江蘇省新沂市春華小學(xué) 吳新平

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，開始引入除法時，是從把一個數(shù)分成若干等分引入的，也就是從平常所說的等分除引入的，之后再介紹所謂包含除法以及求縮小倍數(shù)的問題。但就數(shù)量之間的關(guān)系而言，除法是這樣的運算，即已知兩個因數(shù)積a與其中一個因數(shù)b，求另一個因數(shù)g的運算。用式子表示如下：

a÷b=g

上式中，a叫做被除數(shù)，b叫做除數(shù)，g叫做a除以b(或稱b除a)所得的商，符號“÷”叫做除號。

由除法的意義可知，a除以b，就是要求一個數(shù)g，使它與b相乘的積等于a，即：bg=a.

從上述關(guān)系可以看出，除法是乘法的逆運算。在數(shù)學(xué)中，除號有時用“÷”來表示，即把被除數(shù)放在除號的左邊，除數(shù)放在除號的右邊；有時用一條短的線段“/”來表示，即把被除數(shù)放在短的線段上邊，把除數(shù)放在短的線段下邊。這樣a除以b，就可以用兩種方法來表示：

a÷b=g 或 a/b=g。

一、除法的特殊情況

1.如果被除數(shù)等于0，那么商也等于0。事實上，當(dāng) a=0時，a÷b=0，因為 b×0=0。

2.如果除數(shù)等于1，那么商就等于被除數(shù)。事實上，當(dāng)b=1時，a÷1=a，因為a×1=a，這也就是說，用單位1除一個數(shù)時，則原數(shù)不變。

3.除數(shù)不能等于0，這是因為，如果b=0時，可以導(dǎo)致不定的結(jié)果。

二、除法定義的兩個推論

1.某數(shù)除以一個數(shù)（0除外），再乘以同一個數(shù)，某數(shù)不變。寫成一般的式子是：(a÷b)×b=a.這里，我們設(shè) a÷b=g，那bg=a，所以(a÷b)×b=gb=bg=a。

2.某數(shù)乘以一個數(shù)（0除外），再除以同一個數(shù)，某數(shù)不變，寫成一般式子是：(a×b)÷b=a.這里，我們設(shè) a×b=m，那么m÷b=a，所以(a×b)÷b=m÷b=a。

三、有余數(shù)的除法

有余數(shù)的除法，在實際計算中是大量的，對以后的學(xué)習(xí)也有幫助，所以在這里作一點理論上的論證。

有余數(shù)的除法，在數(shù)學(xué)教材中一般這樣定義∶整數(shù)a除以自然數(shù)b，如果能得到整數(shù)商g，使bg=a，就說b能整除a，或者a能被b整除，并用a/b來表示。如果a÷b不能得到整數(shù)的商，我們?nèi)匀话補叫做被除數(shù)，把b叫做除數(shù)。如果a最多含有g(shù)個 b，當(dāng) bg＜a＜b(g+1)時，這個整數(shù) g叫做a除以b的不完全商，我們把這種除法叫做有余數(shù)的除法，寫成一般的式子可表示如下：a÷b=g(余 r)或 a÷b=g……r。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)里常采用后一種表示形式。有余數(shù)的除法，可表示成如下的關(guān)系式：A=bg+r。

下面我們來論證在有余數(shù)的除法中，余數(shù)必小于除數(shù)，即在a=bg+r中，r＜b。我們用反證法來證明。

假設(shè) r≥b，r=b+rl(rl≥0)那么

A=bg+r

=bg+(b+rl)

=b(g+1)+rl

上式中，因為 rl≥0，所以 a≥b(g+1)，但這和不完全商定義bg＜a＜b(g+1)相矛盾。由此可知r≥b是不對的，因此，r＜b。下面我們再證明一下在有余數(shù)的除法中，不完全商和余數(shù)都是唯一的，即在a=bg+r(r＜b)中，g與 r都是唯一的。

我們?nèi)匀挥梅醋C法來證明，即設(shè)g與r都不是唯一的，

于是我們就有a=bg1+r1(rl＜b)。

但是我們已知a=bg+r(r＜b)，

所以 bg+r=bg1+r1，

于是得r-r1=bg1-bg=b(g1-g)。

這樣，就得到(r-r1)|b。

但 r1＜b，r＜b，所以 r-r1＜b。

這樣，只有在r-r1=0時，r-r1才能被b 整除，就是 r=r1，

于是我們就有0=b(g1-g)。

因為除數(shù)b不能是0，

所以g-g1=0，于是就得g=g1

因此，在有余數(shù)的除法中，不完全商和余數(shù)都是唯一的。在a=bg+r中，如果余數(shù)r=0，那么a=bg，也就是說b能整除a，因此可以把整除看成是有余數(shù)除法的特例。

四、除法和減法的關(guān)系

在前面，我們談除法的意義時，曾談到可借助于連減來幫助理解除法的意義。現(xiàn)在從理論上加以論證。

設(shè) a÷b=g……r，

也就是 a=bg+r(0≤r≤b)，a-bg=r。

因為a-bg=a-(b+b+b+b+……)=r，

所以a-b-b-b-……-b=r。

從上面的式子可以看出，除法就是連減法，最后的差就是余數(shù)。有時差可能是零。

五、乘法和除法的驗算

我們學(xué)過了乘法，也學(xué)過了除法。在乘法和除法中，已知數(shù)和未知數(shù)之間有如下的關(guān)系：在乘法中，一個因數(shù)等于積除以另一個因數(shù)。應(yīng)用這種關(guān)系以及乘法的交換律，可以對乘法和除法進行驗算。

乘法可用乘法來驗算，即把兩個因數(shù)交換位置再乘一遍，如果兩次相乘所得的積一樣，說明計算結(jié)果是正確的。乘法也可以用除法來驗算。

除法可用除法來驗算，即拿被除數(shù)除以商(如果有余數(shù)，先從被除數(shù)里減去余數(shù)，再除以商)，如果除的結(jié)果等于除數(shù)，就說明計算是正確的。除法也可以用乘法來驗算，即拿除數(shù)和商相乘，如果乘得的結(jié)果(如果有余數(shù)，還要加上余數(shù))等于被除數(shù)，就說明計算是正確的。