肖劍文 周亦敏

摘要：模糊C均值聚類是聚類分析中應(yīng)用最廣泛的算法之一，但是聚類數(shù)目需要人為預(yù)先設(shè)定，在實際應(yīng)用中有極大的局限性。提出一種自動確定聚類數(shù)目的基于粒子群的模糊C均值聚類算法，通過對不同聚類數(shù)目進行試驗，利用添加粒子閾值向量自動確定最佳的聚類數(shù)目。在預(yù)設(shè)的最大聚類數(shù)目內(nèi)隨機分割數(shù)據(jù)集，利用重構(gòu)準則重新構(gòu)建初始值，以此克服需要事先設(shè)置聚類數(shù)目的模糊C均值缺點。利用有效性函數(shù)評估算法性能，試驗結(jié)果表明，該算法能自動找到最優(yōu)聚類數(shù)目，聚類效果很好。

關(guān)鍵詞：模糊C均值;粒子群;粒子閾值;重構(gòu)準則;有效性函數(shù)

FCM Algorithm Based on PSO for Automatically Determining the Number of Clusters

XIAO Jiao?wen，ZHOU Yi?min

（School of Optical?electrical and Computer Engineering，University of Shaghai

for Science and Technology， Shanghai 20093， China）

Abstract：Fuzzy C?means clustering is one of the most widely used algorithms in cluster analysis. However， the number of clusters needs to be preset manually， which has great limitations in practical applications. In this paper， a particle swarm optimization fuzzy C?means clustering algorithm is proposed to automatically determine the number of clusters. This algorithm uses the additive particle threshold vector to automatically determine the optimal number of clusters by experimenting with different cluster numbers. The algorithm firstly randomly divides the data set within the preset maximum number of clusters， reconstructs the initial value by using the reconstruction criterion， and overcomes the shortcomings of the fuzzy C?means that need to set the number of clusters in advance， and uses the validity function to evaluate the algorithm. The experimental results show that the algorithm can automatically find the optimal number of clusters and achieve a good clustering effect.

Key Words：fuzzy C?means ;particle swarm optimization; particle threshold ;reconstruction criterion;validity function

0?引言

與分類[1]的監(jiān)督算法不同，聚類[2]屬于無監(jiān)督算法，指在沒有先驗知識的情況下將數(shù)據(jù)分為多個類或簇，同一類中的數(shù)據(jù)具有較高的相似性[3]，不同類之間的數(shù)據(jù)相似性盡可能低。傳統(tǒng)的聚類分析都是把數(shù)據(jù)硬性地劃分到某一類中，而現(xiàn)實的事物大都具有模糊性，即事物之間的劃分界限不明顯。模糊聚類[4]方法中每個樣本與聚類中心點之間存在著隸屬關(guān)系，展示了類屬的模糊性，能更好反映現(xiàn)實世界。

聚類分析是無監(jiān)督模式識別[5]的重要研究課題之一。模糊聚類能更客觀地反映現(xiàn)實世界，因為它建立了樣本到類的不確定性描述。傳統(tǒng)模糊聚類算法的主要缺點是無法自動確定最優(yōu)排序的聚類數(shù)，為了準確完成聚類需要事先確定聚類數(shù)目。但是對于一些線性不可分的數(shù)據(jù)、分布較為復(fù)雜的數(shù)據(jù)，即使給定了最優(yōu)的聚類數(shù)目也很難得到理想的聚類效果，作為模糊聚類典型代表的模糊C均值聚類（FCM）[6]也有此缺點。

當前通常采用有效性函數(shù)[7]分析聚類結(jié)果以此確定群集的最佳數(shù)目，其中有效性函數(shù)分為兩類：①基于數(shù)據(jù)集分區(qū)的模糊方法;②通過基于數(shù)據(jù)集的幾何圖元。其中具有代表意義的方法有以下4種：

（1）Bedzek[8]提出的分區(qū)系數(shù)（Partition Coefficient），它的目的是測量群集之間的重疊程度，其值越大代表聚類效果越好。

（2）香農(nóng)[9]提出的分類概念熵，索引值越小代表聚類效果越好。

（3）Win[10]提出的有效性函數(shù)?V?kwon，是對謝本尼Xie-Beni指數(shù)的一種改進。它能有效抑制指數(shù)值的下降使其不再為0，其值越小代表聚類效果越好。

（4）Bensay[11]提出的有效性函數(shù)?V?bsand，其值越小代表聚類效果越好。

但是通過分析結(jié)果確定聚類的最佳數(shù)目使計算開銷大大增加，對此本文提出了一種新的自動確定聚類數(shù)目的基于粒子群（PSO）的模糊C均值聚類算法（FCM），該算法能自動確定最優(yōu)聚類數(shù)，并通過重構(gòu)函數(shù)大大降低計算開銷。為證明該算法的有效性，通過在UCI機器學習庫[12]的5個數(shù)據(jù)集上進行MATLAB仿真模擬實驗，同時通過有效性函數(shù)對聚類結(jié)果進行驗證。結(jié)果表明，自動確定聚類數(shù)目的基于PSO的FCM算法能夠自動確定最優(yōu)聚類數(shù)目，聚類效果很好。

1?粒子群算法與模糊C均值聚類

1.1?粒子群算法（PSO）

粒子群算法（PSO）由Eberhart和Kennedy[13]設(shè)計的一種群搜索算法。該算法通過模擬鳥群捕食行為進行設(shè)計。假設(shè)區(qū)域里只有一塊食物（即優(yōu)化問題中所講的最優(yōu)解），鳥群的任務(wù)是找到這個食物源。鳥群在整個搜尋過程中通過相互傳遞信息告知其它鳥自己的位置，通過這樣的協(xié)作判斷找到的是不是最優(yōu)解，同時也將最優(yōu)解信息傳遞給整個鳥群，最終整個鳥群都聚集在食物源周圍，即找到最優(yōu)解，問題收斂。

在下一次迭代中，粒子的速度和位置更新公式如下：

其中，i=1，2，…，N，第i個粒子的速度為V?i=（v?1，v?2，…，v?d），第i個粒子的位置為X?i=（x?1，x?2，…，x?d），r?1，r?2為兩個隨機數(shù)，滿足[0，1]之間的隨機均勻分布，并且兩個數(shù)之間相互獨立。t為當前迭代的次數(shù)，c?1，c?2是學習因子，為兩個非負的常數(shù)，w為遞減的慣性因子。

1.2?模糊C均值聚類（FCM）

模糊聚類允許一個數(shù)據(jù)屬于兩個或多個聚類。 FCM算法是一種迭代分區(qū)聚類技術(shù)，由Dunn[14]引入并由Bezdek[15]擴展。 FCM是一個非常標準的最小二乘誤差模型，是早期非常流行的非模糊C?means模型的推廣，該模型可以生成硬數(shù)據(jù)集群。通過加權(quán)迭代目標函數(shù)的最小化平方誤差組的和得到最優(yōu)結(jié)果。假設(shè)?X={x?1，x?2，…，x?n}是要進行聚類的數(shù)據(jù)集，每個數(shù)據(jù)具有m個屬性，標準的模糊C均值聚類將每個對象x?i（1≤i≤N）分配給具有ac×N隸屬度矩陣[16]U = {u?ij}的第c個聚類。 u?ij表示屬于第i組的第j個對象的隸屬度。

標準模糊c均值方法由下列等式定義：

因此，標準的模糊C均值聚類算法目標是為了計算隸屬度矩陣以及聚類中心點C={c?i，c?2，…，c?c}。給定數(shù)據(jù)集X，標準模糊c均值算法隨機初始化隸屬度矩陣，然后通過最小化目標函數(shù)J?m更新隸屬度矩陣和聚類中心，其目標函數(shù)如下：

其中m為模糊因子，一般取值為2，d?ik表示x?k和v?i之間的距離，通常是歐式距離：

FCM算法步驟如下：

（1）初始化參數(shù)，包括初始化模糊因子?m，給定聚類中心點個數(shù)c，最大迭代次數(shù)T?max以及最小迭代誤差?ε，令初始迭代次數(shù)t=1。

（2）初始化隸屬度矩陣U=[u?ij]。

（3）利用隸屬度矩陣Ut計算聚類中心點C，公式如下：

（4）利用下式更新隸屬度矩陣?Ut+1?：

（5）判斷算法是否滿足終止條件，滿足則終止算法輸出結(jié)果，否則令?t=t+1?，返回步驟（3）。

2?編碼方式

2.1?粒子編碼

粒子是2×c矩陣，其中c是預(yù)定義的最大聚類數(shù)目。 第一行代表中心， 第二行中的每個值控制第一行中每個中心的激活。

X?i=x?i?1，1x?i?1，2…x?i?1，c?t?i?2，1t?i?2，2…t?i?2，c

其中，?x?i?1，c?代表粒子在類c中的位置，其范圍在[?x?min，?x?max]之間。?t?i?2，c?為粒子的閾值，范圍為[0，1]。 如果閾值大于0.5則激活聚類中心，否則它將被停用。

2.2?速度編碼

速度矩陣與位置矩陣具有相同大小，設(shè)置速度的范圍為[?v?min，?v?max]，速度的所有值都應(yīng)該在?v?min和?v?max之間，因此粒子的速度表示為：

V?i=v?i?x1，1v?i?x1，2…v?i?x1，c?v?i?t2，1v?i?t2，2…v?i?t2，c

同樣，?c?是最大簇數(shù)。 第一行是中心的速度，第二行是閾值的速度。

2.3?解碼

X=（x?1，x?2，…，x?n）是具有d維的數(shù)據(jù)集， 可用公式（8）將聚類中心解碼為C=（c?1，c?2，…，c?c）?。

2.4?有效性函數(shù)

聚類有效性分析目的是為了評估聚類效果以找到最合適的分類數(shù)目，因此采用有效性函數(shù)評估聚類結(jié)果，通過結(jié)果分析發(fā)現(xiàn)最佳的聚類數(shù)目。類內(nèi)緊湊度和類間分離度是衡量數(shù)據(jù)聚類效果的兩個常用標準。常規(guī)方法是使用不同的聚類數(shù)目迭代運行算法，通過有效性函數(shù)判斷最佳的聚類數(shù)目，下面是常用的模糊聚類中的有效性函數(shù)：

（1）最小平方誤差（SE）[17]：

其中，x?i是具有d維屬性的數(shù)據(jù)點，c?j是第j類數(shù)據(jù)集的值，‖x?i-c?j‖是x?i和c?j的歐幾里得距離， J?m最小時聚類效果最好。

（2）分區(qū)系數(shù)（PC）[18]指數(shù)：

當PC值越大時聚類效果越好。

（3）分區(qū)熵（PE）[19]索引：

其中?b?是對數(shù)基數(shù)， PE越小聚類效果越好。

（4）XB[20]指標：

XB值越小聚類效果越好。

3?自動確定聚類數(shù)目的FCM算法

通過以上分析，基于PSO得到自動確定聚類數(shù)目的FCM算法，具體步驟如下：

（1）輸入數(shù)據(jù)集?X={x?1，x?2，…，x?n}，聚類數(shù)目c，模糊因子c。

（2）隨機初始化一個粒子群，設(shè)置t=1。

（3）利用式（1）更新每個粒子速度。

（4）利用式（2）更新每個粒子位置。

（5）更新局部最優(yōu)值和全局最優(yōu)值。

（6）計算分區(qū)矩陣U。

（7）判斷是否滿足算法終止條件。滿足進入步驟（8），否則返回步驟（3），同時令t=t+1。

（8）利用全局最優(yōu)矩陣重新構(gòu)造原始數(shù)據(jù)。

（9）計算重構(gòu)誤差。為了使用一致的方法評估4個不同的有效性函數(shù)，這里使用RC重構(gòu)標準[21]，使用簇原型和分區(qū)矩陣重建原始數(shù)據(jù)，?X={x?1，x?2，…，x?n}?計算公式如下：

重構(gòu)完成后，使用式（15）評判重構(gòu)值和原始值之間的平方誤差：

（10）選擇重構(gòu)誤差最小的分區(qū)矩陣和中心。

4?試驗結(jié)果與分析

本試驗測試的仿真環(huán)境如下：CPU為AMD 四核 FX 7500 up to 3.3GHz，8G內(nèi)存，MATLAB2010編程環(huán)境，表1列出了算法參數(shù)。

為驗證算法性能，選擇來自機器學習數(shù)據(jù)庫UCI中的數(shù)據(jù)集進行試驗，數(shù)據(jù)集的詳細描述信息見表2。

使用上面提到的4種有效性指標驗證試驗結(jié)果，通過式（10）-式（13）使用所提算法計算數(shù)據(jù)集的重構(gòu)誤差，聚類數(shù)目的取值范圍為2-9，粗體值是每個度量具有不同簇編號的最小重建誤差。8組試驗中的6組表明?c?=2是最佳聚類數(shù)目，試驗結(jié)果見表3。

對提出的算法進行驗證，在50次運行中測試所提算法并計算表4列出的平均最佳數(shù)據(jù)數(shù)目，括號中的值是標準誤差。結(jié)果表明，本文提出的算法可獲得最優(yōu)的聚類數(shù)目，實驗結(jié)果如表4所示。

5?結(jié)語

本文提出了一種自動確定聚類數(shù)目的基于PSO的FCM算法，以克服傳統(tǒng)聚類算法中需要人為輸入聚類數(shù)目的缺陷。利用閾值向量控制聚類的數(shù)量，同時通過迭代模糊分區(qū)的方法解決聚類問題。使用來自UCI機器學習庫的5個數(shù)據(jù)集進行模擬仿真實驗，結(jié)果表明本文所提出的算法能夠找到最優(yōu)的聚類數(shù)目，得到很好的聚類結(jié)果。

本文不足之處：由于引入了粒子閾值向量控制聚類數(shù)目，而算法初始聚類中心是隨機選取的，在一定程度上影響算法的執(zhí)行效率。為了避免最佳聚類數(shù)目不在所設(shè)定的范圍內(nèi)，需要設(shè)定較大的最大聚類數(shù)目以保證最佳聚類數(shù)目包含其中，這需要一定的先驗知識作為基礎(chǔ)，這都是有待進一步研究與完善的地方。

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