□沈銀芳 徐建軍 鄭學(xué)東

應(yīng)用馬爾可夫轉(zhuǎn)換二元正態(tài)模型對(duì)上證A股指數(shù)和上證國(guó)債指數(shù)日收益率序列進(jìn)行相關(guān)統(tǒng)計(jì)分析。采用似然估計(jì)的方法，基于BIC信息準(zhǔn)則，利用五狀態(tài)馬爾可夫（Markov）轉(zhuǎn)換模型擬合二元時(shí)間序列。參數(shù)估計(jì)結(jié)果表明，上證A股指數(shù)和國(guó)債指數(shù)日收益率在不同狀態(tài)下二元正態(tài)分布呈現(xiàn)多樣化的特征。在樣本期內(nèi)，上證A股平均收益超過(guò)國(guó)債收益的兩倍，但由標(biāo)準(zhǔn)差度量的風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)應(yīng)為十倍以上。在低風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)下，上證A股指數(shù)和國(guó)債指數(shù)都能獲得正的收益，在中等風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)下，A股指數(shù)和國(guó)債指數(shù)的收益是不確定的，在高風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)下，上證A股指數(shù)平均收益為負(fù)，而國(guó)債指數(shù)仍可達(dá)到正的收益。這些結(jié)論對(duì)于評(píng)估我國(guó)證券市場(chǎng)組合投資的績(jī)效預(yù)測(cè)有重要的價(jià)值。

引言

隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)金融在世界地位的提升，中國(guó)資本市場(chǎng)規(guī)模以很快的速度在發(fā)展，股票與債券成為企業(yè)直接融資的主要工具。目前對(duì)中國(guó)證券市場(chǎng)指數(shù)的預(yù)測(cè)分析是當(dāng)前研究的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，很多學(xué)者選取各種經(jīng)濟(jì)變量作為預(yù)測(cè)變量，例如通過(guò)對(duì)市場(chǎng)利率、通貨膨脹率、外匯水平和財(cái)政政策等金融變量對(duì)股票和債券收益率的波動(dòng)趨勢(shì)做了預(yù)測(cè)分析。

Markov轉(zhuǎn)換模型最早由Hamilton(1989)首次引入，通過(guò)對(duì)非平穩(wěn)時(shí)間序列的自回歸 Markov轉(zhuǎn)換建模，研究了經(jīng)濟(jì)發(fā)展周期的特征。Markov轉(zhuǎn)換模型作為一類特殊的混合模型，在經(jīng)濟(jì)和金融的預(yù)測(cè)方面有著重要的應(yīng)用，大量的實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，制度轉(zhuǎn)換模型在產(chǎn)生匯率過(guò)程和預(yù)測(cè)未來(lái)匯率方面具有優(yōu)勢(shì)。另外Markov轉(zhuǎn)換模型也看作一種研究時(shí)間序列結(jié)構(gòu)性變化的方法，用它來(lái)刻畫一個(gè)觀測(cè)時(shí)間序列在不同階段有著不同內(nèi)在機(jī)制起作用，通過(guò)觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算系統(tǒng)內(nèi)部處于何種不可觀測(cè)狀態(tài)的概率，以此來(lái)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)。由于很多經(jīng)濟(jì)金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)普遍具有非正態(tài)、非對(duì)稱、尖峰厚尾等非線性的特征，Markov切換模型是當(dāng)今非線性時(shí)間序列建模的一種常用方法。

國(guó)內(nèi)外有關(guān)馬爾科夫轉(zhuǎn)換模型應(yīng)用研究的文獻(xiàn)非常豐富。例如Hsiu-Yun和Show-Lin（2006）通過(guò)證明馬爾科夫轉(zhuǎn)換過(guò)程與世界上最流行的匯率制度—浮動(dòng)匯率制度是一致的，證明了馬爾可夫切換模型的正確性；Xinyi,Dimitris和Peiming（2012）提出了一個(gè)股票市場(chǎng)收益的兩狀態(tài)馬爾可夫切換模型，用來(lái)檢驗(yàn)價(jià)格范圍和交易量對(duì)回報(bào)波動(dòng)性的解釋和預(yù)測(cè)能力。國(guó)內(nèi)對(duì) Markov轉(zhuǎn)換模型的研究主要集中于對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的分析，例如，趙留彥，王一鳴和蔡婧（2005）基于 Markov切換模型研究中國(guó)的通漲水平與其不確定性的關(guān)系；王建軍（2007）、謝杰（2017）分別用此模型分析究中國(guó)經(jīng)濟(jì)周期問(wèn)題和人民幣／美元匯率、中國(guó)通脹率的時(shí)間序列行為；楊繼平和馮毅俊（2017）基于馬爾可夫結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換模型研究利率調(diào)整對(duì)我國(guó)股市在不同波動(dòng)狀態(tài)情況下波動(dòng)性的影響。與此同時(shí)，對(duì)于我國(guó)證券市場(chǎng)相關(guān)研究的文獻(xiàn)，例如焦元（2010）對(duì)上海證券市場(chǎng)的穩(wěn)定性進(jìn)行檢驗(yàn)和實(shí)證分析，結(jié)論是研究期內(nèi)上海證券市場(chǎng)并不穩(wěn)定，影響其穩(wěn)定的風(fēng)險(xiǎn)依然較大；曾志堅(jiān)和張倩倩（2013）運(yùn)用多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)交叉相關(guān)分析法(MF-DCCA)，考量上海證券市場(chǎng)和香港證券市場(chǎng)之間的交叉相關(guān)關(guān)系。

本文通過(guò)對(duì)上證A股指數(shù)和上證國(guó)債指數(shù)日收益率序列作為研究的對(duì)象，應(yīng)用二元 Markov轉(zhuǎn)換正態(tài)模型對(duì)指數(shù)的收益和波動(dòng)進(jìn)行聯(lián)合預(yù)測(cè)分析。

模型

本文主要考慮在Markov轉(zhuǎn)換的二元正態(tài)模型下，研究上證A股指數(shù)和上證國(guó)債指數(shù)日收益率之間的關(guān)系。共收集了2003年2月24日到2011年7月29日兩地市場(chǎng)的日收盤數(shù)據(jù)，二元時(shí)間序列共包含2050個(gè)日觀測(cè)值，原始數(shù)據(jù)下載于大智慧股票分析軟件。

設(shè)rt=100(log Pt-log Pt-1)表示從t-1期到t期的連續(xù)復(fù)合收益率，這里 Pt為 t時(shí)期指數(shù)值。r1t，r2t分別表示上證A股指數(shù)和上證國(guó)債指數(shù)日收益率，記Rt=(r1t,r2t)T為二元時(shí)間序列，符號(hào)T表示向量的轉(zhuǎn)置，假設(shè)有K個(gè)狀態(tài)的Markov切換模型表示為：

其中I2為二階單位陣，當(dāng)潛變量St取值為k時(shí)，可認(rèn)為數(shù)據(jù)Rt來(lái)自 于 N(μk,Σk)的 正 態(tài) 分 布 ，μk=μ (St=k)，Σk= Σ (St=k)，k=1,…K，如果St服從一階齊次Markov鏈，即

上述模型稱為Markov轉(zhuǎn)換的二元正態(tài)模型。模型的主要參數(shù)有轉(zhuǎn)移概率、各個(gè)狀態(tài)下的均值向量和協(xié)方差陣。若狀態(tài)數(shù)K未知，則模型有無(wú)窮多個(gè)參數(shù)。在K已知條件下，Leroux（1992）證明了模型參數(shù)的可識(shí)別性，并用最大似然方法給出了估計(jì)量的相合性。模型的參數(shù)可寫為

則完全數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)具有下列形式

其中，φ為二元正態(tài)的概率密度函數(shù)。似然函數(shù)作為模型參數(shù)的函數(shù)，參數(shù)的估計(jì)可以通過(guò)Baum-Welch算法得到，這是一種經(jīng)典EM算法在Markov轉(zhuǎn)換二元正態(tài)模型下的應(yīng)用。在EM算法的計(jì)算過(guò)程中，在期望步驟中，需要計(jì)算條件概率

它表示在給定觀測(cè)數(shù)據(jù)下，在參數(shù)為θ時(shí)，狀態(tài)變量取值的一種估計(jì)，也稱為光滑概率。在求出最大似然估計(jì)量θ?n時(shí)，對(duì)應(yīng)的光滑概率記為 τ?kt。

應(yīng)用

本文的模型參數(shù)估計(jì)都采用R軟件實(shí)現(xiàn)，其中最大似然函數(shù)的數(shù)值優(yōu)化通過(guò)EM算法完成。為了便于比較，本文共估計(jì)了 K=2，3，4，5，6五個(gè)模型。我們先做了上證A股指數(shù)和上證國(guó)債指數(shù)日收益率之間關(guān)系的簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)分析。

從上述的基本統(tǒng)計(jì)圖表分析結(jié)果來(lái)看，兩收益率序列呈現(xiàn)弱負(fù)相關(guān)，這可能是數(shù)據(jù)的非線性特征所產(chǎn)生的。另外，雖然上證A股指數(shù)收益率的均值為國(guó)債指數(shù)的兩倍多，但是相應(yīng)的方差相差十五倍左右，體現(xiàn)了風(fēng)險(xiǎn)與收益的同步特征。最后，從表1可以看出，兩收益率序列都是左偏的，國(guó)債指數(shù)收益率的峰度達(dá)到24.153，明顯更具有厚尾特征分布非對(duì)稱性明顯，有比正態(tài)分布高的多的峰度23.8362。多元Sharpiro-Wilk正態(tài)性檢驗(yàn)，顯著地拒絕二元收益率分布為正態(tài)的假設(shè)，因此，二元收益率序列應(yīng)用Markov轉(zhuǎn)換模型建模是恰當(dāng)?shù)摹?/p>

表1 上證A股指數(shù)和國(guó)債指數(shù)收益率Rt的基本統(tǒng)計(jì)量

圖1 上證國(guó)債指數(shù)（上）和A股指數(shù)（下）收益率Rt的波動(dòng)圖

表2 模型K=2，3，4，5，6下的對(duì)數(shù)似然值和BIC值

圖2 五狀態(tài)馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型下光滑狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

在對(duì)K=2,3,4,5,6五個(gè)模型應(yīng)用EM算法給出估計(jì)時(shí)，我們對(duì)模型參數(shù)的初值做了如下的選法：初始狀態(tài)的概率設(shè)為相同，即 P(S1=k)=1/K；轉(zhuǎn)移概率P(St=j|St-1=i)=1/K；在狀態(tài)k下，均值參數(shù)μk=μ?/K，協(xié)方差陣 Σk= λkΣ?，其中 μ?,Σ?分別為收益率序列均值和協(xié)方差陣的估計(jì)，λk為(0,1)區(qū)間產(chǎn)生的某一個(gè)隨機(jī)數(shù)。

通過(guò)對(duì)這五個(gè)模型的參數(shù)估計(jì)，下表給出了每個(gè)模型下的對(duì)數(shù)似然函數(shù)值和BIC值，其中BIC通過(guò)公 式 BIC=log L(θ?)-#(θ)log(n)/2給出，#(θ)代表參數(shù)θ個(gè)數(shù)。

按照BIC信息準(zhǔn)則，我們挑選K=5的Markov轉(zhuǎn)換模型擬合二元收益率序列。從表3可知，每一種狀態(tài)在下一時(shí)期轉(zhuǎn)移到原先狀態(tài)的概率都很大，這說(shuō)明收益率數(shù)據(jù)停留在一種狀態(tài)下的時(shí)間都比較長(zhǎng)，然后轉(zhuǎn)移到下一狀態(tài)。在觀測(cè)的時(shí)間段內(nèi)，通過(guò)圖2，我們發(fā)現(xiàn)，收益率二元數(shù)據(jù)經(jīng)歷第二，四狀態(tài)下的概率最小。對(duì)于第一狀態(tài)，從2003年到2005年，2006年3月到2007年7月，上證A股指數(shù)和國(guó)債指數(shù)日平均收益率分別為0.005%和0.0064%，兩者收益呈弱正相關(guān)，但反映波動(dòng)性的標(biāo)準(zhǔn)差A(yù)股指數(shù)比國(guó)債指數(shù)大四十多倍，顯然，這段時(shí)間投資國(guó)債要好于股票。對(duì)于第二狀態(tài)，主要經(jīng)歷2006年年初，2007年7月到2009年1月，2009年7月至現(xiàn)在這些時(shí)間段，上證A股指數(shù)和國(guó)債指數(shù)日平均收益率分別為0.0119%和0.0099%，兩者收益呈弱負(fù)相關(guān)，股票的標(biāo)準(zhǔn)差仍然是國(guó)債的將近十倍。第五狀態(tài)持續(xù)時(shí)間主要集中于2009年1月至2009年7月，兩者的平均日收益率都為負(fù)，分別為-0.1508%和-0.0193%，投資股票上的損失要比債券大很多，兩者收益也呈弱負(fù)相關(guān)，A股指數(shù)收益率的波動(dòng)性只比國(guó)債收益率大三倍。因此，相對(duì)于國(guó)債收益的波動(dòng)率，一、三和五狀態(tài)下分別對(duì)應(yīng)著股票收益波動(dòng)的高、中和低三中情況，股票和債券的平均日收益在這三狀態(tài)下可認(rèn)為是微盈利、中等盈利和高度虧損。第二和四狀態(tài)可解釋為股票和債券的高收益和高虧損，但高虧損下收益率的波動(dòng)性更大。

在給出最大似然估計(jì)后，進(jìn)一步，我們利用Viterbi算法給出在觀測(cè)數(shù)據(jù)下，每個(gè)數(shù)據(jù)歸屬于K種狀態(tài)的一個(gè)劃分，即通過(guò)最大化聯(lián)合狀態(tài)變量的條件分布得到各個(gè)時(shí)期下每個(gè)狀態(tài)的取值。

在樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為2050下，我們可以計(jì)算出五狀態(tài)Markov轉(zhuǎn)換模型每一狀態(tài)下子樣本的個(gè)數(shù)，并對(duì)它們做了多元正態(tài)性檢驗(yàn)，表5說(shuō)明在各個(gè)狀態(tài)下二元收益率數(shù)據(jù)可以認(rèn)為具有正態(tài)分布的特征。

表3 五狀態(tài)下轉(zhuǎn)移概率的估計(jì)值

表4 五狀態(tài)下二元正態(tài)參數(shù)的估計(jì)值

表5 Markov轉(zhuǎn)換模型下各狀態(tài)樣本的二元正態(tài)分布Shapiro-Wilk檢驗(yàn)（K=5）

結(jié)論

我們通過(guò)對(duì)上證 A股指數(shù)和上證國(guó)債指數(shù)日收益率序列作為研究的對(duì)象，介紹了Markov轉(zhuǎn)換二元正態(tài)模型的選擇與估計(jì)的方法，相對(duì)于以往對(duì)時(shí)間序列統(tǒng)計(jì)分析中關(guān)注兩狀態(tài)Markov轉(zhuǎn)換模型的研究，我們通過(guò)從信息量BIC準(zhǔn)則下挑選出了最優(yōu)的模型，減少了模型匹配錯(cuò)誤的可能性。解釋了在不同狀態(tài)下，上證A股指數(shù)和上證國(guó)債指數(shù)日收益率的不同特征。從具體的數(shù)據(jù)分析結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)，在樣本期內(nèi)，上證A股平均收益超過(guò)國(guó)債收益的兩倍，如果用標(biāo)準(zhǔn)差作為度量風(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)，上證A股指數(shù)波動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)為國(guó)債相應(yīng)收益的十倍以上。在低風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)1，3下，上證A股指數(shù)和國(guó)債指數(shù)都能獲得正的收益，兩者不同在于狀態(tài)1下兩者收益相關(guān)性為正，而狀態(tài)2下其對(duì)應(yīng)的相關(guān)性為負(fù)。在中等風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)2，5下，A股指數(shù)和國(guó)債指數(shù)的收益是不確定的，在高風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)4下，上證A股指數(shù)平均收益為負(fù)，而國(guó)債指數(shù)仍可達(dá)到正的收益。這些結(jié)論對(duì)于評(píng)估我國(guó)證券市場(chǎng)組合投資的績(jī)效預(yù)測(cè)有重要的價(jià)值。對(duì)于隱藏在這些上證A股指數(shù)和國(guó)債指數(shù)收益和風(fēng)險(xiǎn)特征背后的原因，仍然值得我們進(jìn)一步的研究。