甘肅蘭州新區(qū)舟曲中學(xué)

李守明 (郵編：730087)

在高三復(fù)習(xí)圓錐曲線章節(jié)的過程中，常會(huì)遇到經(jīng)過原點(diǎn)的兩條直線斜率之和與斜率之積為定值這兩類問題及其變式，這兩類問題及其變式反映了直線與圓錐曲線之間的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理，解決起來也較為容易.但著名數(shù)學(xué)家波利亞說：“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧與反思”.那么這兩類試題及其變式還有沒有其他的解決方法？如果當(dāng)定點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí)，又如何解決呢？筆者帶著這樣的思考，走向解題之旅.

1 兩道題目及其常規(guī)解法

先看這兩道題的常規(guī)解法：

題1的解法：

②代入①消去y，得到

x2+2x-1-2a2=0，

設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1+x2=-2，x1x2=-(2a2+1)，

故雙曲線方程為4x2-2y2=1.

題2的解法：

①

y=kx+4

②

②代入①消去y,得：

解得k=-15，故直線方程為y=-15x+4.

2 兩道題目的齊次化解法

題1的齊次化解法：

題2的齊次化解法：

化簡整理得15y2+2kxy+(4-k2)x2=0，因x≠0，方程兩邊同除以x2，得

解得k=-15，故直線方程為y=-15x+4.

3 兩道題目的變式及解決

上述兩個(gè)題目，都是過定點(diǎn)是原點(diǎn)的直線的斜率之積和斜率之和問題，如果定點(diǎn)不是原點(diǎn)，那么還能利用“1”代換，構(gòu)造齊次化方程來解這兩類試題嗎？不妨來看下面的題目：

(I)求橢圓C的方程；

(II)E、F是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，①如果直線AE的斜率與AF的斜率之和為2，證明直線EF恒過定點(diǎn)，②如果直線AE的斜率與AF的斜率之積為2，證明直線EF恒過定點(diǎn).

(II)平移坐標(biāo)系，使坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)

直線EF平移后變?yōu)镋′F′，其方程不妨設(shè)為mx′+ny′=1，

代入橢圓方程得3x′2+4y′2+6x′(mx′+ny′)+12y′(mx′+ny′)=0，

此方程的兩個(gè)根即為AE′和AF′的斜率.

4 兩道題目有關(guān)的高考鏈接

(1)求直線AB的斜率；

(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程.

解(1)kAB=1；

直線A′B′的方程為x′-y′=-8，則直線AB的方程為x-2-(y-1)=-8，

即x-y+7=0.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)P2且與C相交于A、B兩點(diǎn)，若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點(diǎn).

直線l即AB平移后變?yōu)锳′B′，其方程不妨設(shè)為mx′+ny′=1，

代入橢圓方程得

5 一點(diǎn)想法

受常規(guī)解題思路的影響，我們習(xí)慣于用固化的套路解決數(shù)學(xué)問題，如果我們能夠變換問題解決的角度，則往往能夠迎來耳目一新的解決方案，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和靈活性大有裨益.

1 趙維浩.二次齊次式在圓錐曲線中的妙用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬),2016(10)：43-44