劉 璇，王立欣，呂 超，李俊夫

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動化學(xué)院，哈爾濱150001）

鋰離子電池能量密度高、輸出功率大，越來越多地應(yīng)用在新能源汽車、新能源發(fā)電等領(lǐng)域[1]。電池的廣泛應(yīng)用也對管理系統(tǒng)提出了更高的要求。對電池性能狀態(tài)進行科學(xué)準確的估計和預(yù)測，以便讓鋰離子電池最大限度地釋放電能發(fā)揮作用、長期穩(wěn)定可靠地工作，需要構(gòu)建一種準確、便捷、通用性好的模型。

將模型應(yīng)用于管理系統(tǒng)當(dāng)中，不僅要考慮模型的準確性，使模型盡量準確地還原電池的工作情況，還要考慮模型的簡便程度，以使模型的計算合理占用資源提高效率[2]。目前，鋰離子電池機理模型鮮見于實際系統(tǒng)中，主要由于描述電池內(nèi)部復(fù)雜的物理、化學(xué)過程，通常形式復(fù)雜、計算耗時。常用的等效電路模型結(jié)構(gòu)簡單，但其參數(shù)無實際物理意義，對電池健康狀態(tài)評估時意義不明確[3]。所以，有必要將電池電化學(xué)機理與等效電路模型相結(jié)合。

本文首先從鋰離子電池的電化學(xué)機理出發(fā)，增加了熱行為描述，提出了一種新的等效電路模型，然后利用激勵響應(yīng)分析的方法進行參數(shù)獲取，最后通過仿真實驗驗證該模型的正確性和準確度。

1 等效電路模型

結(jié)合鋰離子電池機理過程，本文提出一個等效電路模型，如圖1所示。有別于現(xiàn)有的等效電路模型，該模型涵蓋了開路電勢以及歐姆極化、反應(yīng)極化和濃差極化三部分過電勢的計算[4]，熱行為的描述包括產(chǎn)熱和熱擴散計算[5]，是一種簡化的計算方法。模型包括2個子模型，目標是實現(xiàn)任意負載電流下電池的端電壓和表殼溫度進行仿真計算。

圖1 鋰離子電池等效電路模型Fig.1 Equivalent circuit model of lithium-ion Battery

（1）開路電勢是對電池基本過程的描述，決定了電池端電壓曲線的基本形狀，其精確估計是電池充放電行為準確把握的基礎(chǔ)。電池的電動勢為2個電極開路電勢的差，在電化學(xué)模型中，固相粒子表面濃度決定了開路電勢[6]，其計算公式為

式中：Up和Un為已知的正、負極開路電勢函數(shù)曲線[7]；為 正、負極集流體邊界處兩活性粒子的固相最大鋰離子濃度為表面鋰離子濃度。 類似地，在等效電路模型中，開路電勢可以看成是電池荷電狀態(tài)（SOC）的函數(shù)。在本文模型中，定義SOC范圍為1～0，對應(yīng)電池從滿充狀態(tài)放電至2.5 V。開路電勢的計算公式為

式中：a1～a13為擬合系數(shù)。SOC采用安時計數(shù)法[8]計算為

式中：I為負載電流，放電時為正；Qcapa為電池總放電容量。

（2）歐姆極化過電勢與負載電流成正比，Rohm是用集中參數(shù)形式表達的電池歐姆內(nèi)阻，則過電勢與負載電流之間的函數(shù)關(guān)系為

（3）反應(yīng)極化過電勢表征了電池電化學(xué)反應(yīng)過程，從其電化學(xué)阻抗譜曲線[9]可以看出，反應(yīng)極化過電勢的數(shù)值大小不僅與負載電流有關(guān)，也和電池SOC狀態(tài)相關(guān)，即

式中，b1～b4為擬合系數(shù)

（4）濃差極化過程。在不考慮電池老化的情況下，根據(jù)物料守恒，固液相鋰離子濃度總體保持平衡[6]。擴散的作用效果可以等效地看成是鋰離子濃度差的建立過程，擴散過程由一個電容和電阻的組合形式來表示。為符合實際物理意義，設(shè)時間常數(shù)τ（τ=RconC）在電池各個狀態(tài)時為固定值，初始時刻的 ηcon-polarization為 0， 則濃差極化過電勢 ηcon-polarization的迭代計算公式為

根據(jù)上述分析，可得電池端電壓的計算公式為

熱行為的描述包括產(chǎn)熱和熱擴散計算。電池內(nèi)部溫度沿徑向分布的方程為

采用體積平均方法分析電池?zé)嵝袨閇10]，認為電池是一個等溫體，其溫度的描述包括兩個部分，內(nèi)部溫度和表面溫度即用T和Tsurf來描述。電池輸入的能量為自身產(chǎn)熱G（t），借助熱阻Rcond建立內(nèi)部溫度和電池表殼溫度之間的函數(shù)關(guān)系[11]，即

規(guī)定Gexchange（t）為正值時，表示電池向環(huán)境放熱，Gexchange（t）可表示為

由式（8）～式（10）可得

在假設(shè)條件下，熱傳導(dǎo)部分可以忽略不計[12]。簡化的能量方程可以適用于各種形狀的電池。則電池總產(chǎn)熱G（t）計算公式為

為計算電池內(nèi)部溫度和表面溫度，將式（11）離散化可以得到

2 參數(shù)獲取

良好的仿真精度和便捷的參數(shù)獲取流程是衡量模型應(yīng)用性的兩個必要條件，如果模型只有高精度，參數(shù)獲取過程復(fù)雜難以實現(xiàn)，那么便失去了模型的價值。除電池質(zhì)量、電池表面積可由廠商提供或直接測量外，其他參數(shù)均需要估計。為此，對提出的模型進行分析，建立模型參數(shù)與端電壓、表殼溫度之間的數(shù)值函數(shù)關(guān)系，提出了基于激勵響應(yīng)分析的參數(shù)估計方法。

針對電池基本工作過程，實際中用較小倍率工況下測量的端電壓近似為理想電動勢曲線，即選擇0.02C小倍率放電曲線作為電池理想電動勢曲線[13]。使用最小二乘法擬合式（2），得到開路電勢和SOC之間的函數(shù)關(guān)系。

電池內(nèi)部各物理化學(xué)過程的時間常數(shù)不同，頻率響應(yīng)也不同。歐姆極化作用電子導(dǎo)電過程的響應(yīng)最快，歐姆電阻導(dǎo)致的壓降在施加電流激勵后很短暫的時間即可產(chǎn)生，因此，可利用電化學(xué)阻抗譜的高頻段測量電池的歐姆內(nèi)阻。具體做法是電池靜置后施加1 kHz正弦小電壓激勵，測量電池的電流響應(yīng)，計算歐姆內(nèi)阻。

反應(yīng)極化過程需要設(shè)計動態(tài)工況用以辨識相應(yīng)的參數(shù)。設(shè)計的動態(tài)負載電流、以及端電壓和外殼溫度響應(yīng)曲線如圖2所示，環(huán)境溫度控制在25℃。

電流從0變化到某一固定值的瞬間，電壓存在跳變ΔU，如圖3所示。除去歐姆極化過電勢，即為反應(yīng)極化過電勢。依據(jù)反應(yīng)極化的計算式（5），使用最小二乘方法，擬合未知參數(shù)。

圖2 負載電流、端電壓和外殼溫度動態(tài)響應(yīng)曲線Fig.2 Dynamic response curves of load current,voltage and shell temperature

圖3 負載電流及端電壓動態(tài)響應(yīng)細節(jié)曲線Fig.3 Dynamic response detail curves of load current and voltage

與上述情況不同，擴散過程需要一段過渡時間，才進入新的穩(wěn)定狀態(tài)，繼而建立一個新的濃度差[14]。為了減小耗時，每段恒流充放電的時間控制為7 min。依據(jù)濃差極化過電勢計算式（6），使用最小二乘方法，擬合未知參數(shù)。

在計算產(chǎn)熱之前，需要設(shè)計工況辨識熱容Cp。由式（11）可知，當(dāng)負載電流為 0時，產(chǎn)熱為 0，式（11）可變形為

認為電池表面溫度和內(nèi)部溫度相等[15]，即當(dāng)t=0時，T（0）=T0；當(dāng)t=∞時，t（∞）=Ta。整理可得該方程的解析解為

電池的外殼溫度與放電倍率和環(huán)境溫度相關(guān)。圖4給出了在不同的環(huán)境溫度和不同倍率下，電池表殼溫度的變化情況。在電池放電截止后，讓其散熱，恢復(fù)到室溫，用式（16）進行擬合，得到的時間常數(shù)τheat取均值，進而計算Cp。

圖4 電池表殼溫度與放電倍率關(guān)系Fig.4 Relationship between surface temperature and discharge ratio of the battery

由于三部分過電勢都與內(nèi)部溫度相關(guān)，如果過電勢計算出現(xiàn)較大偏差，熱行為的計算結(jié)果將出現(xiàn)較大誤差。產(chǎn)熱計算公式變?yōu)?/p>

能量平衡方程經(jīng)整理可以寫成

根據(jù)實測可以得到Uapp（t）和Tsurf（t），記

則熱阻Rcond的計算公式為

3 參數(shù)估計驗證

選取天津力神公司的LS.LR1865BC鋰離子電池進行參數(shù)獲取，該電池基本參數(shù)數(shù)據(jù)如表1所示，電池實驗測試系統(tǒng)設(shè)備參數(shù)如表2所示。

表1 LS.LR1865BC電池基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of LS.LR1865BC battery

表2 電池實驗測試系統(tǒng)設(shè)備參數(shù)Tab.2 Parameters of test system equipment of battery

對LS.LR1865BC鋰離子電池進行參數(shù)辨識，根據(jù)辨識得到的參數(shù)，參照第2部分介紹的模型內(nèi)容，計算電池端電壓和表殼溫度曲線，用辨識工況的數(shù)據(jù)進行驗證。利用實驗設(shè)備測量得到該節(jié)電池的端電壓及表殼溫度曲線，將仿真結(jié)果與實測結(jié)果進行對比，仿真結(jié)果如圖5所示。同樣地，隨機選取多節(jié)不同型號的鋰電池進行參數(shù)辨識與驗證，仿真結(jié)果與實測結(jié)果均有較高的一致性。驗證結(jié)果表明，提出的模型可以比較準確地仿真電池的行為。

在不同環(huán)境溫度和動態(tài)負載電流下，電池充放電行為的仿真和實測對比結(jié)果如圖6所示，誤差結(jié)果如表3所示。從仿真結(jié)果可以看出，由于忽略了電池正負極材料熵系數(shù)給產(chǎn)熱計算帶來的影響，外殼溫度計算并未出現(xiàn)最大局部溫度。電壓的仿真計算在室溫附近時，比較精確。當(dāng)環(huán)境溫度大于40℃或者低于20℃時，端電壓的計算會有較大誤差。這是因為模型中，開路電勢和過電勢的計算并未考慮溫度對其影響[18]，這也是今后將重點研究的內(nèi)容。

圖5 電池端電壓和表殼溫度的仿真與實測曲線Fig.5 Simulation and measured curves of battery voltage and surface temperature

圖6 電池充放電行為的仿真和實測對比結(jié)果Fig.6 Simulation and measured comparison results of battery charging and discharging behavior

表3 動態(tài)負載電流下仿真和實測結(jié)果誤差Tab.3 Simulation and measured error of dynamic load current

4 結(jié)語

本文結(jié)合電池機理，提出了一種等效電路模型，設(shè)計不同辨識工況來獲取模型中的參數(shù)，并給出了在不同的恒定環(huán)境溫度下，對任意負載電流的端電壓和表殼溫度的仿真計算。驗證結(jié)果表明，在室溫附近或室溫以上，模型具有很好的適用性。該研究為機理模型應(yīng)用于電池管理系統(tǒng)提供了一定的技術(shù)支持，為解決電池管理系統(tǒng)精度不高、性能描述不全面的問題提供了解決思路。

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