曾靜文

[摘 要] 通過對德國DAX股指的特征性分析，發(fā)現(xiàn)德國DAX股指是非正態(tài)的、平穩(wěn)的，并且具有自相關(guān)性。運用ARCH效應(yīng)檢驗發(fā)現(xiàn)，殘差具有ARCH效應(yīng)，說明該股指適合用GARCH族模型來建模。通過顯著性檢驗以及AIC值越小越好、極大似然函數(shù)越大越好的選取準則，得到擾動項服從學(xué)生分布下的TARCH（1，1）對于德國DAX股指的對數(shù)收益率波動的擬合效果是最好的。在該模型的基礎(chǔ)上對條件方差和收益率進行了預(yù)測，發(fā)現(xiàn)條件方差最后收斂于0.00001左右的一個無條件方差，而預(yù)測的收益率和實際收益率之間的誤差很小，說明預(yù)測效果較好。

[關(guān)鍵詞] GARCH族模型；對數(shù)收益率；條件方差；預(yù)測

[中圖分類號] F830.91 [文獻標識碼] A [文章編號] 1009-6043（2018）01-0166-04

股票的波動性研究往往都是運用GARCH模型來描述，而GARCH族模型包括一般的GARCH模型、GARCH-M模型、TARCH和EGARCH模型。GARCH模型族的殘差在大多文獻中是服從正態(tài)分布的，而查閱資料發(fā)現(xiàn)該殘差可以假設(shè)服從正態(tài)分布、學(xué)生t分布和廣義誤差分布。因此，基于4種GARCH模型，使擾動項分別服從以上三種分布，得到12種模型，最后通過實證分析得到最優(yōu)模型，并在該模型的基礎(chǔ)上對條件誤差和對數(shù)收益率進行了預(yù)測。

一、GARCH族模型及其發(fā)展

（一）GARCH族模型

1.ARCH模型

Engle提出了ARCH模型，但是ARCH模型不能反映實際數(shù)據(jù)中的長記憶性，且為了得到較好的估計，時常需要估計很多的參數(shù)，于是計量經(jīng)濟學(xué)家提出用GARCH模型來代替ARCH模型。

2.GARCH模型

GARCH模型中，最常用的就是GARCH（1，1）模型，因其能對數(shù)據(jù)進行很好的描述。其形式為：

從模型的表達式可以看出，GARCH（1，1）與ARCH模型最大的區(qū)別就是方差方程，多了一個條件方差項，此方差項的加入可以避免估計很多參數(shù)。

3.GARCH-M模型

對于金融資產(chǎn)，人們一般認為“高風(fēng)險對應(yīng)高收益”，即風(fēng)險越大，預(yù)期的收益率就越大。此處的風(fēng)險是用條件方差來表示的，并將這種波動引入均值方程中。GARCH-M（1，1）模型的形式為：

4.非對稱GARCH模型[1]

許多股票研究員發(fā)現(xiàn)，股票價格存在著非對稱性，即負的沖擊比正的沖擊更容易產(chǎn)生波動，波動率針對市場下跌的反應(yīng)比市場上升的反應(yīng)更加迅速，也被稱為“杠桿效應(yīng)”。而針對有杠桿效應(yīng)的數(shù)據(jù)，我們應(yīng)該使用非對稱的GARCH模型。而非對稱GARCH模型包括TARCH模型和EGARCH模型。

TARCH模型也稱門限GARCH模型，這個門限是采用一個虛擬變量來設(shè)定的，用來區(qū)分正和負的沖擊對條件波動的影響。TARCH（1，1）模型的形式為：

方差方程中的項，稱為非對稱效應(yīng)項，好消息和壞消息對條件方差有著不同的影響。好消息對條件方差只有一個α1倍的沖擊，而壞消息則對條件方差有著（α1+γ）倍的沖擊，γ>0表明存在杠桿效應(yīng)。

EGARCH模型又叫指數(shù)模型，其方差方程不再分析條件方差σ，而是分析lnσ，并使用擾動項和擾動項的絕對值與擾動項的標準差之比來刻畫正負沖擊對波動的影響。EGARCH（1，1）模型的形式為：

當γ<0時，說明價格波動受負的外部影響大于受正的外部影響，成為杠桿效應(yīng)。

（二）GARCH族模型的擾動項分布假設(shè)

上述的模型中，都是假定擾動項μt服從正態(tài)分布，而在實踐中我們發(fā)現(xiàn)，許多金融事件序列的無條件分布具有比正態(tài)分布更寬的尾部。2007年程婧瑤研究股市波動率時，假設(shè)擾動項服從學(xué)生t分布；而在2013年ChristosKollias在研究歐洲市場股票波動性的時候假設(shè)擾動項服從廣義誤差分布。為了能夠更加精確的描述時間序列分布的尾部特征，需要對擾動項μt的分布進行假設(shè)，一般有三種假設(shè)：正態(tài)分布、學(xué)生t分布和廣義誤差分布。給定一個分布，GARCH使用極大似然估計來對參數(shù)進行估計。

二、數(shù)據(jù)的選取和基本檢驗

（一）數(shù)據(jù)的選取及說明

采用GARCH模型建模，一般是選擇日度數(shù)據(jù)或者日內(nèi)的高頻數(shù)據(jù)，這樣更有利于參數(shù)估計的收斂性和穩(wěn)健性。選取德國DAX股指，采用5分鐘高頻數(shù)據(jù)，樣本期間為2017年5月31日至2017年6月19日，剔除沒有交易的日子，共計1352個觀測數(shù)據(jù)。為了刻畫德國股市的波動現(xiàn)象，采取對數(shù)收益率作為研究對象。

此處，rt表示該對數(shù)收益率，pt表示后一時刻的股價，pt-1表示前一時刻的股價，則對數(shù)收益率為：

rt=In（pt）-In（pt-1）

（二）樣本數(shù)據(jù)的基本檢驗

1.正態(tài)性檢驗

運用J-B統(tǒng)計量來檢驗序列是否服從正態(tài)分布：在正態(tài)分布的假設(shè)下，數(shù)據(jù)服從自由度為2的卡方分布。要計算JB統(tǒng)計量，首先要計算偏度和峰度。偏度是統(tǒng)計一組數(shù)據(jù)是否是非對稱的，描述數(shù)據(jù)偏斜的程度以及方向。如果此值小于零，即數(shù)據(jù)左偏，否則右偏。峰度是衡量實數(shù)隨機變量的概率分布峰態(tài)的統(tǒng)計量，正態(tài)分布的峰度為3，如果峰度值小于3，則表明峰度不足，反之則峰度過度。JB統(tǒng)計量檢驗一組數(shù)據(jù)是否來自于正態(tài)分布，若數(shù)據(jù)是服從正態(tài)分布的，那JB統(tǒng)計量的值為0。

將德國DAX股指的對數(shù)收益率序列導(dǎo)入Eviews軟件中，得到偏度為0.427148，大于0，則右偏，峰度為15.21915，比正態(tài)分布的峰值3大，所以該序列呈現(xiàn)尖峰后尾的特征，而J-B統(tǒng)計量的值不為0，說明該序列不服從正態(tài)分布。

2.平穩(wěn)性檢驗

作出德國DAX股指的對數(shù)收益率隨時間變化的線性圖形，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)圍繞一直線上下波動，說明該序列很有可能是平穩(wěn)的。采用ADF檢驗，進一步檢驗序列的平穩(wěn)性。通過ADF檢驗發(fā)現(xiàn)，對數(shù)收益率序列的ADF檢驗值為-34.69532，當顯著性水平為1%、5%及10%的情況下，所對應(yīng)的臨界值分別為-2.566676、-1.941058和-1.616542。說明ADF檢驗值在任何顯著性水平下都明顯小于臨界值，所以該序列是平穩(wěn)的。endprint

3.自相關(guān)檢驗

自相關(guān)性是指隨機誤差項的各期望值之間存在著相關(guān)關(guān)系，稱隨機誤差項之間存在自相關(guān)性。通過分析自相關(guān)函數(shù)圖，可知該序列是存在一階相關(guān)性的，采用Box-JenKins方法，可以把模型暫定為AR（1）、MA（1）及ARMA（2，1）。運用最小二乘估計，通過比較AIC值，得出可由AR（1）模型對數(shù)據(jù)進行擬合。得到的模型為rt=0.057617rt-1+μt。

4.ARCH效應(yīng)檢驗

用Eviews軟件畫出AR（1）模型rt=0.057617rt-1+μt的擾動項平方序列的時間序列圖。在圖中，擾動項平方序列具有明顯的時變性和急簇性，說明擾動項很可能具有ARCH效應(yīng)。

對于金融序列，一般會出現(xiàn)明顯的集聚現(xiàn)象，即大的波動后會緊跟著另一個大波動，小的波動后跟隨另一個小的波動，這就是ARCH效應(yīng)。要使用GARCH族模型建模，則需要檢驗是否具有ARCH效應(yīng)。ARCH效應(yīng)有3種檢驗方法，這里采用自相關(guān)函數(shù)檢驗方法，進一步確定ARCH效應(yīng)的存在。通過檢驗發(fā)現(xiàn)，自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)顯著不為0，而且Q統(tǒng)計量非常顯著，所以殘差具有ARCH效應(yīng)，可以用GARCH族模型進行建模。

三、實證分析

GARCH族模型包括GARCH模型、GARCH-M模型、TARCH模型以及EGARCH模型四種模型，且其擾動項分布服從正態(tài)分布、學(xué)生t分布或者廣義誤差分布。在4種GARCH模型的基礎(chǔ)上，使擾動項分別服從以上三種分布，得到12種模型，最后通過實證分析得到最優(yōu)模型。把德國DAX股指2017年5月31日至2017年6月19日的5分鐘的高頻數(shù)據(jù)導(dǎo)入Eviews軟件，得到以下實證結(jié)果。

（一）GARCH（1，1）模型的實證結(jié)果

由表1可知，當擾動項服從正態(tài)分布時，均值方程對應(yīng)的R（-1）系數(shù)為0.045007，其對應(yīng)的P值是不顯著的，說明在使用GARCH（1，1）模型下假設(shè)擾動項服從正態(tài)分布是不合理的。當擾動項服從學(xué)生t分布和廣義誤差分布時，均值方程對應(yīng)的R（-1）系數(shù)以及方差方程中的系數(shù)α1和β1均是顯著的，說明在GARCH（1，1）的模型下假設(shè)擾動項服從學(xué)生t分布以及廣義誤差分布是合理的。表中LogL的表示對數(shù)似然函數(shù)，用來表示已知輸出結(jié)果時未知參數(shù)的可能取值；AIC表示衡量統(tǒng)計模型擬合優(yōu)良性的一種標準。而選擇模型時，似然函數(shù)值越大越好，AIC值越小越好。擾動項服從學(xué)生t分布和廣義誤差分布下的對數(shù)似然函數(shù)分別為8279.549和8254.996，赤池信息準則分別為-12.25859和-12.22222。所以在使用GARCH（1，1）模型下，假設(shè)擾動項服從學(xué)生t分布，對德國DAX股指的擬合更好一些。

（二）GARCH-M（1，1）模型的實證結(jié)果

由表2可知，不管擾動項服從哪種分布，均值方程對應(yīng)方差項的系數(shù)均是不顯著的，即使用GARCH-M（1，1）來擬合德國DAX股指是不合理的。

（三）TARCH（1，1）模型的實證結(jié)果

由表3可知，當擾動項服從正態(tài)分布時，均值方程對應(yīng)的R（-1）的系數(shù)是不顯著的，說明在使用TARCH（1，1）模型下假設(shè)擾動項服從正態(tài)分布是不合理的。當擾動項服從學(xué)生t分布時，均值方程對應(yīng)的R（-1）系數(shù)以及方差方程中α1、β1以及非對稱項系數(shù)γ都是顯著的，說明在TARCH（1，1）的模型下假設(shè)擾動項服從學(xué)生t分布是合理的。當擾動項服從廣義誤差分布時，方差方程中的非對稱項系數(shù)γ是不顯著的，說明在TARCH（1，1）的模型下假設(shè)擾動項服從廣義誤差分布是不合理的。

所以，擾動項服從學(xué)生t分布下的TARCH（1，1）的模型對德國DAX股指擬合得更好。非對稱項γ的值為0.164705，顯著大于0，說明存在杠桿效應(yīng)，即得出德國DAX股指確實存在非對稱性。當發(fā)生好消息時，會給股票指數(shù)帶來0.150889倍的沖擊，而發(fā)生壞消息時，則會帶來0.315594倍的沖擊。

（四）EGARCH（1，1）模型的實證結(jié)果

由表4可知，當擾動項服從正態(tài)分布時，均值方程對應(yīng)的R（-1）的系數(shù)是不顯著的，說明在使用EGARCH（1，1）模型下假設(shè)擾動項服從正態(tài)分布是不合理的。當擾動項服從學(xué)生t分布時，均值方程對應(yīng)的R（-1）系數(shù)以及方差方程中所有的系數(shù)估計都是顯著的，說明在EGARCH（1，1）的模型下假設(shè)擾動項服從學(xué)生t分布是合理的。當擾動項服從廣義誤差分布時，方差方程中的系數(shù)γ是不顯著的，說明在EGARCH（1，1）的模型下假設(shè)擾動項服從廣義誤差分布是不合理的。

所以，擾動項服從學(xué)生t分布下的EGARCH（1，1）的模型對德國DAX股指擬合得更好。非對稱項的值為-0.067513，顯著小于0，說明存在杠桿效應(yīng)，即得出德國DAX股指確實存在非對稱性。當發(fā)生好消息時，會給股票指數(shù)帶來0.30107倍的沖擊，而發(fā)生壞消息時，則會帶來0.436096倍的沖擊。

由前文可知，只有GARCH-M（1，1）模型不管擾動項服從任何分布，對數(shù)據(jù)的擬合都是不合理的。而另外三種模型，均是在擾動項服從學(xué)生t分布的時候所對應(yīng)的LogL最大，AIC值最小。說明我們所選取的數(shù)據(jù)，假設(shè)擾動項服從學(xué)生t分布時擬合效果更好。

通過上述的非對稱GARCH族的實證結(jié)果發(fā)現(xiàn)，被選用的數(shù)據(jù)確實存在非對稱性，即用擾動項服從學(xué)生t分布下的TARCH（1，1）模型及EGARCH（1，1）模型更合理。而擾動項服從學(xué)生t分布下的TARCH（1，1）及EGARCH（1，1）模型的對數(shù)似然函數(shù)分別為8281.821和8281.136，AIC值分別為-12.26048和-12.25946。即擾動項服從學(xué)生t分布下的TARCH（1，1）的對數(shù)似然函數(shù)更大，AIC值更小。

綜上所述：擾動項服從學(xué)生t分布下的TARCH（1，1）對于德國DAX股指的對數(shù)收益率波動的擬合效果是最好的。模型為：endprint

四、預(yù)測

由上文可知擾動項服從學(xué)生t分布下的TARCH（1，1）對于德國DAX股指的對數(shù)收益率波動的擬合效果最好，下面運用該模型進行預(yù)測。金融資產(chǎn)的波動率以及收益率都是很重要的指標，而GARCH族模型的波動率是用條件方差來刻畫的，收益率則是采用對數(shù)收益率。對2017年6月20日至6月23日的338個5分鐘高頻數(shù)據(jù)進行預(yù)測。

（一）波動率的預(yù)測

從圖1可以看出在預(yù)測的區(qū)間內(nèi)，條件方差預(yù)測值在增加，呈現(xiàn)“上凸”的形狀，圖形的一階導(dǎo)數(shù)在不斷減小至0，最后收斂于0.00001左右的某個值，即為無條件方差。

（二）收益率的預(yù)測

圖2顯示的是對數(shù)收益率的預(yù)測值，未來各期的預(yù)測值均在零值附近，這是因為我們采用的均值方程為rt=-0.056811rt-1+μt。均方誤差值和平均絕對誤差分別為0.000551和0.000358，說明預(yù)測值和真實值之間的誤差很小，預(yù)測效果較好。

五、小結(jié)

通過對德國DAX股指進行波動性分析，先是進行特征分析，發(fā)現(xiàn)該股指非正態(tài)、平穩(wěn)，且具有自相關(guān)性。在GARCH模型、GARCH-M模型、TARCH模型以及EGARCH模型的基礎(chǔ)上分別假設(shè)擾動項服從正態(tài)分布、學(xué)生t分布和廣義誤差分布得到12種模型。通過極大似然估計對模型進行參數(shù)估計，發(fā)現(xiàn)擾動項服從學(xué)生t分布下的TARCH（1，1）對于德國DAX股指的對數(shù)收益率波動的擬合效果是最好的。并且對該模型的波動率和收益率進行了預(yù)測，預(yù)測效果較好，說明GARCH族模型在股票的波動性以及收益率的預(yù)測上具有一定的實用性。但有幾個問題仍待解決：

（一）被選用的GARCH族模型均為單變量GARCH模型，只能研究單一的市場，而當出現(xiàn)多個市場時，市場與市場之間是有相互影響的，這是需要進一步探究的問題。

（二）Eviews軟件只能輸出預(yù)測的圖像，而不能輸出具體的預(yù)測值，而在投資中，投資者更想得到確切的數(shù)值。通過R軟件以及Matlab軟件編程能夠得到具體的預(yù)測值，這也是需要進一步探索的問題。

[參考文獻]

[1]李嫣怡，劉榮，丁維岱.Eviews統(tǒng)計分析與應(yīng)用（修訂版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2013：207.

[責任編輯：潘洪志]endprint