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        基本不等式與“對(duì)勾”函數(shù)

        2018-02-22 03:21:10
        關(guān)鍵詞:解題

        毛 銘

        (張家口市第一中學(xué),河北 張家口075000)

        一、求最值

        例1.已知a、b∈R+,a+b=4,求ab的最大值。

        以上形式還可用于應(yīng)用題。

        例2.用一塊長為20m的籬笆靠墻圍成一塊菜園(如圖所示),問:長、寬各為多少m時(shí),圍成的菜園面積最大?

        解:該長為xm,0

        此時(shí)S≤50

        ∴當(dāng)菜園長為10m,寬為5m時(shí),菜園面積最大為50m2。

        二、配湊法求最值

        三、通過常值代換法求最值

        解:因?yàn)榈谝幌笙薜狞c(diǎn)(a,b)在直線2x+3y-1=0上,所以2a+3b-1=0,a>0,b>0,即:2a+3b=1

        四、通過消元法求最值

        解:由函數(shù)f(x)=|lgx|,a>b>0,f(a)=f(b)可知

        也可應(yīng)用于求一些分式型函數(shù)的值域。

        解:∵x∈R,當(dāng)x=0時(shí),f(x)=0

        還可應(yīng)用于一些簡單不等式的證明。

        當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立。

        基本不等式應(yīng)用廣泛,但求最值時(shí)一定要注意以下兩方面:

        1.在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí),要把握“一正二定三相等”,“一正”即各項(xiàng)都是正數(shù),“二定”即和或積為定值,“三相等”即等號(hào)能取得,這些條件缺一不可。

        2.當(dāng)多次使用基本不等式時(shí),一定要注意多次是否能保證等號(hào)成立,并且要注意等號(hào)的條件是否一致。在利用基本不等式處理問題時(shí),列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟,而且也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。

        若不注意等號(hào)成立條件是否滿足,容易犯錯(cuò)誤,導(dǎo)致求解結(jié)果錯(cuò)誤。

        得f(x)的值域?yàn)閇2,+∞)

        圖像:

        我們看上例的解答:

        又∵a=1 ∴f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增。

        總之,弄清基本不等式與“對(duì)勾”函數(shù)的關(guān)系有助于我們更靈活解題,能分清基本不等式的應(yīng)用條件,有助于理解函數(shù)的性質(zhì)。

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