孫海鵬 許可 劉宏 馬立硯

摘? 要：為研究四驅(qū)越野車(chē)輛的轉(zhuǎn)向輪的擺振問(wèn)題，本文以某型越野SUV為樣車(chē)，采用非線性輪胎數(shù)學(xué)模型魔術(shù)公式，建立關(guān)于轉(zhuǎn)向輪的單自由度擺振力學(xué)模型。根據(jù)力學(xué)模型建立運(yùn)動(dòng)方程，應(yīng)用Hopf分岔定理進(jìn)行定性分析，結(jié)果表明，以車(chē)速作為變量時(shí)，該擺振系統(tǒng)在某一速度分岔點(diǎn)處發(fā)生Hopf分岔;然后使用四階龍格-庫(kù)塔（Runge-Kutta）方法對(duì)擺振系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算，得出該系統(tǒng)的速度分岔圖，數(shù)值計(jì)算與定性分析，得到的分岔點(diǎn)幾乎一致。最后針對(duì)系統(tǒng)擺振幅值最大工況下的幅頻特性進(jìn)行了分析，并以主銷(xiāo)后傾角為參數(shù)研究其對(duì)擺振的影響。本文研究結(jié)果為在設(shè)計(jì)階段避開(kāi)自激擺振和使用階段抑制自激擺振提供理論參考。

關(guān)鍵詞：越野SUV;魔術(shù)公式;Hopf分岔;擺振

中圖分類(lèi)號(hào)：U461.6? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：? ? ?文章編號(hào)：1005-2550（2018）06-0014-06

Study on Off-Road SUV Steering Wheel

Hopf Bifurcation leadsto Shimmy

SUN Hai-peng1， XU Ke2， LIU Hong1， MA Li-yan1

（ 1.DongFengMotor Corporation Technical Center， Wuhan 430056， China;

2.Shanghai ZieZone Automotive parts Co.，Ltd， Shanghai 201100， China ）

Abstract： In order to study shimmy problem of the steering wheel of off-roadSUV， consider nonlinear of the tire.A single degree of freedom shimmy model is establishedconsidering the magic formula. Using the Hopf bifurcation theorem determined the result of the qualitative analysis of the equations of motion. The result shows that Hopf bifurcation occurredat speed bifurcation point. Then using the Runge - Kutta methods calculated shimmy system， andget the system speed bifurcation diagram. The diagram showed that the numerical results and qualitative analysis consistent. Finally， the amplitude-frequency characteristics of the system are analyzed at the speed corresponding to the maximum amplitude value， and studying the relationship between the kingpin and shimmy. The results can provide a theoretical reference for suppressing the self-excited shimmy of the type automobile.

引言

隨著自駕游被越來(lái)越多的人喜愛(ài)，越野SUV成為廣大車(chē)主選購(gòu)對(duì)象。相比兩驅(qū)車(chē)，四輪驅(qū)動(dòng)汽車(chē)能夠?qū)Ⅱ?qū)動(dòng)力按比例分配給四個(gè)車(chē)輪，因此，該型汽車(chē)能以更高的操穩(wěn)定性，順利通過(guò)各種惡劣路況。但越野SUV轉(zhuǎn)向系統(tǒng)行駛中若出現(xiàn)自激擺振時(shí)，將極大的影響車(chē)輛的操穩(wěn)性能，增加駕駛員的緊張感，使得在惡劣路況駕駛成為危險(xiǎn)行為。因此，有必要對(duì)越野SUV轉(zhuǎn)向輪Hopf分岔導(dǎo)致的自激振動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行研究。David在1998年就針對(duì)軍用多軸驅(qū)動(dòng)越野車(chē)性能，開(kāi)展建模和仿真研究[1]。非獨(dú)立懸架的多軸驅(qū)動(dòng)汽車(chē)，存在著前輪繞主銷(xiāo)的自激振動(dòng)，該振動(dòng)不需要外界提供周期性的干擾源，振動(dòng)行為發(fā)生后需要外界主動(dòng)阻止方能消減[2]。法國(guó)人Broulhiet1925年，在研究了汽車(chē)前輪擺振現(xiàn)象之后，指出輪胎的力學(xué)特性是重要影響因素[3]。但直到Pacejka于1987年找到非線性的魔術(shù)公式使得對(duì)轉(zhuǎn)向輪Hopf分岔數(shù)學(xué)仿真成為可能[4]。由于計(jì)算機(jī)計(jì)算能力限制，國(guó)內(nèi)的管迪華院士以線性輪胎模型研究了汽車(chē)轉(zhuǎn)向輪的擺振問(wèn)題[5-10]。研究發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)、輪胎的遲滯效應(yīng)和主銷(xiāo)后傾角等因素均對(duì)擺振有較大影響。

因此本文以某型越野SUV為研究樣車(chē)，針對(duì)其前輪擺振問(wèn)題，建立單自由度擺振力學(xué)模型，通過(guò)Hopf分岔原理，定性分析判定擺振系統(tǒng)速度分岔點(diǎn)，并使用4階Runge-Kutta法對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，求解其分岔特性和幅頻特性，并探索主銷(xiāo)后傾角對(duì)擺振的影響。

1? ? 前輪單自由度擺振力學(xué)模型

該型越野SUV采用了4×4驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，前橋既是驅(qū)動(dòng)橋又是轉(zhuǎn)向橋，前傳動(dòng)軸兩端連接前橋和分動(dòng)箱，主銷(xiāo)通過(guò)車(chē)身安裝點(diǎn)和下擺臂安裝點(diǎn)固定，轉(zhuǎn)向系統(tǒng)采用液壓助力式轉(zhuǎn)向器。

1.1? ?擺振系統(tǒng)力學(xué)模型

圖2（b）坐標(biāo)系定義為，以輪胎接地中心點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，汽車(chē)前進(jìn)方向?yàn)閄軸，汽車(chē)左側(cè)為Y軸正向，Z軸垂直地面向上，符合右手坐標(biāo)系法則。根據(jù)圖2（b）的轉(zhuǎn)向輪力學(xué)模型，建立單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。建立方程之前，進(jìn)行以下假設(shè)：

（1）汽車(chē)在勻速直線狀態(tài)行駛時(shí)，忽略空氣阻力。

（2）只考慮右前轉(zhuǎn)向輪繞主銷(xiāo)擺動(dòng)一個(gè)自由度 ，車(chē)輪上相關(guān)結(jié)構(gòu)件以轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、彈簧和阻尼器等效。

（3）汽車(chē)行駛時(shí)，輪胎與地面保持接觸，且不發(fā)生縱向和側(cè)向的滑移。

基于以上假設(shè)，應(yīng)用拉格朗日方程得到數(shù)學(xué)方程，拉格朗日方程為：Section

其中：q—系統(tǒng)的自由度，T—系統(tǒng)的動(dòng)能，U—系統(tǒng)的勢(shì)能，D—系統(tǒng)的耗散能，Q—系統(tǒng)受到的廣義力。

根據(jù)圖2，本文系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能、耗散能及廣義力如下：

系統(tǒng)的動(dòng)能：

其中： θ—轉(zhuǎn)向輪繞主銷(xiāo)擺動(dòng)角， J—車(chē)輪繞主銷(xiāo)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;

系統(tǒng)的勢(shì)能：

其中： K—轉(zhuǎn)向輪繞主銷(xiāo)的扭轉(zhuǎn)角剛度;

系統(tǒng)的耗散能：

其中： C—轉(zhuǎn)向輪繞主銷(xiāo)的粘滯阻尼;

系統(tǒng)的廣義力：

其中：FZ—轉(zhuǎn)向輪所受垂向力;m1—轉(zhuǎn)向輪處簧上質(zhì)量;L—轉(zhuǎn)向節(jié)有效長(zhǎng)度，γ —轉(zhuǎn)向輪主銷(xiāo)后傾角;Fy—轉(zhuǎn)向輪所受側(cè)向力;D—輪胎拖距，R—轉(zhuǎn)向輪的滾動(dòng)半徑;Fx—轉(zhuǎn)向輪所受縱向力。

將式（1.2）～（1.5）帶入到拉格朗日方（1.1）得出轉(zhuǎn)向輪擺振系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程如下：

1.2? ?輪胎側(cè)向力

常用的非線性輪胎模型有：“魔術(shù)公式”模型[11]、“統(tǒng)一模型”[12]和Gim輪胎模型[13]。魔術(shù)公式通用性強(qiáng)，用輪胎擬合數(shù)據(jù)可以得到符合輪胎非線性特性的曲線。故本文選用簡(jiǎn)化后的魔術(shù)公式：

式中，ai（i表示車(chē)輪序號(hào)）表示轉(zhuǎn)向輪的側(cè)偏角，Bi、Ci、Di、Ei分別是剛度因子、形狀因子、峰值因子、曲率因子，a1、a2、a3、a4、a5、 a6、a7、a8為由試驗(yàn)擬合得到的參數(shù)。其數(shù)值如表1所示：

根據(jù)式（1.7）和表1中的數(shù)據(jù)可得輪胎側(cè)偏力Fi 與側(cè)偏角ai之間的關(guān)系曲線如圖3所示：

這里運(yùn)用一階近似張線理論，描述輪胎側(cè)偏角和車(chē)輪擺角之間的關(guān)系：

其中：e—輪胎印記半長(zhǎng)度;σ—輪胎側(cè)向松弛長(zhǎng)度; v—車(chē)速。

2? ? 系統(tǒng)Hopf分岔

2.1? ?Hopf分岔定理

假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)變量方程組為：

并假設(shè)系統(tǒng)（2.1）的Jacobi矩陣為? ? ? ? 。

其中，λ為矩陣? ? ? ? ? 的特征值。

令? ? ? ? ?，求得系統(tǒng)平衡點(diǎn)為（0.00008738， 0， -0.00008738）T。平衡點(diǎn)處Jacobi矩陣為：

以車(chē)速為變量，求解式（2.6），發(fā)現(xiàn)本文所建擺振系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔，臨界車(chē)速為43.16km/h。

由表2可知矩陣A（v）有一對(duì)純虛根，另一個(gè)特征根有負(fù)實(shí)部。另外，A（v）的純虛根λ1=0+42.11i對(duì)應(yīng)的左特征矢量為Xl和右特征矢量為 Xr，

根據(jù)以上Hopf分岔理論的定性分析可知，本文所建系統(tǒng)在臨界車(chē)速處發(fā)生了Hopf分岔現(xiàn)象，將會(huì)產(chǎn)生周期運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)根據(jù)轉(zhuǎn)向輪擺振系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程式（1.6），使用4階Runge-Kutta數(shù)值計(jì)算方法求解進(jìn)行驗(yàn)證，并分析該擺振系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象和極限環(huán)幅頻行為。該越野SUV樣車(chē)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)參數(shù)如下。

出車(chē)輪擺角θ隨車(chē)速v變化的關(guān)系曲線圖，即為該擺振系統(tǒng)的速度分岔特性。如圖4所示：

圖4 轉(zhuǎn)向車(chē)輪擺角θ與車(chē)速v關(guān)系曲線

由圖4可見(jiàn)，該速度分岔曲線在某一車(chē)速發(fā)生突變，即發(fā)生Hopf分岔現(xiàn)象。該車(chē)速為Hopf分岔的臨界車(chē)速，根據(jù)Hopf分岔理論，擺振系統(tǒng)將在臨界速度后發(fā)生自激振動(dòng)，并產(chǎn)生極限環(huán)。根據(jù)數(shù)值仿真計(jì)算，可知橫坐標(biāo)上的臨界分岔速度值為41km/h。

根據(jù)該擺振系統(tǒng)的分岔特性，可知該樣車(chē)的行駛狀態(tài)為：（1）當(dāng)089km/h時(shí)，車(chē)輪擺角隨著車(chē)速增加而緩慢減小，但轉(zhuǎn)向車(chē)輪的擺角始終存在，因此系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

由圖5（a）和（b）中的時(shí)域圖和相圖可知，系統(tǒng)在受到不同的初始激勵(lì)后最終會(huì)趨于等幅振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。根據(jù)激勵(lì)大小，分別從內(nèi)部或外部趨向于一個(gè)封閉的軌跡曲線，該曲線稱為極限環(huán)。由圖5（c）可知，對(duì)于不同的初始激勵(lì)系統(tǒng)的頻譜圖是一樣的，且頻譜圖上只有一個(gè)振頻，說(shuō)明轉(zhuǎn)向輪的擺振仍是單頻振動(dòng)，頻率為7.85Hz。該頻率在常見(jiàn)的汽車(chē)自激擺振頻率范圍內(nèi)。

3.3? ?主銷(xiāo)后傾角對(duì)擺振的影響

選取車(chē)速v=89km/h，并保持其它系統(tǒng)參數(shù)不變，以主銷(xiāo)后傾角γ作為變量，分析系統(tǒng)轉(zhuǎn)向車(chē)輪擺角θ隨主銷(xiāo)后傾角γ的變化。數(shù)值仿真計(jì)算所的曲線如下。

由圖6 可知，主銷(xiāo)后傾角γ的設(shè)計(jì)值不同，決定汽車(chē)轉(zhuǎn)向輪有不同的自激振動(dòng)狀態(tài)：（1）當(dāng)-10°<γ<2.9°時(shí)，轉(zhuǎn)向車(chē)輪擺角為零，擺振系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài);（2）當(dāng)2.9°<γ<10°時(shí)，轉(zhuǎn)向車(chē)輪擺角隨著主銷(xiāo)后傾角γ增加而迅速增大，擺振系統(tǒng)表現(xiàn)為單周期振動(dòng)。因此，為了盡量減小甚至消除車(chē)輪的擺振，對(duì)于該型越野SUV，應(yīng)當(dāng)選取較小或負(fù)的主銷(xiāo)后傾角。

4? ? 結(jié)論

根據(jù)某型越野SUV樣車(chē)，基于非線性輪胎模型，建立了樣車(chē)前轉(zhuǎn)向輪的單自由度擺振模型。應(yīng)用Hopf分岔定理，定性判定了擺振系統(tǒng)的Hopf分岔行為;并使用4階龍格-庫(kù)塔法，通過(guò)數(shù)值計(jì)算得出系統(tǒng)臨界分岔速度值為41km/h，以及系統(tǒng)的單極限環(huán)自激振動(dòng)現(xiàn)象;最后，研究主銷(xiāo)后傾角對(duì)擺振的影響，發(fā)現(xiàn)選取較小或負(fù)的主銷(xiāo)后傾角能夠消除擺振。

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