平行和垂直是兩條直線之間的特殊位置關(guān)系，掌握好這兩種基本關(guān)系對(duì)后續(xù)的幾何學(xué)習(xí)非常重要.我們要想把所掌握的知識(shí)融會(huì)貫通、游刃有余地運(yùn)用到解題過(guò)程中去，就必須做到對(duì)每節(jié)內(nèi)容的重、難點(diǎn)及知識(shí)網(wǎng)絡(luò)心中有數(shù).下面，我們不妨來(lái)回顧一下這兩節(jié)的重要內(nèi)容：

一、平行和垂直的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

1.概念：

（1）在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.（2）如果兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，那么這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.（3）直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離.

2.性質(zhì)：

（1）過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行.

（2）過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

（3）直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.

二、典型例題分析

例1 已知∠AOB，P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P畫(huà)直線與OA平行，這樣的直線（ ）.

A. 有且只有一條 B.有兩條

C.不存在 D.有一條或不存在

【解析】解題時(shí)，我們要特別關(guān)注條件“P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)”，所以要有分類討論的思想.當(dāng)點(diǎn)P在OA上時(shí)，這樣的直線不存在.當(dāng)點(diǎn)P在OA外時(shí)，這樣的直線有一條.故本題答案應(yīng)選D.

例2 如圖1，P為∠AOB的邊OA上一點(diǎn).

（1）畫(huà)PQ⊥OB，垂足為Q；

（2）畫(huà)OA的垂線PR，PR與OB相交于點(diǎn)R；

（3）指出所畫(huà)圖形中所有的垂線段：

，其中垂線段PR的長(zhǎng)度是點(diǎn) 到直線 的距離，垂線段QR的長(zhǎng)度是點(diǎn) 到直線 的距離.

[圖1][圖2]

【解析】第（1）、（2）小題的答案如圖2所示.在畫(huà)圖的過(guò)程中要注意以下細(xì)節(jié)：所畫(huà)垂線應(yīng)該是與已知直線垂直的直線，畫(huà)好之后別忘了標(biāo)上垂直符號(hào).第（3）小題中垂線段有5條，線段OP、RP、PQ、OQ、RQ，注意不要有遺漏.

另外，在回答后兩問(wèn)時(shí)，我們一定要判斷清楚垂線段是和哪條直線垂直，故垂線段PR的長(zhǎng)度是點(diǎn)R到直線OA的距離，垂線段QR的長(zhǎng)度是點(diǎn)R到直線PQ的距離.

例3 利用網(wǎng)格的特征，在圖3中完成下面的操作.（1）過(guò)點(diǎn)C畫(huà)直線AB的垂線MN；（2）過(guò)點(diǎn)C畫(huà)直線AB的平行線PQ.

[圖3][圖4]

【解析】在網(wǎng)格線中作圖是一個(gè)重要的考點(diǎn).因此，我們?cè)诰W(wǎng)格中作圖時(shí)，必須學(xué)會(huì)利用網(wǎng)格的特性來(lái)畫(huà)圖.

在第（1）小題作圖時(shí)，我們可以嘗試通過(guò)抓住角的關(guān)系來(lái)畫(huà).在圖4中，∠1+∠2=90°，∠3=∠1，所以∠2+∠3=90°，故垂線必過(guò)M點(diǎn)，從而可經(jīng)過(guò)C、M兩點(diǎn)畫(huà)出垂線MN.在第（2）小題作圖時(shí)，可將線段EF向上平移過(guò)C點(diǎn)，當(dāng)F移動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，E點(diǎn)移動(dòng)到G點(diǎn)處，從而畫(huà)出平行線PQ.

希望通過(guò)上述關(guān)于平行和垂直內(nèi)容的例子，能夠幫助同學(xué)們?cè)跀?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)會(huì)總結(jié)重、難點(diǎn).事實(shí)上，研究典型例題的解題方法和思路，可以幫助大家領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，從而使大家在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上越走越精彩！

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市河埒中學(xué)）