浙江省杭州市電子信息職業(yè)學(xué)校

曾善鵬 (郵編：638400)

浙江省杭州高級中學(xué)

費(fèi)紅亮 (郵編：230001)

1 問題背景

1967年，H.W.Guggenheimer建立了如下不等式，我們稱之為Guggenheimer不等式.

定理A[1]P是△ABC中任意一點(diǎn)，a、b、c是三角形三邊，則有

PA+PB+PC

1971年，M.S.Klamkin得到上述不等式二次形式，我們稱之為Klamkin不等式.

定理B[2]P是△ABC中任意一點(diǎn)，a、b、c是三角形三邊，則有

PA2+PB2+PC2

實(shí)際上，可以得到Guggenheimer不等式和klamkin不等式的加強(qiáng)形式.

定理C[3-4]P是△ABC中任意一點(diǎn)，a、b、c是三角形三邊，若a≥b≥c，則有

PA+PB+PC

定理D[4]P是△ABC中任意一點(diǎn)，a、b、c是三角形三邊，若a≥b≥c，則有

PA2+PB2+PC2

2 主要定理

本文將對定理C和定理D中兩個不等式進(jìn)行加權(quán)推廣得到如下兩個不等式.

定理1P是△ABC中任意一點(diǎn)，a、b、c是三角形三邊，x、y、z為任意正實(shí)數(shù)，若a≥b≥c，則有

xPA+yPB+zPC

在定理1中取x=a、y=b、z=c,則可以得到如下推論

推論1.1P是△ABC中任意一點(diǎn)，a、b、c是三角形三邊，若a≥b≥c，則有

aPA+bPB+cPC<2ab.

定理2P是△ABC中任意一點(diǎn)，a、b、c是三角形三邊，x、y、z為任意正實(shí)數(shù)，若a≥b≥c，則有

xPA2+yPB2+zPC2

在定理2中取x=a、y=b、z=c,則可以得到如下推論

推論2.1P是△ABC中任意一點(diǎn)，a、b、c是三角形三邊，若a≥b≥c，則有

aPA2+bPB2+cPC2

3 定理的證明

定理1證明過P點(diǎn)作一條直線平行于BC分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)，過P點(diǎn)作一條直線平行于AC分別交AB、BC于F、G兩點(diǎn)，過P點(diǎn)作一條直線平行于AB分別交AC、BC于H、I兩點(diǎn)(如上圖所示).

所以由上述等式可以得到xPA+yPB+zPC

定理2的證明

由定理1的證明過程以及均值定理可得

xPA2+yPB2+zPC2

1 H.W.Guggenheimer. Plane Geometry and Its Groups. San Francisco,Cambridge, London,Amsterdam,1967:178

2 M.S.Klamkin. Nonnegative Quadratic Forms and Triangle Inequalities. For Motor Company Preprint, June 1971:7

3 單墫. 幾何不等式[M].上海教育出版社，1980:29

4 鄧波. 三角形內(nèi)的點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離和的上界--兼談Klamkin不等式的另證及加強(qiáng)[J].安順師專學(xué)報(bào)，2001(3)