馮玉琴

【摘要】認知負荷理論為研究教學設(shè)計提供了一種新的理論框架.以平面向量基本定理為例，基于認知結(jié)構(gòu)原理，進行課堂教學目標設(shè)計;基于交互作用原理，提出提前訓練——增加相關(guān)認知負荷、部分整體——降低內(nèi)在認知負荷、變異任務(wù)——增加相關(guān)認知負荷三個環(huán)節(jié)設(shè)計教學過程.

【關(guān)鍵詞】認知負荷理論;平面向量基本定理;認知結(jié)構(gòu);交互作用;課堂教學目標;教學過程設(shè)計

向量是近代數(shù)學中重要的和基礎(chǔ)的概念之一[1]，而平面向量基本定理又是向量知識模塊中的核心內(nèi)容.課本中關(guān)于平面向量基本定理的表述充分彰顯了數(shù)學的嚴謹性和邏輯性，但冗長的文字、抽象的公式、陌生的數(shù)學符號、鄰近的交互概念增加了學生學習的認知負荷.研究表明，在平面向量基本定理概念形成的過程中，教師通常以強化定理的應用技巧替代對定理的本質(zhì)理解[2]，導致學生的主體參與感被剝奪.近年來，認知負荷理論特別關(guān)注認知結(jié)構(gòu)[3]，強調(diào)工作記憶原理[3]，并從交互性角度[4]重新定義認知負荷概念.這里應用認知負荷理論對平面向量基本定理課堂教學目標及教學過程進行設(shè)計.

1 認知負荷理論基本觀點

認知負荷理論是基于人類認知結(jié)構(gòu)與外界信息的交互作用而提出的一種有效管理教學設(shè)計的理論[5].該理論認為，工作記憶與長時記憶之間是一個從具體到抽象的連續(xù)體.起初，由于持續(xù)時間有限（沒有經(jīng)過排練組合的工作記憶會在30秒內(nèi)丟失）和處理容量有限（工作記憶一次只能處理4±1個元素）[3]，工作記憶在初始轉(zhuǎn)態(tài)中只能獲取最簡單的信息;隨后，伴隨認知結(jié)構(gòu)中的同化和順應，工作記憶開啟模塊化程序（通過釋放單個信息元素所需要的儲存空間，編碼形成信息單元）和自動化程序（在實踐過程中投入大量的認知努力后自動發(fā)展到需要對其操作進行最少思考的程度）改善和繞過限制[4];最后，工作記憶以圖式（可以用來解釋人類為什么能很快地解決問題[4]）的形式融入到長時記憶中去.

認知負荷理論關(guān)注高元素交互性的學習材料[3]，將元素交互性作為定義性特征融入認知負荷的概念界定中，強調(diào)教學設(shè)計必須有效管理三種認知負荷：內(nèi)在認知負荷、外在認知負荷以及相關(guān)認知負荷.內(nèi)在認知負荷是指工作記憶對認知任務(wù)本身所包含的信息元素的數(shù)量及其交互性進行認知加工活動所產(chǎn)生的負荷[3];外在認知負荷被認為是由對當前任務(wù)不重要的元素交互作用引起的負荷[3];相關(guān)認知負荷由用于處理有助于學習的元素交互性的工作記憶資源組成[3].從教學設(shè)計的整體角度來看，總的認知負荷是至少兩個完全不同因素的混合體.這里將有效管理認知負荷貫穿于平面向量基本定理課堂教學目標及教學過程設(shè)計之中.

2 “平面向量基本定理”課堂教學目標設(shè)計及目標解析

2.1課堂教學目標

1.理解平面向量基本定理中關(guān)鍵詞的含義;

2.經(jīng)歷平面向量基本定理的形成過程，感受知識建構(gòu)過程中的改造與重組;

3.感受數(shù)形結(jié)合思想.

2.2目標解析

認知負荷理論認為工作記憶是進入長時記憶必不可少的環(huán)節(jié).雖然工作記憶在初始狀態(tài)會受到持續(xù)時間和處理容量的限制，但是這種限制是必要的，因為在處理新元素時，完備的知識是不可用的，在解決問題的過程中，有限的元素不會導致組合爆炸[3]，所以工作記憶的初始狀態(tài)是無法替代的.與工作記憶的初始狀態(tài)相同，課堂教學目標是微觀目標，雖然受到課堂時間和教學內(nèi)容的限制，但課堂教學目標的預設(shè)是必要而且合理的.應在數(shù)學課程目標的指導下，綜合考慮單元教學目標、當前教學內(nèi)容的特點，制定出“具體的”、“可操作”、“可檢查的”的課堂教學目標[6].這里致力于數(shù)學課程目標（數(shù)學課程目標是宏觀目標，包含著多方面的、更為具體的目標），設(shè)定讓學生感受數(shù)形結(jié)合思想為數(shù)學課堂教學目標[7];致力于單元教學目標（單元教學目標屬于中觀目標，需要付出大量的時間和精力），設(shè)定經(jīng)歷平面向量基本定理的形成過程，感受知識建構(gòu)過程中的改造與重組的數(shù)學課堂教學目標[8][9][10].致力于當前教學內(nèi)容的特點（平面向量基本定理用“基本”命名[11]，主要因為：兩個不共線向量，能夠構(gòu)造出平面內(nèi)的所有向量;構(gòu)造平面內(nèi)的任意向量，至少需要兩個不共線向量;平面內(nèi)的任意向量與有序?qū)崝?shù)對一一對應，實現(xiàn)了數(shù)與形的統(tǒng)一[12]）設(shè)定理解平面向量基本定理中關(guān)鍵詞的含義為課堂教學目標.

3 “平面向量基本定理”教學過程設(shè)計

3.1提前訓練——增加相關(guān)認知負荷

復習向量加法的三角形法則（圖1）和平行四邊形法則（圖2），刻畫平面向量基本定理的幾何模型（圖3）;比較向量加法的平行四邊形法則與基底異同，揭示不共線向量基底的概念.

設(shè)計意圖：基底是“二維向量”——平面向量的代表，在平面向量基本定理中發(fā)揮著基礎(chǔ)性作用，因此對其進行解讀是必不可少的教學環(huán)節(jié).教材中，基底最早以幾何表征的形式出現(xiàn)在向量加法的平行四邊形法則中，而后在平面向量基本定理中以核心“符號”的形式亮相，因而學生的認知結(jié)構(gòu)中沒有基底的概念，直接解讀基底不免過于生硬.通過復習向量加法的三角形法則（以兩個向量首尾相連為基本法則）和向量加法的平行四邊形法則（以兩個向量起點在同一個點為運算基礎(chǔ)），有助于幫助學生發(fā)現(xiàn)向量加法的平行四邊形法則為平面向量基本定理的基底搭建幾何模型.向量加法的平行四邊形法則是平面向量基本定理基底的雛形，但兩者又有區(qū)別，向量加法的平行四邊形法則以共線向量自由移動為基礎(chǔ)，而平面向量基本定理的基底則以不共線向量為前提，二者之間的差異便是新知識構(gòu)建的起點和基本定理認識的起步.

通過復習已有相關(guān)知識、辨析新舊交互知識間接引入基底，這種引入方式有助于增加相關(guān)認知負荷.相關(guān)認知負荷是由用于處理有助于學習的元素交互性的工作記憶資源組成，它是產(chǎn)生有意義學習的認知活動的使然，教學設(shè)計應該適當增加它.認知負荷理論提倡采用提前訓練[13]的方法（通過適當增加內(nèi)在認知負荷，從而適當增加工作記憶資源的方法，增加了與之相關(guān)的認知負荷），即在原有相關(guān)知識的基礎(chǔ)上，對即將進行的學習材料進行辨析（聯(lián)系和區(qū)分），從而幫助實現(xiàn)在新舊知識之間建立實質(zhì)性的非人為的聯(lián)系[13].

3.2部分整體——降低內(nèi)在認知負荷

分割平面向量基本定理，剖析關(guān)鍵詞“有且僅有”，運用幾何刻畫（圖4）和代數(shù)證明（圖5）兩種方法解讀實數(shù)λ1、λ2的存在性和唯一性.

3.3變異任務(wù)——增加相關(guān)認知負荷

探究平行四邊形內(nèi)（圖6）任意給定的向量a，可以對應多少組不同的基底，深刻解讀基底[WTHX]e[WTBX]1、[WTHX]e[WTBX]2的不唯一性;刻畫直角三角形中（圖7）基底的建立過程，解讀基底的恰當選取原則.

設(shè)計意圖：對于平面向量基本定理的內(nèi)容，往往容易忽略對同一平面可以有不同的基底的解讀，即基底[WTHX]e[WTBX]1、[WTHX]e[WTBX]2不唯一性的解讀.從幾何意義看，就是給定平行四邊形的一條對角線，可以做無數(shù)個與之對應的平行四邊形[8]，這個過程調(diào)動了學生認知中關(guān)于平行四邊形不穩(wěn)定性的知識;既然基底的選擇不唯一[8]，那么該如何恰當選取基底進行運算呢？平行四邊形的不穩(wěn)定性質(zhì)讓我們自然而然地聯(lián)想到三角形穩(wěn)定性的知識.選取一組相互垂直的基底，通過建立平面直角坐標系的形式，建立與x軸、y軸方向相同的單位向量[WTHX]i ，j[WTBX]作為基底，讓向量的分解在一個穩(wěn)定的直角三角形中進行.為了方便研究，引出了平面直角坐標系以及單位向量的概念，從而為進入到下一節(jié)內(nèi)容“平面向量的正交分解及坐標表示”的學習做鋪墊.通過有意義的、實質(zhì)性的認知操作，簡化平面向量基本定理的理解難度.認知負荷理論的形式效應告訴我們：工作記憶在某些形式下可以拓展[15]，為了更深刻地理解相關(guān)知識，有時候呈現(xiàn)一些“冗余”信息，反而幫助降低內(nèi)在認知負荷.認知負荷理論提倡任務(wù)變異設(shè)計，即在設(shè)計學習任務(wù)時，變化任務(wù)本身（表面內(nèi)容的變異與深層結(jié)構(gòu)的變異）和呈現(xiàn)方式，一方面促使學習者對相似或相關(guān)特征與無關(guān)特征進行區(qū)分，從而利于問題圖式的構(gòu)建;另一方面，為學習者提供辨認相似特征的機會，擴展樣例試用范圍，利于圖式的發(fā)展和遷移[16]，從而適度增加相關(guān)認知負荷.

眾所周知，平面向量基本定理是有關(guān)向量分解的一個重要定理，蘊含著數(shù)學的簡潔美和變換美[7].在教學中，如何讓學生理解平面向量基本定理，并且對平面向量基本定理的內(nèi)容產(chǎn)生興趣，這些問題都值得我們深思.本節(jié)課的教學設(shè)計，一方面以章建躍教學目標體系為指導，從優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)的角度設(shè)計了課堂教學目標;另一方面，為了有效管理認知負荷，提出溫故知新——增加相關(guān)認知負荷、部分整體——降低內(nèi)在認知負荷、變異任務(wù)——增加相關(guān)認知負荷三個環(huán)節(jié)設(shè)計教學過程.以上教學設(shè)計仍有很多不足之處，如未從降低外在認知負荷的角度整合教學過程，未從整體性角度優(yōu)化三種認知負荷.此外，關(guān)于平面向量基本定理的教學，還可以與為什么兩條相交直線確定一個平面、兩平面平行的判定以及空間向量基本定理等相關(guān)知識建立關(guān)聯(lián)，這里尚未涉及，因而需要進一步研究改進.

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