蘇文慧

（山東省濱州市濱州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2016級(jí)10班，山東 濱州）

恒成立作為高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的問(wèn)題，其涵蓋了函數(shù)、不等式、幾何等多種數(shù)學(xué)知識(shí)，求解恒成立問(wèn)題是對(duì)高中生數(shù)學(xué)知識(shí)掌握能力與靈活運(yùn)用能力的系統(tǒng)考查。通過(guò)運(yùn)用不同解題方法，可以有效將數(shù)學(xué)知識(shí)串聯(lián)成體系，對(duì)培養(yǎng)高中生形成完備的數(shù)學(xué)思維有著極大的助益。

一、應(yīng)用函數(shù)法解決恒成立問(wèn)題

以下題為例，已知存在x∈R，使得不等式nx2+2x+3＞0恒成立，求n的取值范圍。針對(duì)此題進(jìn)行求解，可引入二次函數(shù)知識(shí)，設(shè)二次函數(shù)f（x）=nx2+2x+3，并畫(huà)出函數(shù)圖象。通過(guò)圖象可得知，當(dāng)n=0時(shí)，不等式成立；當(dāng)n＞0時(shí)，可求得二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，選取x軸上方部分；當(dāng)n＜0時(shí)，同理也選取x軸上方部分。經(jīng)過(guò)以上針對(duì)n的分情況討論與計(jì)算，從而得出n的取值范圍為（0，3）。

二、應(yīng)用分離參數(shù)法解決恒成立問(wèn)題

當(dāng)解決帶有參數(shù)的恒成立問(wèn)題時(shí)，應(yīng)用分離參數(shù)法將其中的參數(shù)提取出來(lái)，將不等式變形，可以使得原有的復(fù)雜恒成立問(wèn)題得到簡(jiǎn)化與快速解答。以下題為例，存在x∈R滿(mǎn)足不等式4m+sinx+m2≥0，且該不等式恒成立，求m的取值范圍。在求解這道題時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)其中包含了x和m兩個(gè)變量，且m含有二次項(xiàng)，因此在處理此問(wèn)題時(shí)可先將不等式變形，將不等號(hào)的一端轉(zhuǎn)化為只含有m的方程，另一端只含有x，從而得到代數(shù)式m2-4m，然后將不等式另一端整體看做一個(gè)函數(shù)，求解出函數(shù)最值。接下來(lái)考慮關(guān)于m的代數(shù)式，可得出不等式m2-4m＞5，最終求得m的取值范圍。

三、應(yīng)用變化主元法解決恒成立問(wèn)題

在求解恒成立問(wèn)題的過(guò)程中，經(jīng)常需要證明不等式，涉及許多參量變化。由于常見(jiàn)的思維定式，我們往往習(xí)慣把多元不等式看成是關(guān)于x的不等式[1]。而通過(guò)對(duì)參量進(jìn)行還原處理，可以高效便捷地解決恒成立問(wèn)題。以下題為例，對(duì)于任意的倘若能夠使函數(shù)f（x）=ax2-2x+1-a＜0恒成立，求x的取值范圍。通常在面對(duì)恒成立問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)先結(jié)合題目中直接所給出的條件進(jìn)行求解，無(wú)法判斷求解方法是否便捷有效。因此，在進(jìn)行此類(lèi)問(wèn)題求解時(shí)應(yīng)當(dāng)對(duì)所給題目進(jìn)行詳盡的分析，長(zhǎng)此以往，能夠有助于形成做題習(xí)慣、積累經(jīng)驗(yàn)，從而提高審題速度與解題效果。在求解此題目時(shí)，可以先設(shè)從而使得題目轉(zhuǎn)化為 g（a）=（x-1）2a+1-2x＜0 在［-2，2］上恒成立，則可以得出最終解得在求解多元不等式問(wèn)題時(shí)，解題思路的關(guān)鍵在于確定將哪個(gè)變量作為主元，本題將a定義為主元，將題目轉(zhuǎn)化為a的一次函數(shù)小于0恒成立問(wèn)題，可以有效省去變量分離時(shí)分類(lèi)討論步驟，使解題步驟得到了有效簡(jiǎn)化。

四、應(yīng)用構(gòu)造法解決恒成立問(wèn)題

（一）復(fù)數(shù)構(gòu)造法

通過(guò)以往知識(shí)的學(xué)習(xí)，我們都了解到復(fù)數(shù)由實(shí)部和虛部?jī)刹糠纸M成，而復(fù)數(shù)的部分性質(zhì)與實(shí)數(shù)有一定聯(lián)系，因此可以借助復(fù)數(shù)的構(gòu)造求解不等式恒成立問(wèn)題。以下題為例，已知存在x，y∈R，求證解決此題時(shí)可以結(jié)合不等式特點(diǎn)，設(shè) z1=x+yi，z2=（x-3）+（y+4）i，利用絕對(duì)值不等式特性進(jìn)行計(jì)算，再將結(jié)果帶入不等式中即可求解。由此看出，可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)證明不等式恒成立問(wèn)題，我們所構(gòu)造的函數(shù)或者其他的數(shù)學(xué)形式應(yīng)該是一種條件構(gòu)造，也就是要構(gòu)造出外延和擴(kuò)大的表達(dá)形式，利用其對(duì)縮小形式進(jìn)行證明，但這個(gè)過(guò)程不可顛倒，否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論[2]。

（二）幾何構(gòu)造法

在解決關(guān)于不等式的恒成立問(wèn)題時(shí)，通常要應(yīng)用構(gòu)造幾何圖形或函數(shù)的方式進(jìn)行計(jì)算，可將幾何中求最值問(wèn)題與不等式所包含的條件進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，完成問(wèn)題解答。以下題為例，已知等式當(dāng)進(jìn)行此題解答時(shí)，可將該等式看做橢圓方程的復(fù)數(shù)形式的反映，將不等式證明問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)闄E圓方程上的點(diǎn)到定點(diǎn)的最大距離為設(shè)橢圓上存在任意一點(diǎn)cosθ，2sinθ），計(jì)算點(diǎn)M到點(diǎn)P的距離，利用的特性進(jìn)行代入，便可以有效求得答案。

總而言之，高中數(shù)學(xué)中恒成立常見(jiàn)問(wèn)題可以通過(guò)多種策略進(jìn)行求解，關(guān)鍵在于解題思路的深度拓展，綜合運(yùn)用既往掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)，尋求最優(yōu)方法進(jìn)行問(wèn)題解答，在掌握扎實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)的前提下學(xué)會(huì)靈活應(yīng)變，從而提高數(shù)學(xué)能力。