四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院

余小芬 劉成龍 (郵編：641100)

1 問(wèn)題

圖1

問(wèn)題如圖1，梯形ABCD中，AD//BC，AD=a，BC=b(a

2 對(duì)梯形中面積最大的平行四邊形的特征分析

引理1在梯形ABCD內(nèi)任作EFGH，則EFGH至少有一邊(不妨記為邊EF)滿足以下位置關(guān)系之一：

(1)點(diǎn)E、F都落在梯形ABCD的邊上；

(2)點(diǎn)E、F不全落在梯形ABCD的邊上．此時(shí)，總存在梯形邊上的兩點(diǎn)M、N，使得MNEF．

引理1的說(shuō)明：

(1)點(diǎn)E、F都落在梯形ABCD的邊上，有以下情形(圖2～圖11)：

圖2 圖3

圖4 圖5

圖6 圖7

圖8 圖9

圖10 圖11

(2)點(diǎn)E、F不全落在梯形ABCD的邊上．此時(shí)，EF所在直線與梯形ABCD的邊相交于P,Q兩點(diǎn)(P、E重合與Q、F重合不同時(shí)成立)，有以下情形(圖12～圖17)：

圖12 圖13(1)

圖13(2) 圖13(3)

圖14 圖15

圖16(1) 圖16(2)

圖16(3) 圖17

特別要指出的是，圖12～圖17中，若構(gòu)造出的MN恰好和EFGH的邊GH重合，則可歸結(jié)為引理1(1)的情形；若GH夾在EF和MN之間，則EFGH可擴(kuò)大為EFMN；若EF夾在GH和MN之間，則EFGH可擴(kuò)大為MNGH．

因此，按上述擴(kuò)大方式，引理1(2)中擴(kuò)大后的平行四邊形都可歸結(jié)為引理1(1)中情形．所以只需討論引理1(1)中各類平行四邊形面積的最大值即可．

下面依次給出圖3，圖5，圖6，圖7，圖8，圖10，圖11對(duì)應(yīng)擴(kuò)張后的最大面積平行四邊形的作法(由于圖2，圖4，圖9情形簡(jiǎn)單，此處略)．

觀察圖18～圖24，不難得出梯形中面積最大的平行四邊形的特征為：平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)全都落在梯形的邊上．

圖18 圖19 圖20

圖21

圖22

圖23 圖24

3 梯形中平行四邊形最大面積的結(jié)論

圖25

引理2如圖25，梯形ABCD中，AD//BC，AD=a，BC=b(a

證明如圖25，過(guò)F作AB的垂線交AB(或AB延長(zhǎng)線)于點(diǎn)N，過(guò)C作AB的垂線交AB(或AB延長(zhǎng)線)于點(diǎn)K，過(guò)G作BC的垂線交BC(或BC延長(zhǎng)線)于點(diǎn)P，交AD的延長(zhǎng)線(或AD)于點(diǎn)Q．

下面給出梯形中平行四邊形最大面積的結(jié)論．

圖26

定理如圖26，梯形ABCD中，AD//BC，AD=a，BC=b(a

證明如圖26，延長(zhǎng)EF與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K．設(shè)EFGH的邊EF=s，EF邊上的高為l，AE=m，AF=n，則ED=a-m，F(xiàn)B=c-n，其中0≤m≤a，0≤n≤c(特別指出，當(dāng)不等式中的m或n取等號(hào)時(shí)，對(duì)應(yīng)EFGH的頂點(diǎn)位置較為特殊．例如：當(dāng)m=0時(shí)，點(diǎn)A、E重合，此時(shí)邊EF落在梯形邊AB上)．

令f(n)=-(b-a)n2+(bc-2mc)n+mc2，其中0≤n≤c．

至此，本文開(kāi)始提出的問(wèn)題得到解決．