湖北省宜昌市第九中學(xué)

竇正安 (郵編：443000)

分類討論思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一，對(duì)于增強(qiáng)學(xué)生邏輯思維的嚴(yán)密性大有裨益.在若干數(shù)學(xué)問題中，動(dòng)點(diǎn)問題因常伴有分類討論而成為學(xué)生們的一大困惑.在分類討論時(shí)如何才能做到不重不漏呢？筆者擷取幾例加以剖析，以饗讀者.

1 根據(jù)幾何性質(zhì)確定動(dòng)點(diǎn)位置

解題思路運(yùn)用幾何性質(zhì)確定動(dòng)點(diǎn)位置的關(guān)鍵是能根據(jù)幾何性質(zhì)分析出動(dòng)點(diǎn)所在的軌跡，畫出軌跡便可找出點(diǎn)的位置.

圖1

(1)求M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

簡解(1)M(3,0)，N(0,4)；

圖2

當(dāng)點(diǎn)P在直線MN的下方時(shí)，用上述的方法同理可求得P3(0，0).

2 畫“趨勢(shì)線”確定動(dòng)點(diǎn)位置

解題思路畫“趨勢(shì)線”確定動(dòng)點(diǎn)位置的基本做法就是讓動(dòng)點(diǎn)在其軌跡上動(dòng)起來，畫出對(duì)應(yīng)的趨勢(shì)線，有幾種情況便一目了然了.

圖3

例2如圖3，已知拋物線y=-x2+bx+c與一直線相交于A(-1，0)，C(2，3)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N．其頂點(diǎn)為D．

(1)拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若拋物線的對(duì)稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B，E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥BD交拋物線于點(diǎn)F，以B、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由.

分析根據(jù)題意分析出EF=BD是解決第(2)題的基礎(chǔ)，而能否正確寫出EF的長度表達(dá)式是本題的關(guān)鍵.

簡解(1)拋物線的函數(shù)解析式為：y=-x2+2x+3，直線AC的函數(shù)關(guān)系式為：y=x+1；

(2)易求D(1，4)、B(1，2)，則BD=2，由題意知:EF=BD=2，設(shè)E(n，n+1)，則F(n，-n2+2n+3)，

當(dāng)E在F點(diǎn)的上方時(shí)，

當(dāng)E在F點(diǎn)的下方時(shí)，

EF=(-n2+2n+3)-(n+1)=-n2+n+2=2，

解之得：n1=0，n2=1(舍)，此時(shí)n+1=1，

故E(0，1)；

點(diǎn)評(píng)本題的關(guān)鍵是E點(diǎn)和F點(diǎn)的上下位置不確定，如果能畫出E點(diǎn)在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)的EF的趨勢(shì)線，便會(huì)直觀地發(fā)現(xiàn)E、F上下位置的不同情況，同時(shí)結(jié)合EF=2也可以直觀地發(fā)現(xiàn)一共有3種情況，對(duì)于計(jì)算的最終結(jié)果給予了最直觀的印證.

3 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合 彌補(bǔ)思維缺失

解題思路運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想以數(shù)解形，即把幾何問題代數(shù)化，從而避免分類的不完整，彌補(bǔ)思維上的缺失.

例3同例2

分析在上題中根據(jù)題意易知EF=BD=2.如果我們忽視了E、F的上下位置，那么怎樣做才能彌補(bǔ)思維的缺失呢？很簡單，只要在求EF表達(dá)式的時(shí)候加上絕對(duì)值就不會(huì)漏解了.

簡解由題意知:EF=BD=2，

設(shè)E(n，n+1)，則F(n，-n2+2n+3)，

則EF=|(n+1)-(-n2+2n+3)|=|n2-n-2|=2，

所以n2-n-2=2或n2-n-2=-2，

點(diǎn)評(píng)我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”.本題若從代數(shù)的角度考慮問題，則無需討論E、F兩點(diǎn)的上下位置，只需在求EF的表達(dá)式時(shí)加上絕對(duì)值，便可回避因忽視兩點(diǎn)上下位置而漏解的錯(cuò)誤.正可謂：形有數(shù)時(shí)可入微！