魏巍，張海鵬，談演

摘 要：轉(zhuǎn)子不平衡問題是旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障中經(jīng)常發(fā)生的問題，因此對(duì)不平衡量大小相位的識(shí)別至關(guān)重要。利用傳統(tǒng)的最小二乘法計(jì)算的轉(zhuǎn)子不平衡量受異常值影響較大。加權(quán)最小二乘法需要對(duì)振動(dòng)數(shù)據(jù)的處理較為繁瑣并且權(quán)重大小難以確定?，F(xiàn)提出一種基于M估計(jì)的轉(zhuǎn)子不平衡量的識(shí)別方法，該方法具有穩(wěn)健性，受異常值的影響較小，且便于計(jì)算權(quán)重。通過實(shí)驗(yàn)證明，該方法可以得到轉(zhuǎn)子的不平衡量。

關(guān)鍵詞：動(dòng)平衡；影響系數(shù)法；最小二乘法；M估計(jì)

中圖分類號(hào)：V231.9 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2095-2945（2018）06-0087-03

Abstract： Rotor unbalance is a common problem in rotating machinery fault， so it is very important to identify the phase of unbalance. The rotor unbalance calculated by the traditional least square method is greatly affected by the outliers. The weighted least square method needs to deal with the vibration data more cumbersome and the weight is difficult to determine. In this paper， a method of rotor unbalance recognition based on M estimation is proposed. This method is robust， less affected by outliers， and easy to calculate weights. It is proved by experiments that the unbalance of rotor can be obtained by this method.

Keywords： dynamic balance influence coefficient method； least square estimation； M estimation

引言

轉(zhuǎn)子的不平衡量對(duì)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)子影響非常大，過大的不平衡量會(huì)直接損壞機(jī)器，所以對(duì)轉(zhuǎn)子不平衡量的準(zhǔn)確識(shí)別具有很大的意義。傳統(tǒng)的影響系數(shù)法可以簡(jiǎn)單方便識(shí)別，但存在病態(tài)方程。最小二乘法和影響系數(shù)法的結(jié)合能夠解決病態(tài)方程，但不具有穩(wěn)健性；加權(quán)最小二乘法需要對(duì)轉(zhuǎn)子的振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行深入分析。本文通過M估計(jì)對(duì)轉(zhuǎn)子的不平衡量進(jìn)行識(shí)別，具有較好的穩(wěn)健性，通過實(shí)驗(yàn)證明，M估計(jì)可以有效識(shí)別轉(zhuǎn)子的不平衡量。

1 轉(zhuǎn)子回歸模型

影響系數(shù)法是轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡最常用的方法。但是影響系數(shù)法存在病態(tài)方程，所以現(xiàn)經(jīng)常采用影響系數(shù)法和最小二乘法相結(jié)合。影響系數(shù)矩陣可采用有限元模型或歷史平衡記錄獲得。根據(jù)線性振動(dòng)理論，在m個(gè)轉(zhuǎn)速，n個(gè)測(cè)振點(diǎn)，q個(gè)平衡平面下，轉(zhuǎn)子平衡方程為：

[L]=[L0]+[A]×[W]（1）

其中，[L]為各測(cè)點(diǎn)的殘余振動(dòng)；[L0]為轉(zhuǎn)子在不平衡量下引起的各測(cè)點(diǎn)的初始振動(dòng)；[A]為影響系數(shù)；[W]為校正質(zhì)量。

矩陣形式表達(dá)為：

[L]、[L0]為p=m×n的列陣，[W]為q個(gè)平衡質(zhì)量列陣。{A}是影響系數(shù)p×q的矩陣。當(dāng)P=q時(shí)，方程有唯一解，而在實(shí)際平衡過程中經(jīng)常出現(xiàn)P>q的情況，此時(shí)，需要對(duì)方程采用最小二乘法的原理，即最小化殘差平方和，用矩陣形式表示有：

[W]=-（[A]T[A]）-1[A]T[L]

式（2）又可以轉(zhuǎn)化為多元回歸問題：

li=l0i+ai1·w1+ai2·w2+…+aiq·wq（i=1，2，3，…，p）（3）

2 M估計(jì)

穩(wěn)健估計(jì)基本可以分為三大類型：M估計(jì)、L估計(jì)、R估計(jì)。其中M估計(jì)（Maximum Likelihood Type Estimates）是經(jīng)典極大似然估計(jì)的推廣，稱為廣義極大似然估計(jì)，本文主要討論M估計(jì)。

設(shè)觀測(cè)樣本L1L2…Ln，X為待估參數(shù)，觀測(cè)值的分布密度為f（li，■），極大似然估計(jì)準(zhǔn)則為

■lnf（li，■）=max

用ρ（*）代替-lnf（*），則極大似然估計(jì)準(zhǔn)則可以改為

■ρ（li，■）=min

對(duì)上式求導(dǎo)，得：

■φ（li，■）=0

其中：φ（li，■）=■

由以上可知，有一個(gè)ρ函數(shù)，就定義了一個(gè)M估計(jì)。

幾種常見的ρ函數(shù)

（1）huber函數(shù)

通常情況下k=1.345，既能保證穩(wěn)健性，又具有較高的估計(jì)效率。

（2）tukey函數(shù)

通常k=4.685，估計(jì)方法既穩(wěn)健又有較高的估計(jì)效率。

（3）Hampel函數(shù)

通常取a=1.5，b=3，c=8，Hampel函數(shù)更為復(fù)雜一些，但當(dāng)|u|>c時(shí)權(quán)因子取到了0，因此它具有更好的穩(wěn)健性。

其中u=■

■為尺度參數(shù)，取絕對(duì)離差中位數(shù)：■=median（|v-median（v）|）

各個(gè)函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、權(quán)函數(shù)如圖1。

M估計(jì)的基本算法：

列誤差方程，令各個(gè)權(quán)因子初始值為1，即w1，w2…wn=1，W=I

利用最小二乘法求得參數(shù)■和殘差V的第一次估計(jì)

■（1）=（BTPB）-1BTPl

V（1）=B■（1）-l

（3）根據(jù)V（1）求出尺度參數(shù)，并標(biāo)準(zhǔn)化殘差u=■，將標(biāo)準(zhǔn)化的殘差帶入到不同的權(quán)函數(shù)中，得到權(quán)重矩陣。再求得參數(shù)■和殘差V的第二次估計(jì)

■（2）=（BTPB）-1BTPl

V（2）=B■（2）-l

（4）再由V（2）構(gòu)造新的權(quán)數(shù)，再解算方程，類似迭代計(jì)算，直到前后差值符合限差要求。

M估計(jì)的目標(biāo)曲線不同，但都是對(duì)殘差偏大的觀測(cè)值進(jìn)行降權(quán)處理。M估計(jì)的崩潰點(diǎn)不是很高，但是其效率較高。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

通過對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行動(dòng)平衡實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證該方法。轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺(tái)如圖2所示。

轉(zhuǎn)子影響系數(shù)矩陣通過多次實(shí)驗(yàn)得到。在確定轉(zhuǎn)子無故障前提下，在平衡面A處0°位置添加已知不平衡量0.8g，測(cè)量轉(zhuǎn)子在此不平衡下兩個(gè)測(cè)點(diǎn)的振動(dòng)信息如圖3所示。

現(xiàn)已知不平衡質(zhì)量，對(duì)計(jì)算效率和穩(wěn)健性等因素綜合考慮，采用M-huber。用最小二乘法和M-huber估計(jì)計(jì)算轉(zhuǎn)子不平衡量的大小和相位，結(jié)果如表1所示。采用不平衡量實(shí)際值w和估計(jì)值■的相對(duì)誤差比較兩種方法的效果，相對(duì)誤差為

M-huber估計(jì)在各個(gè)轉(zhuǎn)速下的權(quán)重如圖4所示

通過以上結(jié)果可知，利用M-Huber估計(jì)可以更好的識(shí)別轉(zhuǎn)子的不平衡量，相對(duì)誤差大大減少。根據(jù)M-huber估計(jì)得到的權(quán)重在轉(zhuǎn)子一階臨界轉(zhuǎn)速下減小，與轉(zhuǎn)子一階臨界轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子振動(dòng)數(shù)據(jù)存在異常值一致。

4 結(jié)束語

在綜合考慮計(jì)算效率和穩(wěn)健性等因素，采用M-huber估計(jì)。通過M估計(jì)得到的不平衡質(zhì)量與傳統(tǒng)的最小二乘法影響系數(shù)法相比較，具有更高的精確度，相對(duì)誤差大大降低。應(yīng)用M估計(jì)識(shí)別轉(zhuǎn)子不平衡量，降低了轉(zhuǎn)子一階臨界轉(zhuǎn)速附近的權(quán)重，與轉(zhuǎn)子一階臨界轉(zhuǎn)子下振動(dòng)數(shù)據(jù)存在異常一致。

參考文獻(xiàn)：

[1]繆海林.基于模型的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡量識(shí)別的魯棒方法研究[D].南京航空航天大學(xué)，2012.

[2]王海娜.線性回歸模型的若干穩(wěn)健估計(jì)方法及應(yīng)用實(shí)例[D].山東大學(xué)，2013.

[3]Pennacchi P，Chatterton S，Ricci R.Rotor balancing using high breakdown-point and bounded-influence estimators[J].Mechanical Systems and Signal Processing，2010，24（3）：860-872.

[4]楊慶華.用最小二乘法影響系數(shù)法對(duì)高速柔性轉(zhuǎn)子的動(dòng)平衡研究[J].機(jī)電工程，1998.

[5]Pennacch P，Vania A，Bachschmid N.Increasing the robustness of fault identification in rotor dynamics by means of m-estimators[J].Mechanical Systems and Signal Processing.2007，21（8）：3003-3029.