安徽省靈璧縣第一中學

朱 勇 (郵編：234200)

于是，結(jié)合文[1]中“折線型”函數(shù)的性質(zhì)及其推論我們得到：

推論1(即文[1]中的推論4)當ki>0(i=1,2,…,n)時，“折線型”函數(shù)的最小值在折線段的斜率的絕對值最小時對應(yīng)的折線段的某個端點處取得．若絕對值最小的斜率為負數(shù)，則在該折線段的右端點處取得；若絕對值最小的斜率為非負數(shù)，則在該折線段的左端點處取得．

例1(北師大版高中數(shù)學必修1第121頁問題3)求函數(shù)f(x)=|x|+|x-b|+|x-c|+|x-d|+|x-e|+|x-f|(0

解析ki=1(i=1,2,…,6)，由結(jié)論1的推論2知

當x∈[c,d]時，函數(shù)f(x)取得最小值，

故[f(x)]min=f(c)=|c|+|c-b|+|c-c|+|c-d|+|c-e|+|c-f|

=d+e+f-c-b．

例2求函數(shù)f(x)=-2|x+3|+7|x+1|-3|x-1|+5|x-2|的最值．

為方便，將各折線段所屬區(qū)間及相應(yīng)的斜率列表如下：

ki-27-35x(-∞,-3)(-3,-1)(-1,1)(1,2)(2,+∞)k--+-+

計算f(-1)=5，f(2)=8，

故當x=-1時，[f(x)]min=f(-1)=5，函數(shù)f(x)無最大值．

注表格中第三行的k表示相應(yīng)區(qū)間內(nèi)折線段的斜率值的符號．

小結(jié)求“折線型”函數(shù)最值的一般步驟：

(2)列表(3行n+2列)，填寫ki的值及各區(qū)間，并分別計算k的值．

1)ki的填寫順序務(wù)必按ai從小到大相應(yīng)的ki為序，且從第二個區(qū)間的上方位置開始填寫，即第一個位置空缺，以方便計算k值；

2)計算各區(qū)間內(nèi)k值的簡便方法：在表格中將相應(yīng)區(qū)間右側(cè)的豎線視為分隔線，分別計算分隔線兩側(cè)所有數(shù)之和，再作差即得k值．如例2中計算區(qū)間(-1,1)內(nèi)相應(yīng)的k值時，將ki的值分隔為“-2,7|-3,5”，則k=[(-2)+7]-[(-3)+5]=3>0．

(3)計算可能成為最值點的函數(shù)值并比較其大小，確定函數(shù)的最值．

至此，我們即得求“折線型”函數(shù)最值的一般方法，其過程類似于利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．

例3已知函數(shù)f(x)=2|x+4|-3|x+2|+a|x-1|+|x-2|-|x-3|的最大值為4，求a的值．

計算f(-4)=-2，f(3)=4，則[f(x)]max=f(3)=4，滿足條件．

ki2-3a1-1x(-∞,-4)(-4,-2)(-2,1)(1,2)(2,3)(3,+∞)k+5-a(+)-1-a(非正數(shù))a-1(-)a+1(非負數(shù))-

ki2-3a1-1x(-∞,-4)(-4,-2)(-2,1)(1,2)(2,3)(3,+∞)k+5-a(+)-1-a(+)a-1(-)a+1(-)-

1 楊智慧．有趣的“折線型”函數(shù)[J]．中學數(shù)學教學，2017(4)：37-39