宗鳳喜，李如兵,2

（1.曲靖師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 曲靖 655011;2.上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，上海 200433）

0 引言

排序集抽樣是Mclntyre[1，2]首次提出的，在樣本容量相同的情況下，與簡單隨機(jī)抽樣相比，排序集抽樣得到的樣本包含更多的總體信息，從而能夠?qū)傮w做出更準(zhǔn)確的推斷。有時(shí)候,對樣本的測量可能比較困難,比如成本較高,或者花費(fèi)時(shí)間較長,或者具有破壞性,但是通過簡單的方法容易對樣本的大小進(jìn)行排序,比較適合用排序集抽樣方法。很多學(xué)者都研究了基于排序集抽樣的情況下,某些分布未知參數(shù)的Bayes估計(jì)。例如,Adatia[3]介紹了half-logistic分布在排序集抽樣下的Bayes估計(jì)；Shaibu和Muttlak[4]介紹了在排序集抽樣下正態(tài)分布、指數(shù)分布以及Gamma分布的Bayes估計(jì)和相關(guān)性質(zhì)；Sinha等[5]研究了在排序集抽樣下正態(tài)分布和指數(shù)分布參數(shù)的最優(yōu)線性無偏估計(jì)；Stokes[6]研究了在排序集抽樣下位置-尺度分布族參數(shù)的最大似然估計(jì)；Al-Saleh等[7]探討了在排序集抽樣下基于平方損失函數(shù)指數(shù)分布參數(shù)的Bayes估計(jì)，Sadek等[8]研究了在排序集抽樣下指數(shù)分布參數(shù)的Bayes估計(jì)。

Pareto分布是意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家Pareto（1987）將其作為一種收入分布最先研究的，一個(gè)多世紀(jì)以來,被廣泛應(yīng)用在很多領(lǐng)域，比如，個(gè)人收入、城市人口、股票價(jià)格、保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)、商業(yè)失效、某種藥理過程后病人的存活時(shí)間等都可以用Pareto分布來描述。因此，研究Pareto分布具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。國內(nèi)外很多學(xué)者都討論過Pareto分布的性質(zhì)：Abu-Dayyeh等[9]研究了排序集抽樣下Pareto分布形狀參數(shù)及尺度參數(shù)的最大似然估計(jì)、最小方差無偏估計(jì)；Omar等[10]研究了在極值排序集抽樣下Pareto分布形狀參數(shù)及尺度參數(shù)的矩估計(jì)以及最小偏差無偏估計(jì)；Ouyang等[11]對壽命分布為Pareto分布的n個(gè)元件進(jìn)行定數(shù)截尾實(shí)驗(yàn)，當(dāng)觀測到有r個(gè)元件失效后，研究了剩余元件的失效時(shí)間以及還需要的實(shí)驗(yàn)時(shí)間的Bayes預(yù)測；李海芬和峁詩松[12]討論了Pareto分布的R2檢驗(yàn)法；李艷穎[13]在平方損失及Q-對稱熵?fù)p失下給出了Pareto分布形狀參數(shù)的貝葉斯估計(jì)，并討論了估計(jì)的容許性；康會(huì)光等[14]和韋瑩瑩等[15]研究了Linex損失下Pareto分布族參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)。

本文針對Pareto分布的尺度參數(shù)，首先給出基于簡單隨機(jī)樣本（SRS）下的Bayes估計(jì)，接著研究基于排序集樣本（RSS）下的Bayes估計(jì)，最后通過Monte Carlo模擬來比較各種估計(jì)的偏差和均方誤差，結(jié)果表明，相同條件下基于RSS得到的估計(jì)比基于SRS得到的估計(jì)更有效，并且在相同條件下基于共軛先驗(yàn)得到的估計(jì)比基于Jeffreys先驗(yàn)得到的估計(jì)更有效。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)總體的概率密度和分布函數(shù)分別為f(x)，F(xiàn)(x)，容量為n的排序集樣本按如下程序獲得：首先從總體中獲取容量為 n2個(gè)簡單隨機(jī)樣本：X11，X12，…X1n;X21，X22，…，X2n;…;Xn1，Xn2，…，Xnn。對每組樣本按從小到大的順序進(jìn)行排序：X(1)1，X(1)2，…X(1)n;X(2)1，X(2)2，…，X(2)n;…;X(n)1，X(n)2，…X(n)n。記Yi=X(i)i，i=1，2，…，n。則稱Y1，Y2，…，Yn為一組只有一個(gè)循環(huán)的排序集樣本,如將上述過程循環(huán)m次，則可以得到有m個(gè)循環(huán)的排序集樣本：Y11，Y12，…Y1n;Y21，Y22.，…，Y2n;…;Ym1，Ym2，…，Ymn,簡稱 RSS。在上述獲取RSS的過程中，如果假設(shè)排序過程中不存在誤差，或誤差非常小可以忽略不計(jì)，則Yi或Yjii=1，2，…，n;j=1，…，m的概率密度即為容量為n的簡單隨機(jī)樣本（SRS）的第i個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的概率密度，具有如下表達(dá)式：

Pareto分布的概率密度和分布函數(shù)分別為如下表達(dá)式：

其中，θ為形狀參數(shù)，α為尺度參數(shù)，也稱為門限參數(shù)，在這里假設(shè)是已知的。

損失函數(shù)是Bayes估計(jì)中非常重要的一部分，下面給出本文中涉及到的三種損失函數(shù)：平方損失函數(shù)（squard error loss function）、Q-對稱熵?fù)p失函數(shù)(Q-symmetric entropy loss function)、Linex 損失函數(shù)(Linex loss function),表達(dá)式分別為：

其中，δ是θ的估計(jì)值。

研究Bayes估計(jì)的前提是要給出待估參數(shù)的先驗(yàn)分布，本文主要考慮共軛先驗(yàn)分布即Gamma分布，以及Jeffreys先驗(yàn)分布,其表達(dá)式分別為：

當(dāng)β=λ=0，共軛先驗(yàn)分布就變成了Jeffres先驗(yàn)分布。

2 Bayes估計(jì)

設(shè)X1，X2，…，Xn為來自Pareto分布的簡單隨機(jī)樣本（SRS），x1，x2，…，xn為相應(yīng)樣本的觀測值；設(shè)Y1，Y2，…，Yn為來自Pareto分布的只有一個(gè)循環(huán)的排序集樣本（RSS），y1，y2，…，yn為相應(yīng)樣本的觀測值；Y11，Y12，…Y1n;Y21，Y22.…，Y2n;…;Ym1，Ym2，…，Ymn為來自Pareto分布的有m個(gè)循環(huán) 的 排 序 集 樣 本 ，y11，y12，…，y1n；y21，y22，…，y2n;ym1，ym2，…，ymn為相應(yīng)樣本的觀測值，本文用 π(θ|x)，π(θ|y)分別表示在給定SRS(X)和RSS(Y)下的參數(shù)θ的后驗(yàn)概率密度。

2.1 基于SRS的Bayes估計(jì)

基于SRS的Bayes估計(jì),很多文獻(xiàn)都進(jìn)行了研究，這里只是以定理的形式列舉出來，而要推導(dǎo)出定理中涉及的結(jié)論，要用到的關(guān)鍵內(nèi)容以引理的形式給出，這些引理在后面推導(dǎo)基于RSS的Bayes估計(jì)時(shí)也要用到,并且下面的引理適用于任何分布的參數(shù)以及任何給定的先驗(yàn)分布。

引理1[16]：在給定先驗(yàn)分布及平方損失函數(shù)下，θ的Bayes估計(jì)為后驗(yàn)分布 π(θ|X)的均值，即：

并且該估計(jì)是唯一的，是可容許的。

引理2[13]：在給定先驗(yàn)分布及Q-對稱熵?fù)p失函數(shù)下，θ的Bayes估計(jì)為：

并且該估計(jì)是唯一的，是容許的。

引理3[13]：在給定先驗(yàn)分布及Linex損失函數(shù)下，θ的Bayes估計(jì)為：

并且該估計(jì)是唯一的，是容許的.

下面以三個(gè)定理的形式給出基于平方損失、Q-對稱熵?fù)p失以及Linex損失下θ的Bayes估計(jì)。

定理1[13]：在SRS和平方損失函數(shù)下：基于Gamma先驗(yàn)分布θ的Bayes估計(jì)為：

而基于Jeffreys先驗(yàn)分布的Bayes估計(jì)為：

定理2[13]:在SRS和Q-對稱熵?fù)p失函數(shù)下，基于Gamma先驗(yàn)分布θ的Bayes估計(jì)為：

而基于Jeffreys先驗(yàn)分布θ的Bayes估計(jì)為：

定理3[13]:在SRS和Linex損失函數(shù)下，基于Gamma先驗(yàn)分布，θ的Bayes估計(jì)為：

而基于Jeffreys先驗(yàn)分布θ的Bayes估計(jì)為:

2.2 基于RSS的Bayes估計(jì)

定理4：在只有一個(gè)循環(huán)的RSS和平方損失函數(shù)下，基于Gamma先驗(yàn)分布θ的Bayes估計(jì)為：

而基于Jeffreys先驗(yàn)分布的Bayes估計(jì)為：

其中Cij(j)同上

證明：由式（1）至式（3）式可知Yj的概率密度為：

由于Y1，Y2，…，Yn是相互獨(dú)立的，因此只有一個(gè)循環(huán)的RSS的聯(lián)合概率密度為：

因此，當(dāng)先驗(yàn)分布為Gamma分布時(shí)，θ的后驗(yàn)概率密度 π(θ|Y)有如下性質(zhì)：

根據(jù)Gamma分布概率密度的性質(zhì)，由引理1可得在只有一個(gè)循環(huán)的RSS和平方損失函數(shù)下，基于Gamma先驗(yàn)分布θ的Bayes估計(jì)為：

當(dāng)上式中的β=λ=0時(shí)，可得在只有一個(gè)循環(huán)的RSS和平方損失函數(shù)下，基于Jeffreys先驗(yàn)分布的Bayes估計(jì)為：

定理5：在只有一個(gè)循環(huán)的RSS和Q-對稱熵?fù)p失函數(shù)下，基于Gamma先驗(yàn)分布θ的Bayes估計(jì)為：

其中Cij(j)同上

而基于Jeffreys先驗(yàn)分布的Bayes估計(jì)為：

注：由引理2、定理4中的式（20）以及Gamma分布概率密度的性質(zhì)，定理5很容易得到證明。

定理6：在只有一個(gè)循環(huán)的RSS和Linex損失函數(shù)下，基于Gamma先驗(yàn)分布θ的Bayes估計(jì)為：

而基于Jeffreys先驗(yàn)分布的Bayes估計(jì)為：

與定理4中的相同。

注：由引理3、定理4中的式（20）以及Gamma分布概率密度的性質(zhì)，定理6很容易得到證明。

下面介紹在有m個(gè)循環(huán)的RSS下Pareto分布尺度參數(shù)θ的Bayes估計(jì)。

定理7：在有m個(gè)循環(huán)的RSS和平方損失函數(shù)下，基于Gamma先驗(yàn)分布θ的Bayes估計(jì)為：

而基于Jeffreys先驗(yàn)分布的Bayes估計(jì)為：

其中：

因此，當(dāng)先驗(yàn)分布為Gamma分布時(shí)，θ的后驗(yàn)概率密度 π(θ|Y)有如下性質(zhì)：

根據(jù)Gamma分布概率密度的性質(zhì)，由引理1可得在有m個(gè)循環(huán)的RSS和平方損失函數(shù)下，基于Gamma先驗(yàn)分布θ的Bayes估計(jì)為：

當(dāng)上式中的β=λ=0時(shí)，可得在有m個(gè)循環(huán)的RSS和平方損失函數(shù)下，基于Jeffreys先驗(yàn)分布的Bayes估計(jì)為：

定理8：在有m個(gè)循環(huán)的RSS和Q-對稱熵?fù)p失函數(shù)下，基于Gamma先驗(yàn)分布θ的Bayes估計(jì)為：

而基于Jeffreys先驗(yàn)分布的Bayes估計(jì)為：

注：由引理2、定理7中的式（27）以及Gamma分布概率密度的性質(zhì)，定理8很容易得到證明。

定理9：在有m個(gè)循環(huán)的RSS和Linex損失函數(shù)下，基于Gamma先驗(yàn)分布θ的Bayes估計(jì)為：

而基于Jeffreys先驗(yàn)分布的Bayes估計(jì)為：

注：由引理3、定理7中的式（27）以及Gamma分布概率密度的性質(zhì)，定理9很容易得到證明。

3 數(shù)值模擬

在上文中，在Matlab中利用Monte Carlo法，通過比較偏差和均方誤差來比較得到的各種估計(jì)的優(yōu)劣，偏差與均方誤差越小，估計(jì)就越好。借鑒文獻(xiàn)[8],本文取n=3，4，5，6;λ=β=1;C=1，-1;關(guān)于Pareto分布，本文選取文獻(xiàn)[10]中涉及到的一個(gè)真實(shí)模型：α=1.625，θ=2.314.q=1。模擬結(jié)果見下頁表1和表2。

從表1發(fā)現(xiàn)，關(guān)于參數(shù)θ的所有Bayes估計(jì)都是有偏的，但偏差隨著樣本容量n的增加而減??；相同條件下，基于Gamma先驗(yàn)分布得到的參數(shù)θ的Bayes估計(jì)值與基于Jeffery先驗(yàn)分布得到的Bayes估計(jì)值相比，偏差要小一些；最重要的是，在相同條件下，基于RSS得到的參數(shù)θ的Bayes估計(jì)與基于SRS得到的Bayes估計(jì)相比偏差要小得多。

從表2發(fā)現(xiàn)，所有Bayes估計(jì)的均方誤差隨著樣本容量n的增加而減小，符合點(diǎn)估計(jì)的一般要求；相同條件下基于Gamma先驗(yàn)分布得到的參數(shù)θ的Bayes估計(jì)值與基于Jeffery先驗(yàn)分布得到的Bayes估計(jì)值相比，均方誤差明顯的小很多；最重要的是，在相同條件下，基于RSS得到的參數(shù)θ的Bayes估計(jì)與基于SRS得到的Bayes估計(jì)相比，均方誤差要小的多.當(dāng)c=-1時(shí)，定理6中的式（24）對數(shù)中出現(xiàn)了負(fù)數(shù)，所以此時(shí)的偏差與均方誤差都是復(fù)數(shù)，在表1和表2中復(fù)數(shù)沒有列出。表1和表2的結(jié)果充分表明了，針對Pareto的形狀參數(shù)，本文介紹的基于RSS的Bayes估計(jì)是有效的。

表1 Bayes估計(jì)的偏差

表2 Bayes估計(jì)的均方誤差