杜興丹，陳安軍，2

(1.江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 無(wú)錫 214122；2.國(guó)家輕工業(yè)包裝制品質(zhì)量監(jiān)督檢測(cè)中心,江蘇 無(wú)錫 214122)

1968年牛頓首次提出破損邊界理論[1]，為緩沖包裝理論的發(fā)展奠定了重要思想基礎(chǔ),但該理論基于單自由度線性系統(tǒng)。包裝工程領(lǐng)域中大多數(shù)緩沖包裝材料為非線性，其中典型非線性緩沖材料可描述為三次型、正切型、雙曲正切型等。緩沖材料的強(qiáng)非線性給理論分析帶來(lái)較大困難，故非線性緩沖包裝系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析與評(píng)價(jià)通常采用數(shù)值分析方法[2-3]，但數(shù)值分析方法難以獲得動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的解析表達(dá)，缺少明確的物理意義，給相關(guān)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)影響分析帶來(lái)不便。近年來(lái)，非線性問題近似分析方法得到發(fā)展，如同倫攝動(dòng)法（HPM）[4-5]、変分迭代法(VIM)[6-7]、何氏頻率-振幅關(guān)系（HFAF）[8-9]、能量平衡法（EBM）[10-11]等，并廣泛應(yīng)用于非線性工程問題。

針對(duì)非線性保守系統(tǒng)，作為牛頓線性化方法和諧波平衡法的有機(jī)結(jié)合，一種新的非線性分析方法——牛頓諧波平衡法[12-15]（NHB）被提出，該法不僅可以避免使用諧波平衡法時(shí)求解復(fù)雜非線性代數(shù)方程組的問題，且不依賴于小參數(shù)，對(duì)強(qiáng)非線性振動(dòng)問題分析可獲得滿意的精度。雖包裝工程產(chǎn)品的跌落沖擊動(dòng)力學(xué)問題與振動(dòng)問題的控制方程相同，但一般振動(dòng)問題的分析，更多的關(guān)注系統(tǒng)的振動(dòng)頻率、周期以及周期解，而包裝系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析與包裝系統(tǒng)的緩沖設(shè)計(jì)需重點(diǎn)關(guān)注跌落沖擊過程系統(tǒng)響應(yīng)的位移峰值、加速度峰值以及跌落沖擊持續(xù)時(shí)間等重要參數(shù)，且兩者初始條件不同，為使NHB方法應(yīng)用于非線性包裝系統(tǒng)跌落沖擊問題，需討論滿足系統(tǒng)初始條件的牛頓諧波平衡法的分析逼近解。

1 NHB的基本思想

針對(duì)無(wú)阻尼非線性緩沖包裝系統(tǒng)，其一般形式跌落沖擊動(dòng)力學(xué)方程及初始條件可表示為

其中：f(x)是關(guān)于位移x的非線性奇函數(shù)，引入新變量τ=ωt，方程式（1）改寫為

其中：（’）表示對(duì)變量τ求導(dǎo)，ω表示系統(tǒng)頻率。應(yīng)用牛頓線性化方法[13-15]，位移和頻率分別表示為

其中：Δx1和Δω12分別是x1和ω12的微小增量。為了簡(jiǎn)化表述，令ω2=Ω，方程式（5）改寫為

式（4）和式（6）代入方程式（3），有

將方程式（7）線性化，且不計(jì)高階小量，有

式中：fx(x1)表示f(x1)對(duì)x的1階偏導(dǎo)。為了滿足初始條件表達(dá)式（2），令初始逼近解為

式（9）代入方程式（8），有

其中：Δx1是一個(gè)關(guān)于τ的以2π為周期的周期函數(shù)，滿足初始條件

為了獲得1階近似解，令

將式（12）代入方程式（10），經(jīng)整理并令sin(τ)前系數(shù)為0，則1階近似解

為了獲得2階近似解，令

將式（15）代入方程式（10），令sin(τ)和sin(3τ)的系數(shù)分別為0，可得關(guān)于c和ΔΩ1的線性方程組，解該方程組獲得參數(shù)c和ΔΩ1表達(dá)式，則二階近似解

2 NHB在跌落沖擊中的應(yīng)用

為驗(yàn)證NHB方法的有效性，以三次非線性緩沖包裝系統(tǒng)為研究對(duì)象，獲得跌落沖擊動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的解析表達(dá)式，并與変分迭代法[16-17]和龍格-庫(kù)塔法比較，驗(yàn)證NHB近似解析解的精度。

2.1 模型與方程

對(duì)無(wú)阻尼三次非線性包裝系統(tǒng)，跌落沖擊動(dòng)力學(xué)模型如圖1示，跌落沖擊動(dòng)力學(xué)方程及初始條件可表示為

式中：m0為產(chǎn)品質(zhì)量，x0為壓縮變形量，k0是彈性系數(shù)，r為非線性系數(shù)，g為重力加速度，h為跌落高度，?為產(chǎn)品加速度。引入?yún)?shù)無(wú)量綱位移及時(shí)間參數(shù)分別為無(wú)量綱動(dòng)力學(xué)方程及初始條件改寫為

引入新變量τ=ωt1，方程式（20）改寫為

將方程式（4）和式（6）代入到方程式（22）中，并經(jīng)線性化處理，不計(jì)高階小量，有

為滿足跌落沖擊初始條件，方程式（9）為初始逼近解，代入方程式（23）得

圖1 三次非線性包裝系統(tǒng)的跌落沖擊模型

注意到

將式（25）代入方程式（24）整理得

2.2 1階近似解

為獲得一階近似解，將式（12）代入方程式（26）有

令sin(τ)的系數(shù)為0，得1階近似解

2.3 2階近似解

為了獲得2階近似解，將式（15）代入方程式（26），有

令sin(τ)及sin(3τ)的系數(shù)為0，得

將式（28）代入式（31）和式（32），解上述方程組得

則2階近似解為

跌落沖擊動(dòng)力學(xué)方程式（22）的位移、速度、加速度2階解析表達(dá)式分別為

跌落沖擊持續(xù)時(shí)間為

為了求解未知參數(shù)A，聯(lián)立無(wú)量綱初始條件式（21）、速度表達(dá)式（37）和頻率表達(dá)式（34）有

由式（39）、式（40）、及式（41）知，系統(tǒng)跌落沖擊時(shí)間、無(wú)量綱位移最大值與加速度最大值取決于參數(shù)A。對(duì)給定系統(tǒng)，當(dāng)?shù)涓叨然驘o(wú)量綱跌落沖擊速度已知，參數(shù)A可由式（42）式確定，且參數(shù)A取決于系統(tǒng)跌落高度或無(wú)量綱跌落沖擊速度，進(jìn)而通過式（39）、式（40）及式（41）等解析表達(dá)式確定無(wú)量綱位移、加速度最大值及跌落沖擊時(shí)間，分析系統(tǒng)跌落高度與相關(guān)參數(shù)對(duì)跌落沖擊響應(yīng)的影響。

3 算例分析

為了評(píng)價(jià)運(yùn)用NHB法求解跌落沖擊問題近似解的精度，參考文獻(xiàn)[16-17]算例，相關(guān)參數(shù)：m=10kg，h=0.6m，k0=600Ncm-1和r=72Ncm-3，應(yīng)用R-K、NHB和VIM[16-17]法獲得系統(tǒng)跌落沖擊的無(wú)量綱位移、加速度響應(yīng)分別如圖2、圖3所示。

圖2 跌落沖擊無(wú)量綱位移響應(yīng)

圖3 跌落沖擊無(wú)量綱加速度響應(yīng)

為進(jìn)一步探討跌落高度對(duì)NHB方法的精度影響，分別取跌落高度0.2 m、0.4 m、0.6 m、0.8 m、1.0 m，通過R-K、NHB和VIM法獲得的跌落沖擊無(wú)量綱最大位移、最大加速度以及跌落沖擊持續(xù)時(shí)間對(duì)比及相對(duì)誤差分析如表1、表2和表3所示。

由圖2、圖3和表1、表2、表3知：

(1)相同條件下，NHB獲得的2階近似解析解與龍格庫(kù)塔法結(jié)果最為接近。通過位移、加速度響應(yīng)分析可知，NHB2階近似解精度優(yōu)于VIM近似解，VIM近似解精度優(yōu)于NHB1階近似解。跌落沖擊時(shí)間相對(duì)誤差分析表明，NHB2階近似解精度優(yōu)于1階近似解，NHB1階近似解精度優(yōu)于VIM1階近似解。

(2)隨跌落高度的增加，NHB1階、NHB2階解析解獲得的產(chǎn)品最大位移、最大加速度以及跌落沖擊時(shí)間相對(duì)誤差均出現(xiàn)增大，但在包裝工程應(yīng)用中其跌落高度一般不超過1 m，在此條件下NHB2階近似解最大相對(duì)誤差控制在2.5%以內(nèi)，可滿足工程設(shè)計(jì)的要求。

表1 不同跌落高度無(wú)量綱位移響應(yīng)最大值比較

表2 不同跌落高度無(wú)量綱加速度響應(yīng)最大值比較

表3 不同跌落高度跌落沖擊無(wú)量綱持續(xù)時(shí)間比較

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)非線性包裝系統(tǒng)跌落沖擊動(dòng)力學(xué)問題，應(yīng)用NHB方法，獲得系統(tǒng)跌落沖擊位移響應(yīng)、加速度響應(yīng)及跌落沖擊持續(xù)時(shí)間的1階和2階近似解析解，且跌落沖擊位移、加速度最大值以及跌落沖擊持續(xù)時(shí)間為代數(shù)方程，形式簡(jiǎn)單，物理意義明確，易于分析系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)對(duì)跌落沖擊響應(yīng)的影響。與龍格-庫(kù)塔法比較，結(jié)果表明由NHB獲得的2階近似解具有滿意的精度，且其精度明顯優(yōu)于変分迭代法。隨高度增加，盡管解析解精度有所降低，但當(dāng)?shù)涓叨仍谝欢ǚ秶畠?nèi)，解析解精度仍能夠滿足工程設(shè)計(jì)需求。