◆劉 源

(山東省寧陽縣鄉(xiāng)飲中心學(xué)校)

數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，對(duì)于學(xué)生成績(jī)的高低起到了關(guān)鍵性的作用。根據(jù)一項(xiàng)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，作為一門思維性較強(qiáng)的學(xué)科，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維應(yīng)該在兒童時(shí)期就開始培養(yǎng)，通過數(shù)學(xué)游戲更容易形成良好的數(shù)學(xué)思維。針對(duì)這一項(xiàng)調(diào)查報(bào)告，給大家設(shè)計(jì)一款數(shù)學(xué)游戲，讓孩子在游戲中訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，感受數(shù)學(xué)文化的浸潤(rùn)，領(lǐng)會(huì)符號(hào)意識(shí)、化歸方法、一般到特殊的思路、分類思想、規(guī)則靈活運(yùn)用等數(shù)學(xué)問題的處理手段。在娛樂中寓教于樂，善莫大焉。

1游戲設(shè)計(jì)

1.1名稱：抓三堆游戲。

1.2道具：小石子或花生米等若干。

1.3游戲方法：

1.3.1將小石子按三堆放，數(shù)量可以相同，也可以不同。為了降低難度，可以先放每堆不超過10粒的三堆，主要是感受方法，找規(guī)律。待熟練后可以增加。

1.3.2甲乙兩人依次輪流抓取石子，每人每次只能從一堆中抓取，每次抓取哪一堆沒有限制，每次不能抓空，至少抓一粒，多者不限，最多可以把一堆一次抓盡。

1.3.3為了便于說明，我們引入符號(hào)，把三堆記為(a、b、c)(其中a、b、c代表三堆石子的數(shù)量，均為自然數(shù))，規(guī)定誰最后抓盡，即抓的結(jié)果變成(0、0、0)視為勝利。

1.3.4取勝秘籍：記住下面的規(guī)律

(1)出現(xiàn)(a、a、0)的情況時(shí)，后抓的人必勝。

(2)出現(xiàn)(1、2n、2n+1)的情況時(shí)，后抓的人必勝。

具體的原因?yàn)槭裁词沁@樣？

1.3.5游戲的目的就是讓孩子掌握上述規(guī)律的基礎(chǔ)上，靈活應(yīng)用，把給出的三堆數(shù)變成上面的其中一種形式，逼迫對(duì)方先抓，自己是后手，就能獲勝。舉例：三堆數(shù)為(4、5、6)，甲乙二人，其中甲先抓，如何保證自己獲勝呢？可以先抓6變成1，這樣留給乙的是(2乘2、2乘2加1、1)，符合規(guī)律的第二種形式(三堆數(shù)4、5、1排列與1、4、5排列是一回事)。于是輪到乙抓了，無論怎樣抓，甲都會(huì)取勝(原因在后面解釋)。否則，甲若抓乘其他的情況，如甲抓4變成0，留給乙(0、5、6)，此時(shí)乙把6變成5，留給甲(0、5、5)，此時(shí)甲敗了。這是簡(jiǎn)單的例子，稍復(fù)雜的如(4、6、8)自己試驗(yàn)一下，因?yàn)檫@里面變化情況太復(fù)雜了，對(duì)思維能形成有效的訓(xùn)練。大家想一想，數(shù)學(xué)平時(shí)的解題就是利用公式或者定理來解題，和這個(gè)提供的場(chǎng)景是一樣的，都是靈活運(yùn)用為根本，這種訓(xùn)練就是數(shù)學(xué)方法的訓(xùn)練。當(dāng)然，比做數(shù)學(xué)題有趣多了。

2原因探析

2.1特殊問題一般化，如三堆是(4、5、6)，此時(shí)我們變?yōu)?a、b、c)處理。

2.2一般問題特殊化，從最簡(jiǎn)單的開始想起。(甲乙二人，不妨規(guī)定甲先抓，乙后抓。)

2.2.1若只有一堆時(shí)，即(a、0、0)的情況，此時(shí)甲勝。

2.2.2若有兩堆時(shí)，又分為兩種情況：

2.2.2.1這兩堆數(shù)量相同，為(a、a、0)，此時(shí)乙勝。

2.2.2.2若兩堆不同，不妨設(shè)a

2.2.3若三堆都有，又要分情況。

2.2.3.1其中有兩堆相同，為(a、a、c)情況，甲先抓c變成0，留給乙(a、a、0)，有上面可知，甲必勝。

2.2.3.2三堆中其中任意兩堆都不相同，為(a、b、c)(不妨設(shè)a

我們還是采取從最簡(jiǎn)單、最特殊的考慮?？傮w的思路是先研究(1、b、c)，依次(2、b、c)，(3、b、c)，(4、b、c)等。因此，可以發(fā)現(xiàn)最先要從(1、b、c)開始研究，這種情況，再從最簡(jiǎn)單的想起，因此(1、2、3)是最先需要研究的。下面分別敘述。

2.2.3.2.1當(dāng)a=1，b=2，c=3時(shí)為(1、2、3)時(shí)，甲先抓共有六種情況。第一，甲先抓1，留給乙(0、2、3)，乙抓3變2為(0、2、2)，有前面可知乙必勝。第二，甲先抓2得1或得0，若留給乙(1、1、3)，乙抓3為0得(1、1、0)留給甲，乙勝。若留給乙(1、0、3)，此時(shí)乙抓3變1為(1、0、1)留給甲，乙勝。第三，甲先抓3得到1、2、0三種情況，若留給乙(1、2、1)，乙抓2變0為(1、0、1)，乙勝。若留給乙(1、2、2)，乙抓1變0為(0、2、2)，乙勝。若留給乙(1、2、0)，乙抓2變1為(1、1、0)，乙勝。由此可以得到結(jié)論，若(1、2、3)留給對(duì)方先抓，自己后抓，必然獲勝。

2.2.3.2.2當(dāng)a=1，b=2，c>3時(shí)為(1、2、c)(c>3的自然數(shù))，甲先抓c變?yōu)?得到(1、2、3)留給乙，通過化歸的方法轉(zhuǎn)化為上面情況，可以得到甲獲勝。

2.2.3.2.3當(dāng)a=1，b=3，c=4時(shí)為(1、3、4)，此時(shí)，甲先抓把4變成2就得(1、3、2)留給乙，可得甲獲勝。

2.2.3.2.4當(dāng)a=1，b=3，c>4時(shí)為(1、3、c)，此時(shí)，甲先抓c變?yōu)?得(1、3、2)留給乙，甲獲勝。

2.2.3.2.5當(dāng)a=1，b=4，c=5時(shí)，此時(shí)甲先抓有10中情況，先抓1得0是一種情況，先抓4可得3、2、1、0四種情況，先抓5可得4、3、2、1、0五種情況，共計(jì)10種情況分別討論。這里不再展開論述，可以得到乙必然獲勝。由此得到，當(dāng)出現(xiàn)(1、4、5)時(shí)，留給對(duì)方先抓，自己必然獲勝。

2.2.3.2.6當(dāng)a=1，b=4，c>5時(shí)，甲先抓c變成5，得到上面的情況，此時(shí)甲必然獲勝。

2.2.3.2.7當(dāng)a=1，b=5，c大于或等于6是，甲先把c變成4得到(1、5、4)，甲獲勝。

2.2.3.2.8依次可以發(fā)現(xiàn)(1、6、7)，(1、8、9)，(1、10、11)都是甲先抓必?cái)?，后抓的為勝。所以上述結(jié)論表明想法設(shè)法留給對(duì)手上面的局面，自己獲勝。

2.2.3.2.9由此，可以在上述例子的基礎(chǔ)上，猜出一般的結(jié)論，即為符合(1、2n、2n+1)(n為自然數(shù))的三堆數(shù)，后抓的獲勝。

3變式拓展

利用上面的數(shù)學(xué)分析方法，練習(xí)兩個(gè)簡(jiǎn)單的題目。

3.1有一堆石子100粒，甲乙兩個(gè)人依次抓取，每人每次至少抓1粒，最多抓5粒，即抓取的范圍是大于等于1而小于等于5，若甲先抓，問甲第一次抓幾粒能確保自己能勝？

3.2有按照1、2、3、4等順序依次連續(xù)編號(hào)的80個(gè)小球，甲乙二人依次抓小球，每人每次最少抓一個(gè)或者最多抓兩個(gè)相鄰編號(hào)的小球，若甲先抓，問怎樣抓才能確保獲勝？

4思維訓(xùn)練點(diǎn)

4.1符號(hào)意識(shí)很重要。讓學(xué)生體會(huì)符號(hào)的使用使表述方便，便于理解。表達(dá)的關(guān)系深刻、簡(jiǎn)明。會(huì)用符號(hào)是會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的標(biāo)志，數(shù)學(xué)符號(hào)是全世界最通用的語言，也是最好的表述方式。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出，要培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，無論是數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)還是社會(huì)需要，符號(hào)表述我們離不開。

4.2一般特殊會(huì)轉(zhuǎn)換。解決自然數(shù)問題一般有四步，一般化，特殊化，猜想結(jié)論，證明結(jié)論。這里面要學(xué)會(huì)化歸，把未知的化為已知的。數(shù)學(xué)家去一個(gè)城市迷路了，解決問題的方式很簡(jiǎn)單，就是回到起點(diǎn)(剛到城市的地方如火車站等)，這就是化歸思想的形象表述。

4.3應(yīng)用分類要全面。分類思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)、考點(diǎn)。分類原則很簡(jiǎn)單，標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，沒有重復(fù)沒有遺漏。但是，在具體的應(yīng)用場(chǎng)景中，學(xué)會(huì)利用分類進(jìn)行巧妙的解題是復(fù)雜的，本例子提供了很好的分類解題的示范。

4.4活用規(guī)則是關(guān)鍵。這種游戲，和數(shù)學(xué)解題是一樣的，數(shù)學(xué)解題過程不過就是根據(jù)公式、定理、法則等，結(jié)合解題條件進(jìn)行靈活使用，數(shù)學(xué)教師都知道，學(xué)生不會(huì)規(guī)則不會(huì)解題，記住規(guī)則是前提條件，但是僅僅會(huì)背規(guī)則可能一個(gè)題也不會(huì)解，必須活學(xué)活用。通過游戲，孩子能體驗(yàn)到這一點(diǎn)，這種體驗(yàn)對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是大有幫助的。