孫勇成 蔡俊偉 秦望龍

摘要 為了得到高精度的流場(chǎng)數(shù)值仿真結(jié)果，文章發(fā)展了高階間 斷Galerkin（ DiscontinuousGalerkin，DG）有限元方法，并對(duì)三維歐拉方程進(jìn)行了數(shù)值求解。對(duì)三維復(fù)雜外形的繞流流場(chǎng)進(jìn)行了高精度數(shù)值仿真。計(jì)算結(jié)果表明采用DG方法可以在較稀疏的網(wǎng)格上得到高精度的數(shù)值仿真結(jié)果，具有較好的工程應(yīng)用前景。

【關(guān)鍵詞】間斷有限元 歐拉方程 三維數(shù)值模擬

1 引言

近年來隨著計(jì)算機(jī)軟硬件的更新和數(shù)值方法的不斷發(fā)展，計(jì)算流體力學(xué)（CFD）方法已經(jīng)成為工業(yè)設(shè)計(jì)和分析不可或缺的工具之一。在眾多的CFD方法中，間斷Galerkin（discontinuous Galerkin，DG）有限元方法精度高、插值模板小、適于處理復(fù)雜邊界問題，成為目前計(jì)算流體力學(xué)的研究熱點(diǎn)之一。

間斷Galerkin有限元方法由Reed和Hill提出并應(yīng)用于求解中子輸運(yùn)方程，但直到Cockbum和Shu提出了Runge-Kutta DG方法并給出了收斂性證明之后該方法才逐漸在CFD領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。隨后Bassi等人[2]對(duì)DG方法進(jìn)行了深入研究，將該方法用于工程問題的求解中。國(guó)內(nèi)的間斷Galerkin有限元方法研究起步較晚，近二十年才得到科研工作者的廣泛關(guān)注。但國(guó)內(nèi)的相關(guān)研究還主要集中于二維簡(jiǎn)單流動(dòng)的數(shù)值模擬，三維的復(fù)雜外形繞流高精度數(shù)值模擬研究還相對(duì)較少。

本文基于間斷Galerkin有限元格式發(fā)展了適用于三維復(fù)雜外形數(shù)值計(jì)算的高精度仿真方法。采用該方法對(duì)三維ONERA M6機(jī)翼繞流進(jìn)行了數(shù)值仿真，驗(yàn)證了文中方法的魯棒性和工程應(yīng)用前景。

2 控制方程

5 數(shù)值結(jié)果與分析

采用ONERA M6機(jī)翼繞流算例對(duì)文中方法進(jìn)行驗(yàn)證。來流條件為Ma∞= 0.699，攻角α：3.06°。文中采用51636個(gè)六面體網(wǎng)格單元進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。為了捕捉前緣弱激波，文中在機(jī)翼前緣處進(jìn)行局部網(wǎng)格加密（圖l（a））。圖1（b）為三階精度下（p=2）計(jì)算得到的機(jī)翼表面壓強(qiáng)云圖，流場(chǎng)分布較為光滑，在機(jī)翼前緣處存在弱間斷。圖2為計(jì)算得到的機(jī)翼上三個(gè)截面的表面壓強(qiáng)系數(shù)分布，可以看出該算例的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

6 結(jié)束語

本文采用高階間斷Galerkin有限元方法對(duì)三維Euler方程進(jìn)行了數(shù)值求解。通過ONERA M6機(jī)翼繞流算例的數(shù)值仿真，驗(yàn)證了文中方法在稀疏網(wǎng)格上對(duì)復(fù)雜外形的高精度流場(chǎng)進(jìn)行數(shù)值仿真的可行性。

參考文獻(xiàn)

[l]Wang Z J.High-order methods for theEuler and Navier-Stokes equations onuns truc tured grids [J]. Progress

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[2]F. Ba s s i，S.R.Rebay，A High-OrderAccurate Discontinuous Finite ElementMethod for the Numerical Solutionof the Compressible Navier-StokesEquations， Journal of ComputationalPhysics [J]. 131，1997， 267-279.

[3]張來平，劉偉，賀立新等，基于靜動(dòng)態(tài)重構(gòu)的高階間斷Galerkin/FV混合格式在二維非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格中的推廣[J].計(jì)算物理，2011， 28 （02）： 309-319.