張桂梅，劉峰瑞，劉建新

1.江西省圖像處理與模式識別重點實驗室（南昌航空大學），南昌 330063

2.西華大學 機械工程學院，成都 610039

1 引言

圖像增強是圖像處理的一項重要內容，通過圖像增強改善圖像的視覺效果，將圖像轉換成更適合于人眼觀察或機器分析、識別的形式。圖像增強按其所處理的空間不同，可分為頻域增強法和空域增強法。頻域圖像增強算法[1]的原理是利用傅里葉變換處理圖像，再使用濾波函數對其進行處理，最后使用反傅里葉變換還原得到處理后的圖像。濾波過程需要根據圖像增強的目的采用低通濾波、高通濾波等手段進行處理，使用的函數需要根據應用場景選擇[2]。Guillon等人[3]基于自適應濾波器掩模，將非線性低通和高通濾波器結合，對圖像同時進行噪聲消除和增強處理。空域圖像增強方法是直接作用于圖像中的像素點，以此來增強圖像的對比度和亮度，從而改善圖像的視覺效果?？沼蛟鰪姺煞譃榛叶茸儞Q增強法和空間濾波增強法?；叶茸儞Q增強法是對像素點處理的方法，典型的有直方圖均衡化，空間濾波增強等。直方圖均衡化完全“自動”，計算簡單，但由于是對整幅圖像進行全局處理從而導致細節(jié)丟失、局部增強不足或過增強現象，且易放大圖像中的噪聲[4]；空間濾波增強法是通過對圖像像素進行卷積操作，并逐個像素的移動掩模來完成整幅圖像的增強。例如中值濾波，中值濾波由于可對噪聲起到良好的平滑效果，但對保留圖像的邊緣等高頻部分的作用較小[5]。Laplace二階微分算子[6]對圖像銳化時，會造成低頻分量信息有所損失。無論是空域還是頻域方法都不能很好地解決在增強圖像的高頻分量的同時保留圖像的低頻分量之間的矛盾。

分數階微分是整數階微分運算的推廣，在對分數階微分理論的研究中發(fā)現，分數階微分具有“弱導數”性質[7-9]，即分數階微分能大幅度提升信號的高頻分量，同時非線性地保留信號中的中低頻分量。將分數階微分用于圖像增強中，可以使圖像的邊緣明顯增強，紋理細節(jié)更加清晰，并且非線性保留圖像中的平滑區(qū)域信息[10]?；诖朔謹惦A微分在圖像增強技術中得到廣泛應用。文獻[11]從經典的分數階微分Grünwald-Letnikov（G-L）定義出發(fā)，推導出分數階差分方程，構建了近似的Tiansi微分算子，并證明該算子增強圖像的視覺效果明顯優(yōu)于傳統的整數階算子增強方法，但是尋求增強圖像效果最好時的最佳階次，需要耗費時間，缺乏階次自適應性。文獻[12]根據二維數字圖像具有自相關性，為了充分利用鄰近像素點的信息，推導出基于分數階微分Rieman-Liouville（R-L）定義的模板系數，構造了八個方向的分數階圖像增強模板，但該方法對于階次的選擇也缺乏自適應性。文獻[13]針對目前只能通過人為實驗指定最佳分數階微分階次的現狀，為了節(jié)省人工尋求最佳分數階微分階次的時間，根據圖像梯度特征和人眼視覺特性等理論，提出了能夠自動生成分數階微分階次的新方法，但是該算法對階次自適應性沒有結合圖像的局部統計信息。文獻[14]提出了一種可變階次的分數階微分圖像增強算子，結合圖像中的局部信息熵值、粗糙度來調整分數階微分階次，對圖像的增強取得一定的效果，但是階次自適應函數的選取不是很合理，同時選取的圖像的局部統計信息量較少。

為了節(jié)約人工尋求最佳分數階微分階次的時間，同時結合圖像的局部統計信息來設定微分階次，使每一個像素點在圖像與掩模的卷積過程都對應不用的階次。本文構造了分數階微分階次自適應模型，用反正切函數使微分階次與圖像局部信息（圖像梯度、信息熵、對比度和亮度）結合起來，并使微分階次在圖像增強一直處于變動中，從而增強掩模也一直處于變動中，即所構造的模板為動態(tài)模板。

2 相關理論

2.1 分數階微分對信號的作用

對于任一能量型函數f(t)∈L2(R)，其Fourier變換[15]為

假設 f(t)的整數n階導數為 fn(t)，n∈Z，可以表示為：

將上式中的整數階n推廣到分數階v，則f(t)的分數階v階導數為 fv(t)，v∈R+，則其v階Fourier的變換為：

根據式（2）和式（3），可以繪制出分數階微分在階次v=0.1,v=0.3,v=0.7,v=1,v=2時的幅頻特性曲線，如圖1所示。

圖1 分數階微分對信號的幅頻特性曲線

從圖1中可以看出分數階微分對信號的高頻具有提升作用，且提升幅度隨頻率和分數階微分階次的增加呈非線性急速增長；同時對信號的中低頻進行了保留。對于一幅圖像，平滑區(qū)域對應于信號的低頻；紋理區(qū)域對應于信號的中頻；邊緣和噪聲對應于信號的高頻。也即是分數階微分可以實現圖像的銳化；在實現圖像的銳化過程中，利用分數階微分的非線性特性，選擇適當的微分階次，可以大幅提升圖像邊緣和加強紋理細節(jié)、非線性保留平滑區(qū)域和避免產生較大的噪聲。本部分將為分數階微分階次的選擇范圍、自適應函數模型的構建提供理論依據。

2.2 Tiansi算子

分數階微分Grünwald-Letnikov（G-L）定義來源于經典的整數階次微分，把微分的階次從整數擴展到分數。即

若一元信號f(t)的持續(xù)期為t∈[a,t]，按單位h=1進行等分，可以得到推導出一元信號的分數階微分差分表達式：

一般來說，在M×N的圖像上，用m×n大小的濾波器掩模進行線性濾波。

其中a=(m-1)/2且b=(n-1)/2。為了得到一幅完整的濾波后圖像，必須對x=0,1,2,…,M-1和 y=0,1,2,…,N-1依次應用式（6）進行濾波，在8個對稱的方向上[11]分別進行微分運算。根據公式（5）可以得出差分式的前n項系數，并可以構造出各向同性濾波器，如圖2所示。圖2是大小為(2n+1)×(2n+1)的八方向分數階微分掩模，對于模板中非8個方向的值為0，此算子被稱為Tiansi算子[11]。由于本文選擇的微分算子是Tiansi算子，所以本部分將為第3章中分數階微分圖像增強掩模的選取提供理論依據。

圖2 (2n+1)×(2n+1)的八方向分數階微分掩模

3 分數階微分階次自適應函數模型的構建

3.1 分數階微分圖像增強掩模的選取

從分數階微分對信號的幅頻特性曲線圖中可以看出，分數階微分對圖像具有銳化作用，在銳化圖像中，不僅可以提升圖像中的高頻信息，還可以保留圖像中的中低頻信息。Tiansi算子是在文獻[11]中提出的，通過分數階微分Tiansi算子與圖像進行卷積運算，使圖像邊緣特征明顯突出、紋理細節(jié)更加清晰和平滑區(qū)域信息得以相對保留，從而提高了圖像的視覺清晰度。為了驗證本文構建的微分階次自適應模型的有效性，選最經典的Tiansi算子[11]作為本文的分數階微分掩模。

圖2為(2n+1)×(2n+1)的Tiansi算子，隨著n值變動模板的尺寸也在變動。由于在數字圖像中，相鄰像素點之間的灰度值具有高度的自相似性，在圖像中表現為紋理信息、邊緣信息和平滑信息。若模板尺寸過小則沒有充分利用目標像素點鄰近區(qū)域的圖像信息；而模板尺寸過大，往往對圖像造成過度平滑，且增加了計算量，此外較遠的像素點對目標像素點的影響也較小。綜合考慮這兩個因素，本文采用大小為5×5的Tiansi算子。將Tiansi算子歸一化后的5×5掩模模板，如圖3所示，其中：

圖3 5×5分數階微分模板

3.2 圖像增強微分階次自適應模型的構造

3.2.1 與階次相關的圖像信息的選擇

為了構造自適應微分階次的數學模型，需要根據圖像的局部特征信息自動計算圖像中每個像素點的最佳階次。圖像梯度反映了圖像灰度在空間上的變化率，表現在圖像上梯度大處像素變化明顯；梯度變化小處，圖像則變化平緩；灰度相同區(qū)域，則梯度為零。圖像梯度實際是紋理的一個量化反映。圖像信息熵反映圖像紋理信息的豐富程度[16]。因此，在圖像的邊緣具有更大的圖像信息熵，反之在圖像平滑區(qū)域和紋理區(qū)域信息熵更小。圖像的亮度和對比度，可以測量圖像中局部的灰度變化，相當于從人眼視覺的一個角度來評判。圖像的亮度和對比度越大，圖像的此塊區(qū)域越可能為邊緣；亮度和對比度值越小，越可能為紋理區(qū)域和平滑區(qū)域。用均值來估計亮度，用標準差來估計對比度[17]?；谏鲜鲈虮疚倪x取了4個與階次相關的圖像信息，分別為圖像梯度、圖像信息熵、圖像對比度、圖像亮度。其具體定義和計算公式如下。

定義1圖像I在某像素點(x,y)上的梯度是一個二維列向量[18]，可以表示圖像中像素點灰度值變化率。因此，在圖像的邊緣具有較大的梯度，而圖像平滑區(qū)域和紋理區(qū)域的梯度則相對較小。定義為：

向量G[I(x,y)]的模值為：

在計算過程中，為簡便運算，定義梯度模值為：

定義2信息熵是一種信息量的度量，反應圖像紋理信息的豐富程度[16]。因此，在圖像的邊緣具有更大的圖像信息熵，而在圖像平滑區(qū)域和紋理區(qū)域信息熵則更小。其定義為：

其中S信息熵值，i,j為像素坐標，Iij為灰度值，Pij在模板內相同灰度值的概率。

定義3圖像的亮度和對比度，可以測量圖像中局部的灰度變化。相當于從人眼視覺的一個角度來評判。圖像的亮度和對比度越大，圖像的此塊區(qū)域越可能為邊緣；亮度和對比度值越小，越可能為紋理區(qū)域和平滑區(qū)域。用均值來估計亮度，用標準差來估計對比度[17]。其定義為：

3.2.2 構建分數階階次自適應數學模型

由3.2.1小節(jié)定義1～定義3分析可以得知，圖像某處的梯度、信息熵、對比度和亮度值越大，則該區(qū)域為邊緣區(qū)域可能性越大；反之4個信息值越小，該區(qū)域越可能為圖像的紋理區(qū)域或平滑區(qū)域；對于一幅圖像，紋理區(qū)域和平滑區(qū)域對應于信號的中低頻；邊緣和噪聲對應于信號的高頻，也即是某區(qū)域上述四個圖像信息越大，該區(qū)域越可能為高頻區(qū)域，反之越可能為中低頻區(qū)域。

從圖1中的幅頻特性曲線可知分數階微分算子可以提升信號的高頻，非線性地保留信號的中低頻；在提升信號高頻成分時，提升幅度隨著分數階微分階次的增加呈非線性急速增長，也即是階次越大，提升的幅度就越大；在保留信號中的中低頻成分時，提升幅度分數階微分階次的增加呈非線性衰減，也即是階次越大，保留的幅度就越小?？偟膩碚f，高頻區(qū)域的提升，要選擇大的階次；中低頻區(qū)域的提升，要選擇小的階次。反映到數字圖像上，在Tiansi算子增強圖像的時候，邊緣區(qū)域要選擇大的階次，紋理和平滑區(qū)域要選擇小的階次；據此說明圖像某區(qū)域處的4個圖像信息值越大，該區(qū)域應對應選擇較大的階次，反之則應選則的較小的階次進行處理。由此分析可知，分數階次可以根據所選取的4個信息值的變化按照一定的規(guī)律自適應的變化，且分數微分階次隨圖像信息值的增大而增大。

因此分數階階次與圖像的梯度模值、信息熵、對比度和亮度有關。由此構造函數并結合圖像的是4種信息，將圖像的4種信息進行歸一化，并將歸一化的信息特征進行融合，即使0≤G≤1，0≤S≤1，0≤ ||B ≤1，0≤C≤1，k1,k2,k3,k4為各個信息值所占的權重。

從圖1中可以看出階次為0時，對信號沒有增強效果；階次大于1時，對信號的中低頻成分（0＜w＜1）提升的幅度偏低，也即是對圖像的紋理區(qū)域增強不明顯。由于本文的目的是增強圖像中紋理細節(jié)，所以希望微分階次在（0，1）之間，由于自適應函數的計算出的階次要隨著圖像的信息值單調遞增，同時又希望階次在（0，1）之間，而如圖4所示的反正切函數正好能滿足這個要求，所以本文選擇反正切函數為原型構造自適應分數階模型，自適應函數定義為：式（17）中v為分數階階次，m和b為常數。又由于當f為1時，該像素點一定位于圖像的邊緣區(qū)域，此時應選擇較大的階次，即v=1；f為0時，該像素點一定位于圖像的平滑區(qū)域，此時應選擇較小的階次，即v=0。于是可得如下方程：

圖4 反正切函數圖像

3.3 算法步驟

故所構造的自適應分數階模型為：

步驟1輸入待增強的圖像，若圖像為非灰度圖像，則將其轉換為灰度圖像。

步驟2根據公式（11）～（14）計算圖像的梯度值、局部信息熵值和對比度值和亮度值，并根據公式（15）、（16）計算融合后的圖像局部信息值。

步驟3將局部特征信息代入公式（19）中，計算圖像中各個像素點的階次。

步驟4用階次自適應函數v與Tiansi算子中5×5掩模模板相結合，構成微分階次自適應掩模，即根據公式（8）和圖3構造分數階微分模板。

步驟5應用微分階次自適應掩模與原圖像進行卷積操作，得到增強圖像。

4 仿真實驗

4.1 實驗環(huán)境

本文實驗所采用的計算機環(huán)境為：Intel?Core?i5 CPU 650@3.20 GHz，內存4.00 GB，操作系統系統為Windows 7，程序采用使用Matlab R2010a實驗。選取如圖5所示的4幅圖像進行實驗測試。圖5（a）和（b）的Lena和Barbara圖像分別是標準圖像庫中的圖像，均具有較豐富的紋理細節(jié)，圖5（c）和（d）分別為兩幅巖石圖像，其中巖石1的紋理細節(jié)較為豐富，巖石2圖像的紋理邊緣和平滑區(qū)域較為突出。

圖5 實驗圖像

4.2 評價準則

在本文的圖像增強實驗中，對實驗結果分別進行了定性分析和定量分析。定性分析是對圖像的平滑紋區(qū)域、紋理區(qū)域和邊緣區(qū)域從視覺角度進行分析，同時比較增強后的圖像與原圖的殘差圖；在定量分析中選取了圖像的信息熵[16]、平均梯度[19]、清晰度和對比度作為評價指標。

（1）圖像信息熵，呈現了圖像中平均信息量的大小，圖像的一維熵可以說明圖像中灰度分布的聚集性所含有的信息量。反應圖像紋理信息的豐富程度，其計算公式如式（12）。

（2）平均梯度，指圖像中每一個像素值與其鄰域像素值的一階差分的加權和，其能夠較好地反映圖像邊緣特性和灰度變化率。用于衡量圖像的細節(jié)反差和紋理特征，計算公式為：

（3）清晰度，是衡量圖像質量的最重要的標準之一，圖像的清晰度高，圖像中人物輪廓就比較清晰；清晰度低，圖像中的人物輪廓就不清晰?？捎糜诤饬繄D像上各局部細節(jié)及其邊界的清晰程度，計算公式為：

式中，D為清晰度，Ix(i,j)和Iy(i,j)表示圖像I在x和y方向的導數。

（4）對比度，指的是一幅圖像中明暗區(qū)域最亮的白和最暗的黑之間不同亮度層級的測量，亮度層及差異范圍越大代表對比度越大，差異范圍越小代表對比度越小?？梢杂脕頊y量圖像中局部的灰度變化。計算公式為：

式中，T為對比度，μ為圖像I的均值，σ2為圖像I的方差。

4.3 實驗結果和分析

對圖5所示的4幅實驗圖像用本文提出的自適應微分階次模板進行增強實驗，由于本文是在Tiansi微分算子模板的基礎上開展工作的，所以將本文方法與Tiansi算子在效果較好的2個固定階次（階次為0.3和0.7）進行比較，此外由于典型的整數二階微分算子Laplacian算子是公認的效果較好的圖像增強算子，故也與Laplacian算子進行對比，并進行定性分析和定量分析。

4.3.1 實驗結果的定性分析

對Lena圖像分別用本文的方法、Tiansi算子（兩個效果較好的固定階次）和Laplacian算子進行實驗，增強后的效果圖如圖6所示，圖6（a）和圖6（b）分別為Tiansi算子固定階次為0.3、0.7時的增強圖，圖6（c）為拉普拉斯算子的增強圖，圖6（d）為本文算法的增強圖。從圖6可以看出：圖6（a）不管是在頭發(fā)的紋理區(qū)域還是帽子上面的平滑區(qū)域都沒有得到明顯的增強；圖（b）的Lena圖像周圍的平滑區(qū)域出現了過度銳化現象；圖（c）中整幅圖像增強的效果不是很明顯，特別是在頭發(fā)等紋理區(qū)域，這也證明了分數微分算子（Tiansi算子）比整數階算子的增強效果要好；圖（d）為本文算法的增強效果圖，不僅在頭發(fā)和眼睛等紋理區(qū)域得到明顯的增強，臉部等平滑區(qū)域也沒有出現過度銳化現象，整幅圖像的增強效果比較明顯的。為了方便觀察，進一步用增強后的圖像與原始輸入圖像的殘差圖像進行對比，如果增強效果較弱，則殘差圖像中黑色區(qū)域居多；增強效果較強的，則殘差圖像中白色居多，從如圖7所示的殘差圖像中可以明顯看出本文算法的增強效果比較顯著。

圖6 Lena圖像的增強效果圖

圖7 Lena殘差圖像

為了驗證本算法在紋理區(qū)域的增強效果，本文選擇紋理豐富的Barbara圖像重復上述實驗，實驗結果如圖8所示，在該圖像中包含較多紋理豐富的區(qū)域，如圖8中的桌布、披肩、褲子、頭發(fā)等都是紋理豐富的區(qū)域。圖8中（a）、（b）分別為固定階次為0.3、0.7時的增強圖，（c）為拉普拉斯算子的增強圖，（d）為本文算法的增強圖。在4幅增強圖中可以看出本文的算法視覺效果最好，既沒有圖8（a）中的增強不足，也不像圖8（b）、圖8（c）的過度銳化。從4幅殘差圖中可以發(fā)現本文算法的殘差圖最為清晰，這也表明了本文算法的增強效果最好。

圖8 Barbara圖像的增強效果圖

圖9 Barbara殘差圖像

為了進一步驗證本文模型的有效性，再次選擇了兩幅紋理豐富的巖石圖像（巖石1和巖石2），實驗結果如圖10～圖13。從圖10可以看出Tiansi算子在階次為0.7時整幅圖像出現過度銳化現象，圖像已經失真，在階次為0.3增強效果有些不足，但此時紋理區(qū)域的增強效果較好，Laplacian算子增強后的圖也出現了失真現象。圖10（d）增強后的圖更加清晰，銳化的效果也很明顯。從圖11的殘差圖中也可以發(fā)現本文模型增強比較均衡，效果較明顯。

圖10 巖石1圖像的增強效果圖

圖11 巖石1殘差圖像

圖12 巖石2圖像的增強效果圖

圖13 巖石2殘差圖像

巖石2圖像比巖石1圖像較為光滑，平滑區(qū)域較多，且分布比較分散。從4幅增強后的圖像可以看出圖12（a）圖的增強效果不明顯，增強不足；圖12（c）圖也出現了增強不足現象；圖12（b）和圖12（d）圖增強效果較好，從視覺效果看不出很大的差別，但比較其殘差圖可以看出本文方法的殘差圖像白色居多，表明其增強效果最好，銳化效果也比較明顯。

4.3.2 實驗結果的定量析

為了進一步驗證本文模型的有效性，進行了定量分析，表1～表4為4幅實驗圖片增強后的圖像以及原輸入圖像的信息熵、平均梯度、清晰度和對比度數值。

從表1中可以看出Lena圖像用本文算法增強后的圖像，其熵值雖然沒有達到最高，但是相比于原圖熵值得到了提升，這是因為Lena圖像紋理不是很豐富；巖石2圖像的紋理比較豐富，本文算法增強后信息熵與原圖相比，有較大提升，并且比Tiansi算子階次為0.7時、Laplacian算子也有提升，但比Tiansi算子階次為0.3時的信息熵略小；對于Barbara圖像和巖石1圖像用本文算法增強后圖像的熵值達到了最高，因此本文算法對于紋理越豐富的圖像，增強效果越好。

表1 圖像信息熵值的對比

表2 圖像平均梯度的對比

表3 圖像清晰度的對比

表4 圖像對比度的對比

從表2中可以看出Tiansi算子、拉普拉斯算子和本文算法的增強圖的平均梯度都得到了提升，但是本文算法對于圖像平均梯度的提升是最大的，從3.2.2小節(jié)的分析中可以得知在圖像增強中，邊緣區(qū)域要選擇大的階次，紋理和平滑區(qū)域要選擇小的階次，本文算法選取的自適應函數剛好能滿足這個要求，從圖1中可以看出通過自適應函數選取的階次，圖像不管是在紋理區(qū)域還是在圖像邊緣提升的幅度都能達到最大，使圖像在各個區(qū)域的梯度值都達到最大，從而使圖像整體的平均梯度值較大，而Tiansi算子、拉普拉斯算子增強的圖像達不到這個要求，所以本文算法增強的圖像的平均梯度值最大。從而表明了本文算法對真實紋理圖像和標準紋理圖像增強效果都比較明顯。

表3是圖像清晰度值的對比，圖像清晰度是用于衡量圖像上各局部細節(jié)及其邊界的清晰程度，從表3中可以看出本文算法在4組圖像增強中，圖像清晰度上的提升是最大的，也即表明用本文算法的增強后的圖像在紋理細節(jié)及邊界處均最清晰，這是由于本文算法的增強圖在紋理區(qū)域和邊緣區(qū)域增強的梯度幅值是最大的，所以增強后的圖像清晰度與用相比較的算子增強后圖像的清晰度達到了最大值，從而進一步證明了本文算法的有效性。

從表4中可以看到在4幅實驗圖像的增強實驗中，本文算法只有在巖石1圖像中的對比度沒達到最大，但是相對于原圖，對比度也得到了較大的提升，其他3幅圖像中對比度都達到了最大。巖石1圖像的對比度沒達到最大，是因為從視覺角度看在巖石1圖像中Tiansi算子（v=0.7）、拉普拉斯算子增強的圖像出現過度銳化，從而導致圖像的對比度變大；本文算法的增強圖既沒有出現過度銳化也沒有出現增強不足現象，所以本文算法的增強效果理想。

綜合上述4種定量評價指標，可以得出本文算法的圖像增強效果比較顯著，這是因為本文根據圖像的局部統計信息構造了自適應分數階微分階次的數學模型，該模型可以根據圖像中各像素點的局部特征信息自動計算其最佳階次，并與Tiansi算子模板相結合，使圖像的增強效果達到最佳，且對紋理越豐富的圖像，其增強效果越好。從而證明了本文提出的分數階微分階次自適應模型的有效性。

5 結論

本文基于圖像的梯度模值、信息熵、亮度和對比度，以反正切函數為原型，構造了自適應分數階階次的數學模型，自動自適應計算整幅圖像中各個像素點的階次，同時設計了基于該分數階微分階次的算子掩模。該方法可以根據圖像中各個像素點的局部特征信息自適應地調節(jié)算子掩模系數，對各個像素點采用相應的掩模模板進行處理。解決了人工尋找最佳分數階微分階次的費時費力的問題，同時也提高了圖像增強的精度。今后的研究工作將進一步優(yōu)化自適應數學模型，提高運算速度，進而提高圖像增強的效率。

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