夏煬志強(qiáng)， 秦大同

(重慶大學(xué) 機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實驗室， 重慶 400044)

NGWN型行星齒輪，是一種大速比行星齒輪傳動機(jī)構(gòu)，能有效地縮短系統(tǒng)傳動鏈，減少零部件數(shù)，并實現(xiàn)大傳動比，在航空航天、兵器裝備、機(jī)器人和工業(yè)傳動等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景[1]。然而，該行星齒輪傳動存在效率較低的問題。目前國內(nèi)外已經(jīng)有不少學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)的研究[2-4]。曹煥亞、盧存光等對其效率和傳動比的計算公式進(jìn)行了推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)在實現(xiàn)大傳動比的同時，該系統(tǒng)的傳動效率較低。Jonathon則證明了該行星齒輪傳動的效率是傳動比的函數(shù)，且當(dāng)傳動比很大時，系統(tǒng)的效率迅速降低。為提高效率，Hohn等[5-6]率先從設(shè)計的角度，嘗試將低耗齒輪應(yīng)用到該大速比行星齒輪傳動中，通過縮短齒輪副嚙合線的長度來減小嚙合功率損失，獲得了較為顯著的效果，但由此帶來的齒輪副重合度減小的問題，可能會對傳動系統(tǒng)的動力學(xué)性能產(chǎn)生影響。因此有必要研究該類行星齒輪傳動系統(tǒng)的振動問題。然而與大量研究2K-H型行星齒輪動力學(xué)特性的文獻(xiàn)[7-9]相比，有關(guān)NGWN型行星輪系動力學(xué)特性的研究很少，宋軼民等[10]建立了NGWN(Ⅱ)型行星輪系的平移-扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型，研究了傳動系統(tǒng)的固有頻率和典型的振動模式，但沒有研究該傳動可能產(chǎn)生的共振情況和傳動系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)特性。除此之外，尚未見到其它深入研究該類傳動系統(tǒng)動力學(xué)性能的文獻(xiàn)發(fā)表。

本文以NGWN(Ⅰ)型行星齒輪為研究對象，通過設(shè)計采用低耗齒輪來提高該行星齒輪傳動的效率。然后基于低耗齒輪，在系桿隨動坐標(biāo)系下建立該系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型；通過求解特征值問題和動力學(xué)方程，分別獲得了該系統(tǒng)的固有特性和共振轉(zhuǎn)速，并根據(jù)二者之間的聯(lián)系驗證了采用純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型的可行性。最后以振動烈度為評價指標(biāo)，進(jìn)一步分析了低耗齒輪的相關(guān)參數(shù)對該傳動系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響規(guī)律，獲得了該傳動實現(xiàn)較高效率和較低振動的設(shè)計參數(shù)選擇范圍。

1 低耗齒輪

1.1 低耗齒輪設(shè)計原理

Hohn等[11]指出齒輪嚙合功率損失占齒輪傳動系統(tǒng)總功率損失的絕大部分，因此齒輪嚙合功率損失可以較為準(zhǔn)確地反映齒輪傳動系統(tǒng)的效率。單對齒輪的嚙合效率可以表示為：

η=1-μmzHv

式中:μmz是嚙合過程中的平均摩擦因數(shù)，與齒面粗糙度、齒輪配對材料等有關(guān)，參考相關(guān)文獻(xiàn)[12-13]，本文取值為0.1；Hv是功率損失因數(shù)，由下式給出：

式中:ε1和ε2分別是齒輪副嚙入、嚙出重合度；Kv由齒輪基本參數(shù)決定，計算如下：

式中:對于外嚙合取“+”，對于內(nèi)嚙合取“-”，i是大、小齒輪的齒數(shù)比，z1是小齒輪齒數(shù)。

齒輪副的端面重合度εα可表示為：

εα=ε1+ε2

因此，應(yīng)盡可能減小齒輪副的端面重合度εα，并使嚙入重合度與嚙出重合度相等，從而得到功率損失因數(shù)的最小值。這就是低耗齒輪設(shè)計的原理。

1.2 低耗齒輪參數(shù)設(shè)計與應(yīng)用

NGWN(Ι)型行星齒輪傳動系統(tǒng)機(jī)構(gòu)簡圖如圖1所示，其中A為太陽輪，C、E為內(nèi)齒圈，B、D為雙聯(lián)行星輪，H為行星架。

圖1 NGWN(Ι)型行星輪系機(jī)構(gòu)簡圖Fig.1 Diagram of mechanism of the NGWN(Ι) planetary gearing

NGWN(Ⅰ)型行星齒輪傳動中各齒輪副的嚙入重合度和嚙出重合度可表示為：

式中，ε1,ab，ε1,bc和ε1,de分別表示各對應(yīng)齒輪副的嚙入重合度；ε2,ab，ε2,bc和ε2,de分別表示各對應(yīng)齒輪副的嚙出重合度；αab，αbc和αde分別表示對應(yīng)齒輪副的嚙合角；αa, j(j=a,b,c,d,e)表示齒輪j齒頂圓的壓力角。

顯然，齒頂圓壓力角與齒頂圓直徑相關(guān)，而齒頂圓直徑又與齒頂高系數(shù)以及變位系數(shù)密切相關(guān)。因此，通過同時調(diào)整輪齒的變位系數(shù)和齒頂高系數(shù)，來使得各齒輪副的嚙入重合度與嚙出重合度相等是可行的?？紤]到齒輪的齒頂高系數(shù)與齒輪的強(qiáng)度密切相關(guān)，本文定義了如下的優(yōu)化函數(shù)：

依據(jù)嚙合功率法的思路，NGWN(Ⅰ)型行星齒輪傳動的效率計算公式如下：

式中:ηab、ηbc、ηed分別為單對齒輪副的嚙合效率，可由前面的效率公式計算；iac、iec、iea分別為傳動比參數(shù)，計算公式如下：

iac=-zc/zaiec=zdzc/zezbiea=(za+zc)zbze/(zazbze-zazczd)

為簡化計算過程，并通過單變量原則來研究低耗齒輪重合度對傳動系統(tǒng)效率的影響，本文在這里僅將兩對內(nèi)嚙合齒輪副設(shè)計成重合度相等的低耗齒輪副，而外嚙合齒輪副，則根據(jù)設(shè)計計算的需要，將其重合度設(shè)定為較小的常值(εab=1.20)。以低耗齒輪副重合度εbc=εde=1.25為例，效率優(yōu)化后，各基本參數(shù)如表1所示。

表1 優(yōu)化后NGWN(Ι)型行星齒輪的基本參數(shù)

經(jīng)過輪齒參數(shù)優(yōu)化之后，NGWN(Ⅰ)型行星齒輪的傳動效率隨內(nèi)嚙合齒輪重合度變化的曲線如圖2所示。

圖2 效率隨內(nèi)嚙合齒輪重合度變化的曲線Fig.2 Efficiency vs. contact ratio of internal gear pair

2 純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型

為提高NGWN(Ⅰ)型行星齒輪傳動的效率，將低耗齒輪的設(shè)計參數(shù)引入到該傳動系統(tǒng)。為簡化計算模型，將NGWN(Ⅰ)型行星齒輪傳動簡化為集中參數(shù)系統(tǒng)，支承、輪齒被簡化為彈簧，齒輪輪體及系桿被視為剛體，此外僅考慮各構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)振動，不計阻尼及齒側(cè)間隙的影響。為便于描述該傳動系統(tǒng)中各構(gòu)件的相對運(yùn)動關(guān)系，本文采用系桿隨動坐標(biāo)系，即定義參考系的坐標(biāo)原點(diǎn)為系桿的幾何形心，且該坐標(biāo)系以系桿的理想轉(zhuǎn)速隨系桿做勻速轉(zhuǎn)動?；谝陨峡紤]，NGWN(Ι)型行星齒輪傳動系統(tǒng)純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型如圖3所示。

圖3 NGWN(Ι)型行星輪系純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型Fig.3 Rotational dynamic model of the NGWN(Ι) planetary gearing

圖3中，OXY為固定坐標(biāo)系；Oxy為系桿隨動參考坐標(biāo)系，其坐標(biāo)原點(diǎn)O為系桿的理論安裝中心，且設(shè)定該坐標(biāo)系以系桿的理想角速度繞系桿的理論安裝中心勻速轉(zhuǎn)動；坐標(biāo)系Obnybnxbn和Odnydnxdn分別為雙聯(lián)行星輪B、D的坐標(biāo)系，同樣也隨行星架等速旋轉(zhuǎn)，其原點(diǎn)分別位于第n個雙聯(lián)行星輪B,D的理論中心，兩坐標(biāo)軸與Oxy的兩坐標(biāo)系分別平行。其他參數(shù)含義為：θi為由于系統(tǒng)振動而使構(gòu)件i產(chǎn)生的角位移，在行星架動坐標(biāo)系中度量，其中i=a,c,e,h,bn,dn，取ui=riθi。式中，ri為各齒輪的基圓半徑，對行星架則為行星輪中心分布圓的半徑。ui為由振動而產(chǎn)生的角位移折算到圓周上的線位移。φn為第n個行星輪理論中心到行星架理論中心的連線OObn與坐標(biāo)軸X方向的夾角：

φn=2π(n-1)/N,n=1,2,…,N

式中：kit為中心構(gòu)件的切向支承剛度，其中i=a,c,e,h。kabn、kcbn、kedn為各齒輪副的時變嚙合剛度，由石川公式[14]計算得到，展開為傅里葉級數(shù)并略去高階得：

式中：A0為常值;An為每階分量的幅值;φn為每階分量的初相位;ω0為嚙頻。

2.1 齒輪副之間相對位移分析

NGWN(Ι)型行星輪系中各齒輪間的相對位移關(guān)系如圖4所示。αab為太陽輪與行星輪之間的嚙合角；αcb為內(nèi)齒圈C與行星輪之間的嚙合角；αed為內(nèi)齒圈E與行星輪之間的嚙合角；Fabn、Fcbn、Fedn分別為行星輪受到的嚙合力，其正方向如圖所示。

將各齒輪之間的相對位移沿嚙合線正方向投影，則有以下位移方程：

(1)太陽輪相對于第n個行星輪的位移沿外嚙合線方向的投影:

δabn=ua-uhcosαab+ubn

(2)內(nèi)齒圈C相對于第n個行星輪的位移沿內(nèi)嚙合線方向的投影:

δcbn=uc-uhcosαcb-ubn

(3)內(nèi)齒圈E相對于第n個行星輪的位移沿內(nèi)嚙合線方向的投影:

δedn=ue-uhcosαed-udn

圖4 各齒輪之間的相對位移示意圖Fig.4 The displacement relationship between gears

2.2 傳動系統(tǒng)運(yùn)動微分方程

該傳動系統(tǒng)中，內(nèi)齒圈C為固定端，太陽輪A為輸入端，內(nèi)齒圈E為輸出端。設(shè)輸入扭矩為Ta，負(fù)載為Te；行星架H,內(nèi)齒圈C,E，太陽輪A和雙聯(lián)行星輪B,D的轉(zhuǎn)動慣量分別為Ih，Ic，Ie，Ia，Ibn，Idn；各行星輪的質(zhì)量均為mn。依據(jù)牛頓第二定律可建立系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程：

式中:Ks0為雙聯(lián)行星輪之間傳動軸的扭轉(zhuǎn)剛度，可表示為

式中：Ip為極慣性矩;G為剪切模量;ls為軸長。

將運(yùn)動微分方程整理成矩陣形式，可得NGWN(Ι)型行星齒輪傳動系統(tǒng)矩陣形式的彈性動力學(xué)方程如下：

式中:q為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)：

q=[uhucueuaubnudn]T

式中：M為質(zhì)量矩陣;Km為剛度矩陣;T為激勵力矩陣。

3 大速比行星齒輪傳動固有特性分析

大速比行星齒輪傳動的固有特性分析包括系統(tǒng)固有頻率和振型向量的求解與分析。由前面的動力學(xué)矩陣方程所對應(yīng)的特征值方程如下：

式中：ωi和φi分別為系統(tǒng)的第i階固有頻率和振型向量；M為質(zhì)量矩陣，Km0為平均剛度矩陣。

以表2所示的NGWN(Ι)型行星輪系為例，對其進(jìn)行固有特性分析。表3給出了具有不同行星輪數(shù)的NGWN(Ι)型行星齒輪傳動的各階固有頻率和重根數(shù)。

表2 NGWN(Ι)型行星輪系基本參數(shù)

分析表3中數(shù)據(jù)可知，該傳動系統(tǒng)只有兩種重根數(shù)，且固有頻率與重根數(shù)之間具有某種相關(guān)性。表中共有六階單根的固有頻率，其中零頻代表系統(tǒng)的剛體運(yùn)動；低階非零的單根固有頻率隨著行星輪個數(shù)的增加而有增有減，高階的單根固有頻率隨著行星輪個數(shù)的增加而增加。此外，當(dāng)重根數(shù)為N-1時，系統(tǒng)的固有頻率值與行星輪個數(shù)無關(guān)。進(jìn)一步計算可獲得傳動系統(tǒng)各階固有頻率所對應(yīng)的振型。在此，以行星輪個數(shù)N=3為例(后續(xù)的計算亦是如此)，給出系統(tǒng)幾階固有頻率對應(yīng)的振型坐標(biāo)，如表4所示。

由表4中振型坐標(biāo)的特點(diǎn)可以看出，二重根固有頻率對應(yīng)的振型中，中心構(gòu)件沒有振動，只有行星輪在振動，且振型中各分量的代數(shù)和為零，表現(xiàn)為行星輪振動模式；單根固有頻率對應(yīng)的振型中，各中心構(gòu)件均作扭轉(zhuǎn)振動，且同一級各行星輪的振動狀態(tài)完全相同，表現(xiàn)為扭轉(zhuǎn)振動模式。

表3 NGWN(Ι)型行星輪系的固有頻率

表4 NGWN(Ι)型行星輪系的各階振型

4 大速比行星齒輪傳動動力學(xué)研究

4.1 大速比行星齒輪傳動的共振轉(zhuǎn)速

前面研究了含低耗齒輪的NGWN(Ι)型行星輪系的固有特性，并計算了系統(tǒng)的固有頻率。接下來對該傳動系統(tǒng)的共振轉(zhuǎn)速做深入分析。具體為：輸入扭矩Ta=1 909.8 N·m，負(fù)載Te=47.666 7Ta，在1 000～5 000 r/min以內(nèi)，將該行星齒輪傳動系統(tǒng)的輸入轉(zhuǎn)速均勻離散開，代入振動方程，然后分別求取不同轉(zhuǎn)速下各齒輪副之間的動態(tài)嚙合力，以輸入轉(zhuǎn)速n=1 500 r/min為例，各齒輪副之間的動態(tài)嚙合力如圖5所示。

圖5 各齒輪副動態(tài)嚙合力Fig.5 Dynamic force of each gear pair

再利用下式可求出動載系數(shù)：

Kv=Fδmax/Ft

式中:Ft為靜態(tài)負(fù)載在嚙合副間產(chǎn)生的圓周力；Fδmax為齒輪副的最大動態(tài)嚙合力。關(guān)于齒輪副的動態(tài)嚙合力Fδ，可按如下計算：

Fδ=ktδ

式中:kt為嚙合副間的時變嚙合剛度；δ為一對嚙合副沿嚙合線方向的相對位移。

傳動系統(tǒng)中各齒輪副的動載系數(shù)隨轉(zhuǎn)速變化的曲線如圖6所示。由圖6可以看出，三組齒輪副的動載系數(shù)，在四個轉(zhuǎn)速下都出現(xiàn)了明顯的峰值，即產(chǎn)生了共振，由此可以認(rèn)定這四個轉(zhuǎn)速即為系統(tǒng)的共振轉(zhuǎn)速：

n1=1 750 r/min,n2=2 125 r/min

n3=3 500 r/min,n4=4 250 r/min

大速比行星輪系共有兩級嚙頻(即為齒輪嚙合的頻率)。在轉(zhuǎn)速為n1和n3時，第一級嚙頻分別為：

在轉(zhuǎn)速為n2和n4時，第二級嚙頻為：

對比表2可知，通過共振轉(zhuǎn)速計算的嚙頻與系統(tǒng)固有頻率十分接近。因此，本文建立的純扭轉(zhuǎn)模型能夠較好地反映出系統(tǒng)的固有特性與動態(tài)特性。

圖6 動載系數(shù)隨輸入轉(zhuǎn)速的變化曲線Fig.6 Coefficient of dynamic load vs. input speed

4.2 低耗齒輪參數(shù)對系統(tǒng)振動的影響

由效率曲線可知，傳動系統(tǒng)的效率隨低耗齒輪重合度的減小而增大。然而，過小的重合度可能又會對系統(tǒng)的振動產(chǎn)生影響。因此，有必要從傳動效率和振動這兩個方面，去尋求低耗齒輪重合度的合理范圍。具體為：以低耗齒輪重合度的大小作為變量，將相關(guān)設(shè)計參數(shù)(齒頂高系數(shù)、變位系數(shù))所對應(yīng)的時變嚙合剛度，代入到前面所建立的純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)方程中，然后分別求得不同重合度下各構(gòu)件的振動速度響應(yīng)。以低耗齒輪重合度εα=1.40為例，計算的各構(gòu)件振動速度響應(yīng)曲線如圖7所示。

圖7 各構(gòu)件振動速度曲線圖Fig.7 Vibration velocity of each component

再以國際標(biāo)準(zhǔn)中常用的振動烈度(即振動速度的均方根值)作為衡量振動強(qiáng)度的指標(biāo)。最終計算出的系統(tǒng)中各構(gòu)件振動烈度隨低耗齒輪重合度的變化曲線如圖8所示。

圖8 振動烈度隨低耗齒輪重合度變化的曲線Fig.8 Vibration severity vs. contact ratio of low-loss gear pair

在圖8中，虛線以下的部分為可允許的振動烈度區(qū)域(0～4.5 mm/s)。如果振動烈度值超過了允許范圍的上限，則認(rèn)為該系統(tǒng)的振動情況較差。由圖1和圖8可以得出結(jié)論：低耗齒輪重合度的合理區(qū)間取為1.3～1.5，這個區(qū)間范圍既保證傳動系統(tǒng)具有較高的效率(超過92.5%)，又使得其振動烈度值較小(低于4.5 mm/s)。

5 結(jié) 論

本文首先針對NGWN(Ⅰ)型行星齒輪傳動設(shè)計并應(yīng)用了低耗齒輪，使得該傳動系統(tǒng)的效率得到了提高；然后在采用低耗齒輪設(shè)計參數(shù)基礎(chǔ)上，建立了NGWN(Ⅰ)型行星齒輪傳動系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型，分析了該行星輪系的固有特性以及不同轉(zhuǎn)速下的振動情況；最后深入分析了采用低耗齒輪的NGWN(Ⅰ)型行星齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)特性。具體結(jié)論有：

(1)對NGWN(Ⅰ)型行星齒輪的內(nèi)嚙合齒輪副進(jìn)行了低耗齒輪設(shè)計，獲得了傳動系統(tǒng)效率隨低耗齒輪重合度變化的曲線。結(jié)果表明，采用低耗齒輪是提高傳動效率的有效途徑。

(2)采用低耗齒輪的NGWN(Ⅰ)型行星齒輪傳動純扭轉(zhuǎn)模型具有兩種典型的振動模式：扭轉(zhuǎn)振動模式和行星輪振動模式。

(3)研究了采用低耗齒輪的NGWN(Ⅰ)型行星齒輪傳動的共振轉(zhuǎn)速，得到的系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)情況與固有頻率所對應(yīng)的分析結(jié)果十分吻合。

(4)深入研究了傳動系統(tǒng)中各構(gòu)件的振動烈度隨低耗齒輪重合度的變化。并結(jié)合效率曲線分析，確定了低耗齒輪重合度的合理設(shè)計區(qū)間為1.3～1.5。在這個區(qū)間范圍內(nèi)，系統(tǒng)的傳動效率較高，且振動烈度值較小。

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