李 強 覃志遠 陳 聰 熊佳芬 馮公警

(南京航空航天大學 1理學院， 2航天學院,江蘇 南京 211100)

1 提出問題

本文的研究內(nèi)容是來源于2016年IYPT(International Youth Physics Tournament,國際青年物理學家競賽)的一道賽題: Problem No.7 “Hot Water fountain” Partially fill a Mohr pipette with hot water. Cover the top of the pipette with your thumb. Turn the tip upwards and observe the fountain exiting the tip. Investigate the parameters describing the height of the fountain, and optimize them to get the maximum height. (用熱水部分裝填一個莫爾吸量管,用大拇指蓋住其上端并倒置,可觀察到從尖部噴出的熱水噴泉。請研究決定熱水的最大噴射高度的參量,并改變它們以獲得最大的高度。)[1]

熱水噴泉現(xiàn)象的研究在地熱噴泉的開發(fā)利用、噴水推進技術研究等方面有潛在應用價值。但到目前為止,國內(nèi)外對該現(xiàn)象定量研究的報道較少。劉建曉等人研究了莫爾吸量管中吸入部分熱水產(chǎn)生的噴泉現(xiàn)象,應用伯努利方程得到最大噴射高度的表達式,討論了吸水高度、平衡溫度及噴嘴孔徑對最大噴射高度的影響。他們通過多項式擬合求得平衡溫度與吸水高度的關系式[2]。付偉娟等同樣應用伯努利方程并具體考慮莫爾管管口形狀建立理論模型[6]。由于熱水噴泉現(xiàn)象屬于一種有多變量因素(如:熱水溫度、吸水高度以及莫爾管規(guī)格等)綜合作用的非定常流動,而伯努利方程只適用于定常流體的運動問題,因此直接應用伯努利方程處理該現(xiàn)象過于理想化。為此,我們從噴水過程中的熱水量守恒以及動能定理出發(fā)，建立了一個既適用于定常流動又適用于非定常流動的更普遍的理論模型。在此基礎上,通過設計不同實驗參量,從實驗上對上述模型進行了驗證。結果表明:實驗測量結果與理論模型的數(shù)值計算結果符合較好；熱水溫度、吸水高度以及莫爾管規(guī)格是影響最大噴射高度的主要因素。

2 實驗研究與分析

2.1 實驗裝置

實驗中用到的器材裝置有:鐵架臺、量尺、溫度計以及莫爾管和高速攝像機。如圖1所示。

圖1 實驗裝置圖

莫爾管是一種有上、下兩個端口的細長玻璃儀器,常用于測量液體體積。管身上的刻度線用于標記液體體積大小,兩個端口一大一小,便于液體進出。

2.2 實驗方法

為了和后面理論建模與分析保持一致,對實驗中可能出現(xiàn)的物理量采用如下定義:H為莫爾管總長度;m為口徑比,即莫爾管較細端口面積和較粗端口面積的比值；S2為莫爾管細口的面積;r為莫爾管粗口的半徑;h0為實驗過程吸入的熱水高度;hmax為噴水過程中水柱達到的最大高度。

2.3 實驗過程

實驗準備時,先將莫爾管較小的管口朝下豎直浸在熱水池中,利用洗耳球從其上部的大管口吸氣,可使其下部的小管口能從熱水池中吸入一定量的熱水,隨后用橡膠塞堵住大管口。實驗開始時,用旋轉(zhuǎn)夾將裝好熱水的莫爾管小管口豎直朝下采用可旋轉(zhuǎn)夾持器固定在鐵架臺上,隨后將莫爾管迅速轉(zhuǎn)動180°(如圖2所示),隨即熱水柱從較小管口豎直向上噴出。為方便測量噴射高度,我們在熱水中加入了少量黑色墨水。

圖2 莫爾管夾持圖

2.4 實驗結果

(1) 實驗時,首先使用高速攝像機觀察了從管口噴出去的熱水的形狀,發(fā)現(xiàn)噴出去的熱水呈完整的水柱狀。

(2) 在一定條件下實驗，觀察到從莫爾管中噴出的水柱高度隨時間先從零開始增加達到一個最大值后減小。實驗結果如圖3所示。

圖3 噴射高度隨時間變化實驗結果(吸水高度為0.17m,熱水溫度為73℃,環(huán)境溫度為19℃)

(3)其他變量(熱水溫度,莫爾管規(guī)格,環(huán)境溫度)相同，研究吸水高度對最大噴射高度的影響時,實驗得到的數(shù)據(jù)如表1、表2所示。

表1 最大噴射高度hmax隨吸水高度h0變化的實驗數(shù)據(jù)

表2 最大噴射高度hmax隨吸水高度h0變化的實驗數(shù)據(jù)

由表1和表2的實驗數(shù)據(jù)可看出,在兩種不同的環(huán)境溫度下,莫爾管中熱水噴射的最大高度隨著初始時莫爾管中吸水高度逐漸增加都經(jīng)歷了先減小后增大的變化。

(4) 其他變量(吸水高度,莫爾管規(guī)格,環(huán)境溫度)相同,考慮熱水溫度對最大噴射高度的影響時,實驗得到的數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 最大噴射高度hmax隨熱水溫度T變化的實驗數(shù)據(jù)

3 理論建模與分析

為了解釋上述實驗現(xiàn)象及結果,對噴射過程進行了如下的理論分析和建模。

圖4 噴水裝置示意圖

此過程可看作是等容過程,因此有

(1)

(2)

其中,c與熱水-環(huán)境溫差有關,還與初始時加入的熱水量以及管子規(guī)格有關。

將式(2)代入式(1),得

(3)

設噴水過程開始時刻t0=0，t時刻,各部分熱水柱長度分別為h(t),h1(t),噴水過程中任意時刻下部空氣壓強為p(t),體積為V(t)=πr2[H-h1(t)]。

由于熱水可認為不可壓縮,因此水的總體積不變

在噴射過程中,可認為管內(nèi)空氣經(jīng)歷絕熱過程:

(6)

在噴射過程中的t～t+dt時間段內(nèi),管中空氣柱的壓強和外界大氣壓以及水柱的重力做的總

功等于熱水柱總動能的增加

(7)

將式(6)代入并在等式兩邊同時除以dt,得

(8)

式(8)即為描述熱水噴射高度隨時間變化的微分方程式。此式很難求出解析解,但可做數(shù)值求解,以便與實驗結果進行比較。

4 實驗與理論比較

算得一系列c值,見表4。

表4 不同情況下的c值

4.1 噴射高度隨時間變化

考慮吸水高度為0.17m,熱水溫度為73℃,環(huán)境溫度為19℃的情況

根據(jù)式(8)代入?yún)?shù)做數(shù)值計算得出的噴射高度隨時間變化如圖4所示。

圖5 噴射高度隨時間變化理論結果(吸水高度為0.17m,熱水溫度為73℃,環(huán)境溫度為19℃)

由圖4可以看出,噴射高度先從零開始增加達到一個最大值后逐漸減小。這與實驗結果中(2)相符。

4.2 最大噴射高度與吸水高度的關系

考慮環(huán)境溫度為19℃，熱水溫度為83℃的情況

由圖6可得出,在兩種不同的環(huán)境溫度下,莫爾管中熱水噴射的最大高度隨著初始時莫爾管中吸水高度逐漸增加都經(jīng)歷了先減小后增大的變化。這是由于一方面當加入熱水較少時,其自身重力越小,從而對莫爾管內(nèi)空氣膨脹的阻力影響較小,最大噴射高度就較高；另一方面,熱水越多,空氣在預熱結束后溫度越高,壓強越大,從而對外做功能力越強,這也可以從c值表4得到反映。

圖6 不同吸水高度對最大噴射高度的影響(環(huán)境溫度:19℃,熱水溫度:83℃)

從圖6可以看出,最大噴射高度隨初始時吸水高度變化很明顯,說明吸水高度是一個重要的影響因素。

4.3 最大噴射高度與熱水溫度的關系

考慮初始時莫爾管吸水高度為0.12m,環(huán)境溫度為19℃的情況:

由圖7可得出,最大噴射高度隨著熱水溫度的升高快速地增加,這是由于熱水溫度越高,管內(nèi)空氣被充分預熱完成后的溫度就越高,從而壓強越大,對外做功的能力就越強,水柱最大噴射高度越高。

圖7 不同熱水溫度對最大噴射高度的影響(吸水高度:0.12m,環(huán)境溫度:19℃)

由圖7可見,最大噴射高度隨熱水溫度增加有明顯的變化,因此熱水溫度也是一個重要的影響因素。

5 結論

本文以莫爾管為基本實驗裝置,采用控制變量法,通過對一系列實驗數(shù)據(jù)的測量,探討了熱水噴泉現(xiàn)象中各種因素對水柱最大噴射高度的影響,得到了最大噴射高度隨熱水溫度、吸水高度等參量的變化規(guī)律。在此基礎上,基于噴水過程中的動能定理,建立了一個最大噴射高度與相關量關系的理論模型,數(shù)值計算了上述實驗條件下的最大噴射高度,并與實驗數(shù)據(jù)進行比較,結果表明:實驗測量結果與理論模型的計算結果符合得較好。該研究進一步揭示了熱水噴泉現(xiàn)象中的運動機理,研究結果對開展熱水噴泉的相關應用有一定的指導作用。

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