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        有關(guān)復(fù)數(shù)模的一道不等式另證及對猜想的否定

        2018-02-09 07:02:03福建省福州市第二十四中學(xué)郵編350015

        福建省福州市第二十四中學(xué) (郵編:350015)

        筆者曾在文[1]給出了有關(guān)復(fù)數(shù)模的一道不等式,即以下結(jié)論

        定理設(shè)a、b、c∈C,求證:

        |a|+|b|+|c|-(|b+c|+|c+a|+|a+b|)+|a+b+c|≥0.

        文中應(yīng)用了一個關(guān)于復(fù)數(shù)模的一個恒等式來證明.本文將對定理中的不等式介紹另一種證明方法.

        定理又一證明利用等式

        |a|2+|b|2+|c|2+|a+b+c|2=|b+c|2+|c+a|2+|a+b|2(證略),

        (|a|+|b|+|c|+|a+b+c|)2

        -(|b+c|+|c+a|+|a+b|)2

        =|a|2+|b|2+|c|2+|a+b+c|2

        +2(|b||c|+|c||a|+|a||b|)

        +2|a+b+c|(|a|+|b|+|c|)

        -(|b+c|2+|c+a|2+|a+b|2)

        -2(|c+a||a+b|+|a+b||b+c|

        +|b+c||c+a|)

        =2|a+b+c|(|a|+|b|+|c|)

        +2(|b||c|+|c||a|+|a||b|)

        -2(|c+a||a+b|+|a+b||b+c|

        +|b+c||c+a|)

        =2[(|a+b+c||a|+|b||c|)

        +(|a+b+c||b|+|c||a|)

        +(|a+b+c||c|+|a||b|)]

        -2(|c+a||a+b|+|a+b||b+c|

        +|b+c||c+a|)

        ≥2(|a2+ab+ac+bc|+|b2+ab+ac

        +bc|+|c2+ab+ac+bc|)

        -2(|c+a||a+b|+|a+b||b+c|

        +|b+c||c+a|)

        =2(|c+a||a+b|+|a+b||b

        +c|+|b+c||c+a|)

        -2(|c+a||a+b|+|a+b||b+c|

        +|b+c||c+a|)=0,

        故原式成立.

        同時,筆者在文末曾提出了如下

        猜想設(shè)zi∈C,i=1,2,…,n,求證:

        事實上,上述猜想不成立.反例如下:

        取n=4,z1=z2=z3=1 ,z4=-2,這時,有

        |z1|+|z2|+|z3|+|z4|=5, |z1+z2|+|z1+z3|+|z1+z4|+|z2+z3|+|z2+z4|+|z3+z4|=9,

        |z2+z3+z4|+|z1+z3+z4|+|z1+z2+z4|+|z1+z2+z3|=3,

        |z1+z2+z3+z4|=1,

        于是,

        =5-9+3-1=-2<0.

        故猜想不成立.

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