甘肅省張掖市肅南縣第一中學

嚴天珍 (郵編：734400)

1 問題提出

自20世紀初著名德國數(shù)學家菲利克斯·克萊因(Felix Christian Klein)的代表作品《高觀點下的初等數(shù)學》聞世至今，用高等數(shù)學的觀點、原理和方法，認識、理解和解決中學數(shù)學問題成為廣大數(shù)學教育工作者近百年來研究的熱點．伴隨著科學技術(shù)的高速發(fā)展和中學數(shù)學教學內(nèi)容的日益革新，向量、概率論、微積分等高等數(shù)學中的內(nèi)容均已逐步引入高中數(shù)學教材；不僅如此，高等數(shù)學背景的數(shù)學題在近年高考和競賽數(shù)學中更是頻頻出現(xiàn)．

Carlson不等式作為高等數(shù)學中的重要不等式之一，它與許多經(jīng)典代數(shù)不等式和著名幾何不等式有著很深的淵源[1]，因而近年來得到了諸多數(shù)學愛好者和考試研究者的廣泛關(guān)注．本文從Carlson不等式入手，例析其在高中數(shù)學解題中的有力工具性和優(yōu)美簡潔性，同時論述了利用高等數(shù)學的觀點、原理和方法解決中學數(shù)學問題的一些思考和啟示．

2 Carlson不等式

定理Carlson不等式：設A為非負數(shù)構(gòu)成的n×m矩陣

3 應用舉例

例1(2017年高考數(shù)學全國卷II第23題)已知a>0,b>0,a3+b3=2.證明：(I)(a+b)(a5+b5)≥4;(II)a+b≤2．

解(I)因為a>0,b>0且a3+b3=2，

則由Carlson不等式得

兩邊平方，得 (a+b)(a5+b5)≥4．

則由Carlson不等式得

解因為x1,x2,x3是非負實數(shù)，滿足x1+x2+x3=1，

則可構(gòu)造非負數(shù)構(gòu)成的3×2矩陣

則由Carlson不等式得

證明因為(a-1)2(a+1)≥0，所以a3+2≥a2+a+1，同理可得

b3+2≥b2+b+1，c3+2≥c2+c+1，

則由Carlson不等式得

證明因為a>0,b>0,c>0,abc=1，

構(gòu)造正數(shù)構(gòu)成3×2的矩陣

由Carlson不等式得

=bc+ac+ab，

再由基本不等式得

4 一些思考

從Carlson不等式在高中數(shù)學解題中的應用舉例不難看出，高等數(shù)學的知識不僅豐富了解決高中數(shù)學問題的方法和手段，而且它在解決高中數(shù)學問題方面體現(xiàn)出的優(yōu)越性更是不一而足；同時，用高等數(shù)學的知識解決高中數(shù)學問題的觀點對指導高中數(shù)學教學、促進高中數(shù)學教材改革等方面具有重要啟示．

1.4 借用高等數(shù)學知識，巧解高中數(shù)學難題

初等數(shù)學是高等數(shù)學的基礎，高等數(shù)學是初等數(shù)學發(fā)展到一定階段的必然結(jié)果，但高等數(shù)學較于初等數(shù)學更具思想性．因而對于某些中學數(shù)學難題，如果借用高等數(shù)學中的知識直接解決，或者先用高等數(shù)學的思想方法加以分析、再從中受到某種啟示進而尋找一種技巧性的初等解法進行解決[2]，就會顯得簡潔有效、思路大開，從而克服遇到某些技巧性較強的高中數(shù)學難題束手無策的困境．

4.2 領悟高等數(shù)學觀點，指導高中數(shù)學教學

德國數(shù)學家菲利克斯·克萊因曾指出：教師應具有較高的數(shù)學觀點，理由是，觀點越高，事物顯得越簡單．教師是否具有較高的數(shù)學觀點，是衡量教師數(shù)學素質(zhì)的重要標準[3].教師作為教學的直接實施者和課堂的主導者，如果在教學中能夠內(nèi)化高等數(shù)學觀點并適時應用于高中數(shù)學教學，才能更好地理清數(shù)學知識本質(zhì)、進而在教學中真正做到深入淺出．

4.3 下移高等數(shù)學內(nèi)容，革新高中數(shù)學教材

1977年8月，鄧小平同志在科學和教育工作座談會講話中談到：教材要反映出現(xiàn)代科學文化的先進水平，要符合我國的實際情況，要合乎現(xiàn)代科學的發(fā)展水平，要用最新的科學知識教育青年．因此在科學技術(shù)高速發(fā)展的今天，抓住高等數(shù)學與初等數(shù)學知識的結(jié)合點，將需要的高等數(shù)學內(nèi)容下移到高中數(shù)學教材，這將成為我國新一輪教材改革的方向之一．

1 沈文選．卡爾松不等式——一批著名不等式的綜合[J]．中學數(shù)學(湖北)，1994(7)：28-30

2 呂世虎等．從高等數(shù)學看中學數(shù)學[M]．北京：科學出版社，2012

3 楊遠廷．用高等數(shù)學的觀點看中學數(shù)學教學[J]．德陽教育學院學報，2000，14(1)：44-45