（吉林省德惠市第四中學(xué) 吉林長春 130300）

高中數(shù)學(xué)階段函數(shù)貫穿始末，占有很大比重，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。函數(shù)的圖像和性質(zhì)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，其中函數(shù)的對(duì)稱性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)。對(duì)稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問題當(dāng)中，而且利用對(duì)稱性往往能更簡捷地使問題得到解決?？疾閷?duì)稱性能有效地考查學(xué)生的邏輯思維能力、空間想象能力、分析問題和解決問題的能力，因而是高考和競賽中命題的熱點(diǎn)和重點(diǎn)。筆者在分析2009年和2010年高考試題時(shí)發(fā)現(xiàn)：09年全國卷Ⅰ選擇題第11題、山東卷理科高考數(shù)學(xué)第16題，都是一些直接應(yīng)用函數(shù)對(duì)稱性解決的問題；10年全國卷Ⅰ填空題第15題，也涉及到函數(shù)圖像對(duì)稱性問題。下面通過函數(shù)自身的對(duì)稱性和不同函數(shù)之間的對(duì)稱性這兩個(gè)方面來探討與函數(shù)對(duì)稱性有關(guān)的問題。

一、利用函數(shù)自身的對(duì)稱性

性質(zhì)1 函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于A（a，b ）對(duì)稱的充要條件是f（x）+ f（2a-x）=2b。

推論：函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的充要條件是f（x）+f（-x）=0。

性質(zhì)2 函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱的充要條件是f（a+x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）。

推論：函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是f（x）=f（-x）.

性質(zhì)3 （1）若函數(shù)y=f（x）的圖象同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A（a，c）和點(diǎn)B（b，c）成中心對(duì)稱（ab），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2a-b是其一個(gè)周期。

（2）若函數(shù)y=f（x）圖象同時(shí)關(guān)于直線x=a和直線x=b成軸對(duì)稱（ab），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2a-b是其一個(gè)周期。

二、利用不同函數(shù)間的對(duì)稱性

性質(zhì)4 函數(shù)y=f（x）與y=2b-f（2a-x）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（a，b）成中心對(duì)稱。

性質(zhì)5 （1）函數(shù)y=f（x）與y=f（2a-x）的圖象關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱。

（2）函數(shù)y=f（x）與a-x=f（a-y）的圖象關(guān)于直線x+y=a成軸對(duì)稱。

（3）函數(shù)y=f（x）與x-a=f（y+a）的圖象關(guān)于直線x-y=a成軸對(duì)稱。

推論：函數(shù)y=f（x）的圖像與x=f（y）的圖象關(guān)于直線x=y成軸對(duì)稱。

三、巧用對(duì)稱性解決數(shù)學(xué)中的動(dòng)點(diǎn)最值問題

1.問題原型：

（人教版八年級(jí)上冊(cè)第42頁探究）如圖1-1，要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？

這個(gè)“確定最短路線”問題，是一個(gè)利用軸對(duì)稱解決極值的經(jīng)典問題。解這類問題

2.基本解法：

對(duì)稱共線法。利用軸對(duì)稱變換，將線路中各線段映射到同一直線上（線路長度不變），確定動(dòng)點(diǎn)位置，計(jì)算線路最短長度。

3.例題解析與歸納經(jīng)驗(yàn)

例1.要在河邊修一個(gè)小泵站，分別向張村和李莊送水，問水泵站應(yīng)建在河邊的什么地方，可便所用的水管最短？

分析：如何證明兩線段和最短？考慮到初一學(xué)的線段公理“兩點(diǎn)之間，線段最短”，那么，如何把這兩條線段轉(zhuǎn)化成一條線段呢？此時(shí)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)稱軸是軸對(duì)稱連線的中垂線。作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連結(jié)A'B直線l于P點(diǎn)，此時(shí)，兩線段的和PA+PB=PA'+PB=A'B最短。

例2.已知A（-1，1）B（2，3），在x軸上找一點(diǎn)P，使AP+BP最短。此時(shí)AP+BP的長為_______

分析：（與例1方法相同）過點(diǎn)P作水平線，過點(diǎn)P作垂直于x軸直線，兩直線交于點(diǎn)C，A'C=3，BC=4，利用勾股定理求出A'B=5，即AP+BP的長為5。

例3.在菱形ABCD中AB=2，∠BAD=60°，M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。求PM+PB的最小值是________________.

分析：根據(jù)菱形的軸對(duì)稱性可知，點(diǎn)B關(guān)于對(duì)角線AC的對(duì)稱點(diǎn)就是點(diǎn)D，連結(jié)PD.則PB=PD。那么PM+PB=PM+PD。即PM+PB的最小值即就是PD+PM的最小值，也就是點(diǎn)DM的值。因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，∠BAD=60°，△ABD是等邊三角形。又M是AB的中點(diǎn)，所以DM是△ABD中線，又因?yàn)榈妊切稳€合一的性質(zhì)，所以DM是△ABD高線。又因?yàn)锳B=2，所以AM=，DM=3，故PA+PB的最小值是3。

例4.正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形 ，點(diǎn)E在正方形ABCD的內(nèi)部，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，求PD+PE的最小值____________.

分析：根據(jù)正方形的軸對(duì)稱性可知，點(diǎn)D關(guān)于對(duì)角線AC的對(duì)稱點(diǎn)就是點(diǎn)B，連結(jié)PB，則BP=DP。那么PD+PE=PB+PE。即PD+PE的最小值即就是PB+PE的最小值，PB+PE的最小值為BE。因?yàn)檎叫蜛BCD的面積為12，則AB=2，又因?yàn)椤鰽BE是等邊三角形。又M是AB的中點(diǎn)，所以DM是△ABD中線，又因?yàn)榈妊切稳€合一的性質(zhì)，所以BE=AB=2，又所以PD+PE的最小值是3。

歸納經(jīng)驗(yàn)：此類問題的共同特點(diǎn)是將兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，這條線段的長度就是最短距離，怎樣找到這條線段呢？步驟如下（以最后一題為例）

1.動(dòng)點(diǎn)P在AC直線上運(yùn)動(dòng)，這條直線AC即為對(duì)稱軸。

2.找出（或作出）點(diǎn)D關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)B

3.連結(jié)BE，BE即就是這條線段。BE的長度即是最短距離，（當(dāng)PD+PE取最小值時(shí)，點(diǎn)P就是BE與對(duì)稱軸的交點(diǎn).。

4.利用所學(xué)的知識(shí)，求BE的長度。

總之，在這一類動(dòng)點(diǎn)最值問題中，關(guān)鍵在于，我們善于作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，這對(duì)于我們解決此類問題有事半功倍的作用。