河南省方城縣教研室

邵明憲 (郵編：473200)

題目設(shè)a、b、c為正實(shí)數(shù)，且滿足(a+b)(b+c)(c+a)=1. 求證：

(2017年陜西省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽二試第5題)

證法1(命題組的參考答案)由柯西不等式，得

故只需證明

(*)

事實(shí)上，由已知及均值不等式，得

事實(shí)上，由赫爾德不等式、均值不等式及已知，得

從而原不等式成立.

進(jìn)一步探究知，該題還可以如下簡(jiǎn)便證明.

證法2由均值不等式和柯西不等式，得

由已知及均值不等式，得

所以原不等式成立.

由已知及均值不等式和柯西不等式，得

評(píng)注證法2和證法3都是在常規(guī)方法入手后，從整體視角確定解題目標(biāo)，并根據(jù)目標(biāo)探索利用已知條件的途徑，取得簡(jiǎn)單自然解題之效果.

結(jié)語(yǔ)解題活動(dòng)是在目標(biāo)意識(shí)調(diào)控下有目的的思維過(guò)程，恰當(dāng)?shù)慕忸}目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，不僅僅是可以行得通，重要的是能夠走得好. 因此，堅(jiān)持對(duì)問(wèn)題從多角度展開(kāi)探索，通過(guò)比較和鑒別，選出理想的解題方案，是實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單自然解題的關(guān)鍵和保證.