胡俊美，賈隨軍

（1.石家莊鐵道大學 數理系，河北 石家莊 050043；2.浙江外國語學院 教育科學學院，浙江 杭州 310012）

二次型理論是數學最重要的內容之一，在數學各分支以及力學、物理學、工程技術等領域都有著廣泛應用。如在解析幾何中，二次型常見于二次曲線和曲面方程；在力學和物理學中，二次型常見于用廣義速度的分量來表示系統動能的表達式。數論中的二元二次型是指整系數二次齊次多項式ax2+bxy+cy2。

眾所周知，數論是研究數的規(guī)律，特別是整數性質的數學分支。整數是最基本、最貼近現實、簡單易懂的數學對象，古希臘時代就將它作為和諧與完美的典范，并視其為組成宇宙的基本原則，形成了所謂“萬物皆數”的哲學信念。因此，對整數性質的探索便成為歷代數學家追求完美、探索宇宙、考驗智力的基本目標。

1 二元二次型思想的萌芽

正整數有兩種基本運算——加法和乘法。把一個正整數分拆成幾個正整數的和與積的問題稱為“表示問題”。乘法表示問題比較簡單，算術基本定理已經從理論上給予解決，但加法表示問題則復雜得多。為此，人們開始探索是否每個數都能用一些特殊的數來進行加法表示，如平方數、立方數、圖形數。關于這個問題最早可以追溯到古希臘畢達哥拉斯（Phthagoras，約前560—約前480）學派對勾股數的研究，但直到希臘數學晚期丟番圖（Diophantus，約246—330）時代才形成較為廣泛、系統的表示問題。

1.1 丟番圖《算術》中的型數

丟番圖被譽為“代數學之父”，他的鴻篇巨著《算術》（Arithmetica）解決了很多代數方程和數論問題。這是一部劃時代的著作，其歷史影響堪與歐幾里得（Euclid，約前330—前275）的《幾何原本》相媲美，將古希臘代數與算術發(fā)展推至巔峰。

《算術》共13卷，對畢達哥拉斯學派x2+y2=z2這樣不定方程的求解問題進行了深入而系統的研究。如第二卷的第18個問題“把已知的一個平方數分解為兩個平方數之和”，第28個問題“求兩個平方數，使其乘積與其中任何一個相加后仍為平方數”；第四卷第3個問題“求兩個平方數，使其和恰為立方數”等。丟番圖還考慮很多關于線性或二次方程的解的問題，如形如8n+7的整數不能表示成三個平方數之和。

顯然，丟番圖是一個當之無愧的解題能手，但他不是一個深邃的思想家，未能對其所用方法的實質加以統一與概括，缺乏一般性的意義。另外，丟番圖在《算術》中所提到問題的解僅為正有理數，受所處時代的影響，他不承認負數解和無理數解。然而，我們不難發(fā)現丟番圖不論在加法表示還是在求解不定方程的過程中都對一些特殊的數格外關注，如立方數，尤其是平方數，即所謂的型數x2。他把型數作為獨立的個體來研究，考察了把一個數表示成型x2+y2的問題，而這個型正是最基本、最簡單二元二次型，由此可以把他的工作看作是二元二次型研究的肇始。

文藝復興時期，數學家們出版了《算術》的很多譯本，但其中最有名的是1621年巴歇（Bachet C G，1581—1638）的拉丁文譯本，它正是法國數學家費馬研究工作的出發(fā)點。

1.2 費馬對型x2+ny2的初步研究

費馬（P de Fermat，1601—1665）是歷史上最偉大的數學家之一，在許多領域都做出了杰出貢獻。他率先拉開了微積分理論研究的帷幕，奠定了解析幾何的基礎，與帕斯卡共同創(chuàng)立了概率論，但他的非凡才能在數論方面表現得更為淋漓盡致。可以說，他的數論貢獻引領了19世紀之前數論的研究方向。正是由于他的工作，整數論發(fā)展成為一門獨立的學科。然而，費馬生前從未發(fā)表過任何著作，其理論成果都寫在讀書評注以及和朋友的通信中。

眾所周知，除2外，任何素數都可以表示成4n+1和4n+3的形式。1640年12月25日，費馬在寫給好友梅森（Mersenne M，1588—1648）的信中指出：形如4n+1的素數及其平方能唯一表示為兩平方數之和；其立方及四次方能以兩種方式表示為兩平方數之和；其五次及六次方能以3種方式表示為兩平方數之和；以此類推，直至無窮。如5=22+12，52=42+32，53=22+112=52+102。1654年，費馬在寫給帕斯卡（Pascal B，1623—1662）的信中進一步講到：形如8n+1及8n+3的素數具有型x2+2y2；3及形如3n+1的素數具有型x2+3y2。[1]除此，1658年費馬在給迪格比（Digby）的信中又談到了關于x2+5y2的猜想，得出：若p和q是形如20n+3或20n+7的兩個素數，則pq具有型x2+5y2。

佩爾方程是最古老的方程之一，對這個問題的研究在古希臘和印度都有著悠久的歷史。1657年，費馬在給弗瑞尼科（Frénicle B，1604—1674）的信中講到：若b是一個非完全平方的整數，則佩爾方程x2+by2=1有無窮多解。隨后他進行了推廣，聲稱自己在已知b和c時，解決了x2+by2=c在什么情況下可解的問題，并指出可用無窮遞降法對上述結論給出證明。然而，費馬的這一工作在現有的資料中都沒有記載。

盡管費馬對型的研究來源于對素數及解方程的興趣，他或許根本就沒有意識到這類問題的重要性，但與丟番圖相比較，他在二元二次型方面取得了兩項重要進展：第一，他打破了丟番圖對有理數的考察，回到了數論最基本的研究對象——整數，這兩種數在二元二次型理論中有著本質不同；第二，他不僅研究了丟番圖的將一個數表示為型x2+y2的問題，還進一步研究了將一個數表示為型x2+2y2、x2+3y2，乃至x2+ny2的問題。雖然費馬對二元二次型的研究只是局限在x2+ny2這種形式，但他遺留下來的一系列問題成為了其他數學家研究工作的出發(fā)點。關于費馬這些最簡單的“二次型”定理，雅可比（Jacobi C G J，1804—1851）評價說：“在證明這些論斷的過程中，數學家創(chuàng)立了算術理論?！盵2]

1.3 歐拉對費馬工作的推進

繼費馬之后，數論很長一段時間都處于沉寂狀態(tài)，隨著歐拉（Euler L，1707—1783）相關工作的問世，它的重要性才日益凸顯出來。誠然，數論中的很多問題陳述起來淺顯易懂，但要回答起來往往令許多杰出的大數學家費盡周折。費馬對他的發(fā)現成果幾乎沒有給出任何證明，如果說他編寫了一部高超的習題集，歐拉則可看作是最忠實的解題者。

歐拉證明了費馬關于型x2+y2、x2+2y2、x2+3y2的論斷。他雖然沒能證明費馬關于“若p和q是形如20n+3或20n+7的兩個素數，則pq具有型x2+5y2”的猜想，但他在1744年進一步提出猜想：p為具有型x2+5y2的奇素數當且僅當p=20n+1或p=20n+9；2p具有型x2+5y2當且僅當p=20n+3或p=20n+7。隨后，歐拉又猜想：p為具有型x2+14y2或2x2+7y2的奇素數（p≠7）當且僅當p=56n+1、56n+9、56n+15、56n+23、56n+25或56n+39；3p具有型x2+14y2當且僅當p=56n+3、56n+5、56n+13、56n+19、56n+27或56n+45。除此，他還對型x2+27y2、x2+64y2提出一系列猜想。歐拉猜想具有重要的歷史價值，1773年，法國著名數學家拉格朗日（Lagrange J L，1736—1813）發(fā)展了一種由二元二次型的潛在結構向明顯結構過渡的語言，利用二元二次型的約化理論以及等價的思想，對歐拉的許多猜想給出了證明。

歐拉的論文及信件中還包含著許多并未證明的算術定理。如：方便數（Convenient number）d=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12，13，15，…，1 320，1 365，1 848（共65個）滿足：若ab=d，且有一個數可唯一表示為型ax2+by2，其中（ax，by）=1，則這個數一定為素數p、2p或2k。

由此看見，歐拉的工作是對費馬工作的延續(xù)與推廣，考慮了型ax2+by2。他在解決型x2+3y2這個問題的過程中，又不可回避、機緣巧合地遇到了型x2+xy+y2。事實上，盡管經過了很多嘗試，歐拉只完整地證明了費馬的二平方定理，他在二元二次型發(fā)展過程中最大的貢獻在于介紹了很多前人未曾考慮的例子，并采用了分析的方法。

2 二元二次型理論的形成

歐拉時期的二元二次型理論堪稱是一系列問題構成的匯本，幾乎有多少問題就有多少理論、就有多少技巧，數學家們需逐個將其擊破，這就陷入了一種看似不斷推廣與深入、實則雜亂無章的局面。拉格朗日和高斯（Gauss C F，1777—1855）通過考慮一般的二元二次型實現了數論研究方法的一大飛躍，他們不再針對個別的二次型，而是對所有型進行一種高度抽象的研究，實現了一堆互不關聯的結論從雜亂叢集走向完美統一的道路。

2.1 拉格朗日的奠基性工作

在數論中，歐拉只是解決了費馬提出的少數幾個問題，拉格朗日才是真正意義上的繼承者。他憑借著自己敏銳的判斷力與獨創(chuàng)的技巧證明了費馬提出的一系列命題與猜想。可以說，拉格朗日是近代二元二次型理論的奠基者。

1768年，拉格朗日完成論文《算術問題的解》，首次證明了佩爾方程x2+by2=1不僅有解，而且解有無窮多個。但因其過程太過冗長繁瑣，他一直對此耿耿于懷，更讓他不滿的是，直到1773年這篇論文才得以問世。

1773年，拉格朗日發(fā)表論文《算術研究》（Recherches d'arithmétique），這是他在二元二次型理論中做出的最重要的工作，通過證明費馬、歐拉遺留下的把素數表示成型x2+2y2、x2+3y2等問題，發(fā)展出了二元二次型的一般理論。這是數學史上首次以一種系統而明確的方式建立起來的最完善的算術理論。他完全超越費馬和歐拉對個別問題個別處理的思維模式，把對無窮多個型的研究化簡成對有限多個型類的研究，在數論史乃至整個數學史上具有重要意義?？梢哉f，拉格朗日堪稱對一般二元二次型理論加以研究的第一人。[3]

《算術研究》沿用了當時的數學風格，表述簡潔、清晰。在這篇文章中，與前人一樣，拉格朗日也從數m能否由型來表示的問題出發(fā)，考察二元二次型的一般形式q（x，y）=ax2+bxy+cy2——拉格朗日型，簡記為（a，b，c），判別式D=b2-4ac。

經變量代換 X=αx+βy和Y=γx+δy（其中α,β,γ,δ 為整數），型f=ax2+bxy+cy2可化為F=AX2+BXY+CY2，同時，經類似變換F也可化為f，拉格朗日稱型f和F“可以相互變換”。從表示的角度來說，若一個數既可由型f表示，又可由型F表示，則稱這兩個型“可以相互變換”。拉格朗日證明，若兩個型可以相互變換，則它們的判別式相等，即均為b2-4ac，且αδ-βγ=±1。用布爾（Boole G，1815—1864）、凱萊（Cayley A，1821—1895）和西勒維斯特（Sylvester J J，1814—1897）的不變量語言來說，二元二次型的判別式是這個變換過程中的不變量。顯然，拉格朗日知道“可以相互變換”滿足自反性、對稱性和傳遞性，也就是今天所說的“等價”。他之所以這樣命名，是因為不愿意使用新的概念和術語，[4]“等價”的概念是高斯給出的。

等價的二元二次型具有相等的判別式，但是判別式相等的型卻不一定等價。在等價思想的基礎上，拉格朗日對所有判別式相等的型劃分歸“類”：兩個型在一個朗格朗日類的充分必要條件是它們等價。這樣，問題就轉化為具有給定判別式的二元二次型一共可以劃分成多少個等價類，是否可以求出每個等價類中的代表型。根據D＜0和D＞0，他把二次型分為定型和不定型，它們的算術性質有很大差別。當判別式D＜0時，拉格朗日完滿地解決了這個問題。他證明每個等價類中都存在一個特殊形式的二元二次型，即約化型ax2+bxy+cy2（0≤b≤a≤c）。不同的約化型彼此不等價。因為-D=4ac-b2≥3a2，a，b，c均為整數，由此a的個數為有限多，又0≤b≤a，故也只存在有限多個b，而D=b2-4ac，所以c的個數也為有限多。于是判別式為D（D＜0）的二元二次型只有有限多個等價類。這樣，就能用對有限個二元二次型等價類的研究取代對無限多個二元二次型的研究，達到以簡代繁的目的。對于不定型，問題要復雜得多，拉格朗日證明不定型雖具有約化型，但形式不唯一。

在完成了二元二次型的基本理論之后，拉格朗日給出了它們在數論中的應用。他將注意力轉向了費馬和歐拉，利用二次型的約化理論證明了前面提到的費馬關于形如x2+ny2（n=1，2，3）的素數結論及關于“若p和q是形如20n+3或20n+7的兩個素數，則pq具有型x2+5y2”的猜想。同時他也最終證明了歐拉1774年提到的關于x2+5y2的一些猜想。

不管在研究方法還是研究結果上，拉格朗日的工作都是對前人的一次巨大突破，標志著數論研究方向的創(chuàng)新與飛躍，是當時二元二次型理論最基本、最重要的文獻。1782年拉格朗日擔任柏林科學院數學部主任，他在數論方面的杰出工作引起了勒讓德（LegendreAM，1752—1833）的注意。勒讓德不僅對拉格朗日的結果作了改進與完善，還得出了許多新的結論，這些結果收錄到了他1785年的著作《不定分析的研究》及1798年的《數論隨筆》中。特別值得一提的是，后一部著作雖然并不完整，只是概述了數論當時的狀況，卻是18世紀最重要的數論著作之一。

2.2 高斯的發(fā)展與創(chuàng)新

盡管拉格朗日在二元二次型理論中做出了重大貢獻，但二元二次型理論的系統化發(fā)展應歸功于高斯。1801年，高斯的《算術研究》（Disquisitiones Arithmeticae）問世，在前言中他寫道：“丟番圖對數論中很多特殊規(guī)律進行了研究，然而數論的發(fā)展更需考察‘一般原則’，費馬、歐拉、拉格朗日等人已開始著手這一工作，此書將系統地介紹我本人的數論研究成果?！盵5]

《算術研究》由七章構成，其中第五章對二次型進行了廣泛討論。在拉格朗日二元二次型工作的基礎上，高斯引進了許多新的概念與術語（其中很多都參考了拉格朗日暗含使用的概念），將記號標準化，系統處理并推廣了現存定理，從各個角度使二元二次型理論得到空前豐富與擴展。在高斯的引領之下，型的理論最終發(fā)展成19世紀數論研究的主要課題之一，成為一個獨立、自在的數學對象。

與拉格朗日的工作相比，高斯的結果更接近現代標準。他考慮了一般的二次型ax2+2bxy+cy2，從代數計算角度看，這比拉格朗日把型的中間項系數用b表示更具優(yōu)勢，他將其記為（a，b，c），相應判別式D=b2-ac。高斯將拉格朗日“可以相互變換的型”稱為“等價”，并進一步將αδ-βγ=1的等價稱為“真等價”，αδ-βγ=-1的稱為“非真等價”。高斯證明，每個等價類都可以選最簡單的二次型約化型作為代表。其次，針對所有二元二次型，他證明等價的二次型判別式相等，盡管反之不成立，但判別式相等的二次型只有有限多個等價類。

更具突破性的是，在對拉格朗日一系列二次型的定理進行推廣的基礎上，高斯率先提出了到當時為止任何人都未曾涉獵的課題——型的合成理論。若由代換 X=pxx'+p'xy'+p"yx'+p'"yy'，Y=qxx'+q'xy'+q"yx'+q'"yy'，二元二次型 F=AX2+2BXY+CY2可化為型f=ax2+2bxy+cy2與f'=a'x'2+2b'x'y'+c'y'2的乘積，則稱型F可變換成ff'。若此變換進一步滿足pq'-qp'、pq"-qp"、pq'"-qp'"、p'q"-q'p"、p'q'"-q'p'"和p"q'"-q"p'"無公因子，則稱型F是型f與f'的合成。

設F、f和f'這3個型的判別式分別為D、d和d'，系數的最大公因子分別為M、m和m'，高斯證明：若二元二次型F可以變換成ff'，則d=Dn2且d'=Dn'2，其中n和n'為有理數，且滿足m'n和mn'均為整數。由此他得出：（1）D 與d、d'具有相同符號，且均為某個數的平方；（2）若F是f和f'的合成，則D=（dm'2，d'm2），反之也成立；（3）若F由f和f'合成，則M=mm'。

在第236目中，高斯證明判別式相等或者判別式至少存在平方關系的兩個二元二次型可以合成，給出了合成方法，并得到合成結果仍然是一個二元二次型，即型的合成滿足封閉性。接著，在一個腳注中，他指出F=ff′（F是 f和 f′的合成）在某種意義下可交換。在第240目中，他又證明：若F=ff′且G=Ff″；F′=ff″且 G′=F′f′，則 F 和 F′真等價。由此，可得出：G=Ff=(ff)f=(ff)f，G′=F′f′=(ff″)f′=f′(ff″)，即從等價的角度而言，型的合成滿足結合律。

高斯在第243目證明了如下特殊情況。（1）若兩個 型 (a,b,c) 和 (a′,b′,c′) 的 判 別 式 都 為 D ，(m,m′)=1 ，(a,a′)=1 ，則合成結果 (A,B,C)滿足A=aa′，B ≡ b(moda)，B ≡ b′(moda′)，

C=(B2-D)A。由此可知，若其中有一個為主型（a=1，b=0，c=-D），則 A=a′，B=b′，C=c′。在此基礎上，他得出主型和任何與其有相同判別式的型合成之后仍為這個型本身，即主型在型的合成理論中充當著單位元的角色。（2）兩個相對(a,b,c)和(a,-b,c)的真本原型合成后，其合成結果(A,B,C)滿足A=1，B=0，C=-D，即它為具有相同判別式的主型。

高斯的型的合成理論開辟了二元二次型理論研究的新篇章，如他在此基礎上提出的虧格（genus）以及如何根據兩個型的虧格來確定合成型的虧格的方法，是數學史上有關虧格理論的最早文獻。[6-7]除此，高斯的工作還蘊含了現代結構數學中最重要的組成部分——群。事實上，對于判別式相等且系數互素的型，它們的等價類在高斯所定義的合成法則下構成一個有限阿貝爾群。雖然高斯本人并沒有提出群的概念，不過這是群的概念的數論來源。[8]誠然，高斯并沒有把群作為研究對象，甚至根本就沒有意識到群這種特殊結構的存在，而僅僅是從對二元二次型理論繁雜的計算中隱晦得到的。故此，當時二次型理論的發(fā)展并沒有催生群論的產生。然而，當后來發(fā)展的群論（最初是置換群）和數論所共有的幾個推理模式的抽象內容得到認可時，這些發(fā)展對抽象群概念的形成起到了巨大的推動作用。[9]

3 二元二次型理論的影響

高斯的工作在數學史上具有重要地位，它不僅是現代數論研究的開端，而且決定了到目前為止有關這一課題研究的基本方向。

3.1 代數數論的基石

對于方程x2+y2=n，只要令n=( )x+iy

(x-iy)（其中i2=-1），也就是通過研究高斯整數a+bi（a、b均為整數）便可得到它的解。高斯證明：與整數環(huán)Z相同，高斯整數環(huán)Z[]i中的元素均滿足唯一分解性質，于是此類方程的整數解問題得到圓滿解決。但是，在考察二元二次型ax+2bxy+cy=n的整數解問題時，需要研究環(huán)Z[D]（D=b2-ac），而該環(huán)中許多元素均不具有唯一分解性，由此必須延伸至更大的域和環(huán)——二次域和它的（代數）整數環(huán)，他在這方面的工作是二次域研究的開端。[10]與群論相同，高斯的二次域算術也是在對一系列問題的實際計算中產生的，可以說他并非采用當今代數數而是通過二次型的語言創(chuàng)立了二次域算術，這一偉大成果應該被他的二元二次型理論所囊括。

此外，高斯的型的合成理論極富技巧性，尚克斯（Shanks D，1793—1855）指出：“一般來說型的合成‘很難’，有時甚至可以說非常困難。許多數論學家都害怕合成，具有恐懼癥，這種狀況直到采用理想、連分數等形式研究時才得以改觀?！盵11]而在此方面首先做出貢獻的是戴德金（Dedekind J W R，1831—1916），他將理想的概念與思想引入數論，考慮二次域，用抽象的代數方法對高斯的二元二次型工作加以改造。通過對高斯二次域的一般化，二次型的理想論成為了用來研究二元二次型整數表示的強有力的語言。除此，庫默爾（Kummer E E，1810—1893）在研究費馬大定理的過程中，不得不考慮環(huán)，p為奇素數），進而得到了的一系列深刻性質，開創(chuàng)了對分圓域理論研究的先河。

高斯、戴德金和庫默爾在二次域與分圓域方面的貢獻為數論的研究提供了新的工具，引導著后人用代數方法來研究數論問題，并由此促進了代數數論的產生。此后經狄利克雷（Dirichlet P G L，1805—1859）、希爾伯特（Hilbert D，1862—1943）等人的完善與系統化，代數數論理論不斷發(fā)展。事實證明，隨著理想論和代數數論的發(fā)展，高斯的依靠強有力的計算所得到的二元二次型理論僅為一種更抽象理論的冰山一角，他在二維空間的證明逐漸被n維空間的論證所取代。

3.2 一般二次型理論的研究

自高斯在二元二次型理論方面的先驅性工作之后，人們開始把目光轉向對多元二次型的研究，如西伯（Seeber LA，1793—1855）對三元二次型的等價問題進行了廣泛考察，其后他的工作由愛森斯坦（Eisenstein F G M，1823—1852）進一步深化。狄利克雷研究了二次型的一般理論，總結了高斯之前所有人在二次型方面所做的重要工作，收錄到其名著《數論講義》中。不僅如此，他還得到了許多全新的結論與思想方法，事實證明，它們與很多數學分支（如積分學、不定方程和三角和）都存在密切聯系，成為其研究工作的出發(fā)點。另外在二次型領域做出卓越貢獻的還包括埃爾米特（Hermite C，1822—1901）、史密斯（Smith H J S，1826—1883）、若爾當（Jordan C，1838—1922）和龐加萊（Poincaré J H ，1854—1921）等。

許多俄國數學家也投入到二次型的研究工作中。[12]布尼亞柯夫斯基（Bunyakovskiǐ V Ya，1804—1889）不僅為高斯理論的傳播做出了積極貢獻，還處理了如何用特殊的二次型表示數。大約同時，切比雪夫（Chebyshev P L，1821—1894）及其學生另辟蹊徑，遵循拉格朗日的路線對二次型進行了深入研究。對于n元二次型，這是著名數學家閔可夫斯基（Minkowski H，1864—1909）在學生時代就考慮的問題，他推廣了高斯的方法，探討如何用變元多的型來表示變元少的型的問題，得到了整系數n元二次型的理論體系，并最終完成閔科夫斯基約化理論。

在這些工作的基礎上，西格爾（Siegel C L，1896—1981）、哈賽（Hasse H，1898—1979）等人創(chuàng)立了二次型的算術理論。與之平行發(fā)展的是戴德金、佛羅貝尼烏斯（Frobenius G，1849—1917）、諾特（Noether E，1882—1935）、阿廷（Artin E，1898—1962）發(fā)展起來的抽象代數思想，這些思想最終導致對20世紀主流——結構數學的研究。之后，二元二次型的豐富理論成果不斷得以延伸與應用。

4 結論

二元二次型理論在數論，甚至在整個數學中具有特殊的地位，它不僅是對古希臘數論知識的繼承和發(fā)展，也為數論進入現代數學大門奠定了基礎。在數學內容上，它發(fā)展了古希臘時代型數問題的研究，使它成為一個專門的數論分支，并具有向更多變量、更高次數推廣的一般形式；在數學方法上，它是一般到特殊的研究方法的體現；在數學思想上，二次型理論更是蘊藏著近現代數學中的許多重要數學思想，比如：運算封閉性思想、代數結構思想、代數分解思想、幾何分類思想、不變式思想等。實際上，二元二次型理論連接著代數數論、抽象代數、線性代數、高維幾何等多個近現代數學分支。