郭科萱

摘 要：危巖落石墜落過程中會對空氣造成壓縮，被壓縮的空氣對落石形成一個反作用力，建立空氣壓縮理論模型；將落石墜落過程等分為n段，利用空氣動力學(xué)理論、能量守恒定理、空氣動理論逐段進(jìn)行微量分析，推導(dǎo)沖擊速度計(jì)算方法；指出現(xiàn)有研究成果中影響因素考慮較全面的危巖落石沖擊力計(jì)算公式；結(jié)合實(shí)例進(jìn)行計(jì)算并與現(xiàn)有數(shù)據(jù)對比分析，結(jié)果表明該研究成果具有一定的可參考性，對于推動落石災(zāi)害減災(zāi)理論、技術(shù)研究有積極意義。

關(guān)鍵詞：危巖落石 空氣壓縮 落石沖擊速度 落石沖擊力

中圖分類號：P64 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）11（a）-0064-04

我國是一個多山的國家，山區(qū)多高陡邊坡，危巖落石是常見的地質(zhì)災(zāi)害形式。落石災(zāi)害具有隨機(jī)性、突發(fā)性、難預(yù)測等特點(diǎn)，災(zāi)害一旦發(fā)生將直接造成嚴(yán)重的人員傷亡和經(jīng)濟(jì)損失。如1983年8月，襄渝線巴山—達(dá)州公路段公路邊坡受暴雨影響發(fā)生落石災(zāi)害，一體積約12.6m2的巖石從80m左右的高處墜落，一座大橋被砸毀導(dǎo)致交通中斷約23h，直接經(jīng)濟(jì)損失高達(dá)22.1萬元；迄今，國內(nèi)外有大量的學(xué)者對落石災(zāi)害進(jìn)行了廣泛而深入的研究，國內(nèi)外學(xué)者致力于落石災(zāi)害的研究時重在研究其演化形成機(jī)制[1]與墜落于沖擊面的沖擊破壞機(jī)制，疏于對落石運(yùn)動過程的研究，對于影響落石沖擊力的因素考慮不夠完善，比如危巖墜落時的壓縮空氣阻力[2]。本文基于國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀，從能量角度出發(fā)結(jié)合空氣動力學(xué)對危巖落石沖擊速度計(jì)算方法進(jìn)行推導(dǎo)，研究成果對于提高計(jì)算落石沖擊力的精確度，進(jìn)一步預(yù)測落石災(zāi)害災(zāi)情、有針對性開展災(zāi)害防護(hù)工作有積極指導(dǎo)意義。

1 落石沖擊速度計(jì)算方法

危巖墜落具有速度快、破壞性大等特點(diǎn)。目前國內(nèi)外的學(xué)者在研究這一類型災(zāi)害時通常忽略空氣的作用按照自由落體研究，使得研究成果運(yùn)用于危巖落石災(zāi)害的預(yù)防與防治時有著難以校核的誤差。本文通過建立危巖墜落理論模型，運(yùn)用空氣動力學(xué)理論、能量守恒定理、空氣動理論對空氣的壓縮過程進(jìn)行分析，結(jié)合空氣的外泄系數(shù)，對危巖落石墜落沖擊速度計(jì)算方法進(jìn)行理論推導(dǎo)。

1.1 建立模型

根據(jù)空氣動力學(xué)理論建立危巖墜落空氣壓縮理論模型[1]，如圖1所示。

設(shè)落石墜落高度為H，將其等分為n等段，n為足夠大的常數(shù)，每段dh=H/n。落石在下落過程中是連續(xù)的，每一段dh的運(yùn)動都是連續(xù)的，后一段dh依賴于上一段dh，壓縮過程如圖2所示。設(shè)落石在運(yùn)動第一個dh時所用的時間為t1，在重力加速的作用下速度從v0增加到v1，一道微弱的波將伴隨著落石墜落產(chǎn)生。如圖2（b）中A1-A1為第一道波以聲速傳播。波掃過處的空氣壓強(qiáng)、密度、溫度相應(yīng)增大。繼第一個dh運(yùn)動完后，落石繼續(xù)運(yùn)動第二個dh，繼而產(chǎn)生新的壓縮波，如圖2（c）中A2-A2。由于波A2-A2在經(jīng)波A1-A1壓縮過的空氣中傳播，即傳播速度C1>C0，C1=C0+ΔV。傳播速度與傳播介質(zhì)的密度與壓強(qiáng)有關(guān)。同理，將有第三道（如圖2（d）、圖2（e））到無數(shù)道波（如圖2（f））產(chǎn)生對空氣進(jìn)行壓縮。從中取出落石在第i（i∈（1，2...，n））段dh運(yùn)動進(jìn)行研究，對空氣壓縮作用下的落石沖擊速度計(jì)算方法進(jìn)行推導(dǎo)[3]。

1.2 落石沖擊速度計(jì)算方法推導(dǎo)

設(shè)M為落石質(zhì)量，取落石在運(yùn)動第一段dh時進(jìn)行研究。

熱力學(xué)第一定律為：內(nèi)能變化=做功+熱傳遞。

空氣動理論中氣體狀態(tài)方程為：

（1）

為自由度，單原子氣體取3，雙原子氣體取5，三原子氣體取6或7?？諝獬煞执蠖酁镹2與O2，一般取5。為理想氣體常數(shù)，取8.314J/mol?？捎?jì)算氣體物質(zhì)的量。

由于壓縮過程中，外泄空氣的質(zhì)量要遠(yuǎn)小于落石的質(zhì)量，且壓縮過程時間很短。短到外泄的空氣來不及發(fā)生密度變化，溫度也未發(fā)生變化。即忽略外泄空氣內(nèi)能的變化。結(jié)合能量守恒定理[4]可得：

（2）

0m|s表示落石運(yùn)動的初始速度，m|s為波在空氣中的傳播速度，為被壓縮空氣的溫度變化。

（3）

M0為初始階段落石下部空氣的質(zhì)量，R為落石等效半徑。

（4）

a1為落石運(yùn)動第一段時dh的運(yùn)動加速度，這里取自由加速度。

（5）

為落石在第一段dh運(yùn)動時所需要的時間。

（6）

dL1為落石在第一段dh運(yùn)動期間產(chǎn)生的壓縮波前進(jìn)的長度，為壓縮空氣重心下降高度。

（7）

為落石運(yùn)動完第一段dh后的運(yùn)動速度。

（8）

M1為落石運(yùn)動完第一段dh后的落石下方空氣的質(zhì)量， α1為運(yùn)動一個dh后的空氣外泄系數(shù)。空氣的外泄系數(shù)與落石墜落高度，以及地表土體孔隙率等有關(guān)，確定過程較為復(fù)雜，可通過試驗(yàn)獲取。

將各參數(shù)即式（3）到式（8）代入式（2）得到：

（9）

由氣體狀態(tài)方程：

（10）

（11）

（12）

（13）

根據(jù)空氣動力學(xué)中波的傳播速度公式：

（14）

為絕熱系數(shù)，空氣通常取1.402，為傳播介質(zhì)的壓強(qiáng)，為傳播介質(zhì)的密度，可以得知C與空氣的密度與壓強(qiáng)有關(guān)。即：

（15）

落石運(yùn)動完第一段dh如圖2（b）所示。聯(lián)立式（9）與式（15）可以獲取空氣溫度變化情況，以便進(jìn)行下一段dh運(yùn)動情況的推導(dǎo)。

設(shè)為當(dāng)前運(yùn)動的dh在全部n段dh中的排序序號，為運(yùn)動完第段dh落石下部空氣的質(zhì)量，為落石下部空氣的體積，為落石在第段運(yùn)動期間的加速度，為落石在運(yùn)動完第段dh時壓縮空氣給落石的壓強(qiáng)，為落石在運(yùn)動完第段dh時落石的運(yùn)動速度，為落石在第段dh時所需要的時間，為落石在第段dh運(yùn)動期間產(chǎn)生的壓縮波在前一段（第段dh）運(yùn)動時產(chǎn)生的壓縮空氣中的傳播速度，為落石在運(yùn)動完第段dh時壓縮空氣的密度，為落石在第段dh運(yùn)動期間產(chǎn)生的壓縮波前進(jìn)的長度，R為落石等效半徑。endprint

提取落石在第段dh運(yùn)動情況進(jìn)行分析，能量平衡方程以及各參數(shù)變化情況如下：

（16）

（17）

（18）

（19）

落石速度為：

（20）

壓縮波的前進(jìn)長度為：

（21）

其中落石運(yùn)動完第段時氣體體積為：

（22）

運(yùn)動完第段時壓縮后氣體體積為：

（23）

落石運(yùn)動過程即空氣的壓縮過程，由于壓縮過程中有部分空氣逸出控制體，所以壓縮前后質(zhì)量M發(fā)生了變化。

壓縮前的質(zhì)量為：

（24）

壓縮后的質(zhì)量為：

（25）

即壓縮后空氣的密度：

（26）

（27）

（28）

根據(jù)式（15）得：

（29）

同理將各參數(shù)代入式（16）與式（29）聯(lián)立求解求得。

當(dāng)壓縮的空氣以壓縮波的形式運(yùn)動時，落石下方被前波掃過的空氣壓強(qiáng)增大，當(dāng)后面的波繼續(xù)掃過該部分空氣時傳播速度會增大。最后前后各波會疊加在一起以一個共同的速度推進(jìn)，不會出現(xiàn)某一道波超前的現(xiàn)象發(fā)生。由于壓縮空氣是由落石推著向下運(yùn)動，即最后落石將與空氣有著共同的運(yùn)動速度。設(shè)當(dāng)落石運(yùn)動第s個dh后落石與空氣以相同的速度推進(jìn)。即：

（30）

壓縮波最后會隨著危巖落石的墜落跟地面接觸，假設(shè)壓縮波最后被地面全部吸收，不反射，即：

（31）

表示落石運(yùn)動長度時壓縮波也傳播到了地面，則此后壓強(qiáng)變化情況不呈曲線，而是出現(xiàn)突變（如圖2（f）），則各參數(shù)變化為：

（32）

其中，下文中各式同理。

此時壓縮前氣體體積為：

（33）

此時壓縮后氣體體積為：

（34）

壓縮前的質(zhì)量為：

（35）

壓縮后的質(zhì)量為：

（36）

落石運(yùn)動完第段后其壓縮空氣壓強(qiáng)變化為：

（37）

計(jì)算方法同上。

落石下落過程中下方氣體被壓縮壓強(qiáng)逐漸增大，即落石做加速度減小的加速運(yùn)動。直到壓縮空氣對落石的反作用力與其自身重力相同時達(dá)到極限狀態(tài)，加速度減小為0。此后，落石將以勻速下落。即：

假設(shè)當(dāng)時

（38）

則當(dāng)時加速度ai=0。

（39）

（40）

落石運(yùn)動速度為：

（41）

2 危巖落石沖擊力計(jì)算方法

目前有多種較為經(jīng)典的計(jì)算公式用于計(jì)算落實(shí)沖擊力，但是各計(jì)算方法均有不足。學(xué)者葉四橋針[5]基于多種經(jīng)典計(jì)算方法，提出塌落體自身質(zhì)量與接觸面反彈效應(yīng)對落石沖擊力會造成一定的影響，導(dǎo)出適用于不同沖擊速度、不同緩沖土層厚度和不同沖擊角度的落石最大沖擊力算法。

（42）

（43）

H為落石的自由落高（m），為拉梅常數(shù)，建議取1000kN/m2，M為落石質(zhì)量（kN），h為緩沖層厚度，為法向恢復(fù)系數(shù)，為落石與坡面碰撞前的入射速度沿坡表面的法向分量（m/s），為落石與坡面碰撞后的反彈速度沿坡表面的法向分量（m/s）。

3 工程實(shí)例

2009年6月5日，重慶市武隆縣鐵礦鄉(xiāng)雞尾山發(fā)生巨型山體崩滑—碎屑流特大地質(zhì)災(zāi)害，此次自然災(zāi)害導(dǎo)致鐵礦鄉(xiāng)一煤礦和6戶居民家被淹沒，遇難人數(shù)高達(dá)80余人。崩塌災(zāi)害發(fā)生的具體山脈大婁山地勢險(xiǎn)峻，最高峰貓鼻梁海拔1839.1m，最低處海拔在600m左右，屬于典型的山區(qū)立體地形。據(jù)資料記載對崩塌體在垂直下落過程中空氣的壓縮情況進(jìn)行計(jì)算。

崩塌體體積為300×104m3，巖體重度取25kN/m3，崩塌體初始運(yùn)動速度為v0=0m/s，崩塌體下部空氣初始壓強(qiáng)P0=101325Pa，初始壓強(qiáng)下的空氣初始密度P0=1.293kg/m3，崩塌體墜落高度90～100m，寬度110～120m，開爾文溫度為K，聲速為340m/s，崩塌體的等效半徑計(jì)算公式為，取dh=1m。本文空氣外泄系數(shù)直接引用，為0表示空氣全部被壓縮，為1則表示空氣全部外泄，即自由落體，而也不可能為1。即取值范圍為0～1，見表1。

對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析?？諝馔庑瓜禂?shù)取1時即自由落體運(yùn)動時，墜落時間為4.33s，墜落沖擊速度為45.03m/s，而外泄系數(shù)取0.1時墜落時間為5.21s，墜落沖擊速度為34.52m/s，而且外泄系數(shù)的取值不同計(jì)算所得結(jié)果均有差別。即壓縮效應(yīng)對危巖著落的沖擊破壞有著不可忽視的影響。有學(xué)者曾經(jīng)針對空氣的壓縮效應(yīng)做過相應(yīng)的研究，針對該工程實(shí)例計(jì)算結(jié)果如表2所示。

將兩種計(jì)算方法計(jì)算所得結(jié)果進(jìn)行對比分析，發(fā)現(xiàn)本文提出的計(jì)算方法計(jì)算的沖擊速度較大以及墜落時間較小，但差別并不大。對于二者的精確性比較還有待進(jìn)一步研究，該研究成果為防災(zāi)減災(zāi)工程中防護(hù)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供科學(xué)依據(jù)，可以降低成本，提高工作效率。

4 結(jié)論

（1）危巖落石在墜落的過程中會壓縮其下部的空氣，壓縮過程中空氣部分外泄部分密度與壓強(qiáng)相應(yīng)增大，空氣壓強(qiáng)增大會對下落的巖體形成一定的空氣阻力，空氣阻力直接影響危巖落石的沖擊速度。

（2）將氣體壓縮過程等效為壓縮波的傳播過程，落石下落高度理想假設(shè)等分為n份，結(jié)合空氣動力學(xué)理論、能量守恒定理、空氣動理論（氣體狀態(tài)方程）對危巖墜落氣體壓縮過程進(jìn)行微量分析，推導(dǎo)落石沖擊速度計(jì)算方法。

（3）利用筆者所提出的危巖墜落沖擊速度計(jì)算方法，結(jié)合現(xiàn)有沖擊力計(jì)算公式對重慶市武隆縣鐵礦鄉(xiāng)雞尾山發(fā)生的巨型山體崩滑—碎屑流特大地質(zhì)災(zāi)害進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，計(jì)算所得結(jié)果表明空氣阻力對落石沖擊速度的影響不可忽略，且與現(xiàn)有研究成果對比差距較小，即該研究成果對開展防災(zāi)減災(zāi)工作具有積極意義。

參考文獻(xiàn)

[1] Binal A，Ercanoglu M.Assessment of rockfall potential in the Kula （Manisa， Turkey） geopark region[J].Environmental Earth Sciences，2010，61（7）：1361-1373.

[2] 陳洪凱，董平，唐紅梅.危巖崩塌災(zāi)害研究現(xiàn)狀與趨勢[J]. 重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015，32（6）：53-60.

[3] Alfredsson K S，Stigh U.Stability of beam-like fracture mechanics specimens[J].Engineering Fracture Mechanics，2012（89）：98-113.

[4] 李清山.群發(fā)性崩塌的壓縮特性實(shí)驗(yàn)研究[D].重慶交通大學(xué)，2012.

[5] 葉四橋，陳洪凱，唐紅梅.落石沖擊力計(jì)算方法[J].中國鐵道科學(xué)，2010，31（6）：56-62.endprint