些有限采集資源的應(yīng)用潛力。

實(shí)際上，人們感興趣的信號(hào)往往具有稀疏性，壓縮感知(Compressive Sensing，CS)理論“少采樣、巧重構(gòu)”的思想[2-6]，為從相對(duì)稀少的觀測(cè)數(shù)據(jù)中重構(gòu)稀疏信號(hào)提供了可能，即以少量的觀測(cè)值對(duì)待重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行觀測(cè)，然后利用最優(yōu)化算法思想對(duì)其進(jìn)行重構(gòu)。

壓縮感知框架的實(shí)現(xiàn)高度依賴信號(hào)的稀疏性，而實(shí)際信號(hào)的稀疏性很可能未知甚至?xí)r變，且稀疏度很可能無(wú)法滿足CS重構(gòu)的要求。本文利用主成分分析[7-8](Principal Component Analysis,PCA)充分挖掘信號(hào)的稀疏性，提出主成分追蹤算法，在少量觀測(cè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上重構(gòu)原信號(hào)。

1 主成分分析壓縮感知

1.1 主成分分析

在自然環(huán)境中，許多信號(hào)具有直觀的稀疏性，如一段時(shí)間的氣溫、飛機(jī)巡航的速度等等。然而，目前并沒(méi)有相關(guān)研究論證這些信號(hào)究竟在哪些變換域上稀疏。本文從分析其主成分著手討論信號(hào)的稀疏性。實(shí)際上，可以證明任意信號(hào)在其理想PCA基下都是絕對(duì)稀疏的。

定理：對(duì)于信號(hào)x=[x1,x2,…,xN]T∈N，則x在PCA基上絕對(duì)稀疏，且稀疏度為1。

證明：設(shè)信號(hào)x的自相關(guān)矩陣Rx為：

Rx=xxT，

(1)

因?yàn)镽x為實(shí)對(duì)稱陣，故必存在正交陣U可將其特征值分解，使得：

UTRxU=Λ，

(2)

式中，Λ為非零特征值構(gòu)成的對(duì)角陣，U為對(duì)應(yīng)特征向量組成的正交陣，且UT=U-1。由于U是通過(guò)對(duì)信號(hào)x的自相關(guān)矩陣進(jìn)行特征值分解得到的，故稱其為信號(hào)x的PCA基。同時(shí)，信號(hào)x在其PCA基上的投影矢量α滿足:

α=UTx,

(3)

可以證明α是絕對(duì)稀疏的，且稀疏度為1。

由式(1)～式(3)得：

ααT=(UTx)(UTx)T=UTxxTU=UTRxU=Λ,

(4)

由Λ的對(duì)角陣特性可知：

(5)

式中，Λij代表Λ的第i行、第j列元素，αi為α的第i個(gè)元素。因此，由式(5)知，存在一個(gè)固定的j使得

(6)

換句話說(shuō)，α∈N當(dāng)中僅有一個(gè)元素非零，即α為一個(gè)稀疏度為1的絕對(duì)稀疏信號(hào)，證畢。

信號(hào)經(jīng)過(guò)PCA后體現(xiàn)的絕對(duì)稀疏性為后續(xù)的壓縮感知重構(gòu)奠定了理論基礎(chǔ)。

1.2 壓縮感知觀測(cè)模型

壓縮感知理論首先由Candès、Romberg、Tao和Donoho等人在2004年提出，文獻(xiàn)直到2006年才發(fā)表[9-10]。Candès證明了只要信號(hào)在某一個(gè)正交空間具有稀疏性，就能以較低的頻率采樣信號(hào)，而且可以以高概率重構(gòu)該信號(hào)[11-13]。

(7)

1.3 主成分追蹤算法

這里需要注意的是，理論上對(duì)不同時(shí)刻的信號(hào)進(jìn)行PCA，每次都需要重新進(jìn)行酉變換得到變換矩陣U，但是可令一段時(shí)間之內(nèi)的觀測(cè)共用一個(gè)變換矩陣U，通過(guò)合理設(shè)置學(xué)習(xí)時(shí)間，能夠在復(fù)雜度和性能當(dāng)中尋求一個(gè)平衡。

算法1為主成分子空間追蹤(PCSP)算法，具體數(shù)據(jù)如下：

輸入:觀測(cè)值矢量YM×1，觀測(cè)矩陣ΦM×N，時(shí)間t，學(xué)習(xí)間隔T；

步驟2 (PCA分解)判斷t是否被T整除，如果是則重新學(xué)習(xí)得到PCA基U，否則跳過(guò)此步驟；

步驟3 (計(jì)算相關(guān)系數(shù))v=UTΦTrl,l=l+1；

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

利用全球海洋大氣(Tropical Atmosphere Ocean,TAO)項(xiàng)目(網(wǎng)址：https:∥www.pmel.noaa.gov/tao /drupal/disdel)中2017年8月20日0時(shí)(UTC)起1 000 min實(shí)測(cè)水溫?cái)?shù)據(jù)，進(jìn)行主成分分析的壓縮感知重構(gòu)仿真實(shí)驗(yàn)。

利用壓縮感知觀測(cè)模型對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行觀測(cè)，依據(jù)1.3節(jié)中提出的PCSP算法對(duì)蒸發(fā)波導(dǎo)高度進(jìn)行重構(gòu)，由于PCA需要定期依據(jù)信號(hào)計(jì)算變換矩陣U，因此分別選擇學(xué)習(xí)時(shí)間間隔為：20 min、100 min、500 min和1 000 min。

定量考察重構(gòu)信噪比(Reconstruction-SNR,RSNR)隨壓縮比變化的規(guī)律，RSNR定義為：

(10)

壓縮比取為0.1～0.5按步長(zhǎng)0.05遞增，即對(duì)應(yīng)采集數(shù)據(jù)規(guī)模比原來(lái)的依據(jù)Shannon定律采樣的數(shù)據(jù)規(guī)模減少了九成至五成，相應(yīng)的傳輸、存儲(chǔ)及處理成本也節(jié)省了一大半。以實(shí)際的大范圍浮標(biāo)系統(tǒng)為例，這將降低每個(gè)浮標(biāo)的能耗、延長(zhǎng)整個(gè)系統(tǒng)的使用壽命。另外由CS觀測(cè)模型可知，每個(gè)浮標(biāo)都可有“休眠”的時(shí)間，從另一個(gè)角度來(lái)看，系統(tǒng)還具有一定抗浮標(biāo)損壞或數(shù)據(jù)丟失的能力。

對(duì)于水溫這類可壓縮信號(hào)，離散余弦變換(Discrete Cosine Transform,DCT)在性能上最接近最佳變換PCA[16]，因此本實(shí)驗(yàn)選取DCT作為對(duì)照組變換。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示，PCSP算法基于PCA的感知結(jié)果由實(shí)線描繪，對(duì)照組的DCT由虛線描繪，不同學(xué)習(xí)時(shí)間間隔對(duì)應(yīng)不同的標(biāo)記符號(hào)。

圖1 不同方法感知結(jié)果重構(gòu)信噪比隨壓縮比變化情況

從圖1中可以看出，基于主成分分析的蒸發(fā)波導(dǎo)壓縮感知總體性能優(yōu)于基于DCT的對(duì)照組性能，而且學(xué)習(xí)時(shí)間越短，RSNR越大，即重構(gòu)準(zhǔn)確性越好。隨著壓縮比增大RSNR有平緩上升的趨勢(shì)，即使在壓縮比低至0.1，學(xué)習(xí)間隔100 min時(shí)，RSNR也在20 dB以上，換而言之，在節(jié)省九成采樣資源的前提下，主成分追蹤算法最終的重構(gòu)結(jié)果仍然能夠達(dá)到重構(gòu)信噪比20 dB的水平。當(dāng)然，付出的代價(jià)是每100 min需要重新學(xué)習(xí)，以如今的計(jì)算能力是能夠接受的，而且還可以通過(guò)調(diào)整學(xué)習(xí)時(shí)間間隔，在重構(gòu)性能和復(fù)雜度之間尋求一個(gè)平衡。

3 結(jié)束語(yǔ)

文中所述基于主成分分析的壓縮感知為從相對(duì)稀少的觀測(cè)數(shù)據(jù)中重構(gòu)信號(hào)提供了可能，也為提高壓縮感知壓縮率提供了理論支持。

從結(jié)果來(lái)看，本文PCSP算法基于PCA的感知結(jié)果總體性能優(yōu)于基于DCT的對(duì)照組性能，且學(xué)習(xí)時(shí)間越短，RSNR越大，即重構(gòu)準(zhǔn)確性越好。可以通過(guò)調(diào)整學(xué)習(xí)時(shí)間間隔，在重構(gòu)性能和復(fù)雜度之間尋求一個(gè)平衡。

盡管DCT在降低相關(guān)性方面不如PCA有效，但是其好處是它的基函數(shù)是固定的、可分離的，且具有快速算法，所以對(duì)于蒸發(fā)波導(dǎo)態(tài)勢(shì)強(qiáng)相關(guān)的情況來(lái)說(shuō)，DCT可以近似PCA。如何兼顧兩者優(yōu)點(diǎn)，則是下一步需要解決的難題。

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